向量代数与空间解析几何数学一-DrHuang

1、第五章向量代数与空间解析几何§ 5.1 向量代数( 甲)内容要点一、空间直角坐标系二、向量概念a x i + y j + z k坐标x, y, z模 a x2y 2z2方向角,方向余弦 cos,cos,coscos x； cosy； coszx 2y2y 2y 2z2z2x 2z2x2三、向量运算设 a x1, y1 , z1； bx2, y2 , z2 ； cx3, y3 , z31 加（减）法ab x1 x2, y1 y2 , z1z22 数乘ax1 , y1, z13 数量积（点乘） （）定义a · b = a b cosa, b（）坐标公式a · b =

2、x1 x2+ y1 y2 + z1 z2（）重要应用a · b =0ab4向量积（叉乘）（）定义 ab a bsina, bab 与 a 和 b 皆垂直，且a ， b ， ab 构成右手系ijk（）坐标公式ab = x1y1z1x2y2z2（）重要应用ab = 0a ， b 共线5、混合积（）定义 （ a ， b ， c ）（ ab ）· cx1y1z1（）坐标公式（a ， b ， c ） = x2y2z2x3y3z3（）a, b, c表示以 a ， b ， c 为棱的平行六面体的体积（乙）典型例题例 1、点 P 到过 A ， B 的直线之间的距离PAPBdAB例 2、点

3、P 到 A,B,C 所在平面的距离PA, PB, PCdABAC因为四面体PABC的体积V 1 dSABC3而 SABC1 AB2AC，则V 1 6PA, PB, PC例 3、过点 A ，B 与过点 C，D 的异面直线之间的距离AC, AB,CDdAB CD因为CDCD ，平行六面体体积则 d平行四边形面积§5.2平面与直线（甲）内容要点一、空间解析几何1 空间解析几何研究的基本问题。（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程，（2）已知坐标x， y 和 z 间的一个方程（组） ，研究这方程（组）所表示的曲面（线）。2距离公式 空间两点 A x1 , y1 , z1

4、与 B x2 , y2 , z2间的距离d 为dx2x12y2 y12z2z123M x, y, z 是 ABAM,点 A,BA x1 , y1 , z1 ，定比分点公式的分点：的坐标为MBB x2 , y2 , z2 ，则xx1x2 ， yy1y2 ， zz1z2111当 M 为中点时，xx1x2 ， yy1y2 ， zz1 z2222二、平面及其方程。1 法（线）向量，法（线）方向数。与平面垂直的非零向量，称为平面的法向量，通常记成n 。法向量m, n, p 的坐标称为法（线）方向数。对于给定的平面 ，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。2点法式方程已知平面过 Mx0 , y0

5、, z0 点，其法向量n A,B,C, 则平面的方程为A xx0B yy0C zz00或nrr00其中r 0x0 , y0 , z0 , rx, y, z3一般式方程AxByCzD0其中 A, B, C 不全为零 . x, y, z 前的系数表示的法线方向数，n A,B,C 是的法向量特别情形：AxByCz0 ，表示通过原点的平面。AxByD0 ，平行于 z 轴的平面。AxD0 ，平行 yOz 平面的平面。x 0 表示 yOz 平面。4三点式方程设 A x1 , y1 , z1 , B x2 , y2 , z2 , Cx3 , y3 , z3 三点不在一条直线上。则通过A,B,C 的平面方程为

6、xx1yy1zz1x2x1y2y1z2z10x3x1y3y1z3z15平面束A1 x B1 y C1 z D10设直线 L 的一般式方程为，则通过 L 的所有平面A2 x B2 y C2 z D20方 程 为K 1A1 x B1 y C1 z D1 + K 2A2 x B2 y C 2 z D 20 ， 其 中k1 , k20,06 有关平面的问题两平面为1 ： A1 x B1 y C1 z D102 ： A2 x B2 y C2 z D201与 2 间夹角cosA1 A2B1 B2C1C2A1 2B1 2C1 2A2 2B2 2C2 2垂直条件A1 A2B1B2 C1C20平行条件A1B1C

7、1D1A2B2C2D2重合条件A1B1C1D1A2B2C 2D 2设平面的方程为 Ax By Cz D0 ，而点 M x1 , y1 , z1为平面外的一点，则M 到平面的距离 d：d三 直线及其方程Ax1By1Cz1D222ABC1 方向向量、方向数与直线平行的非零向量 S ，称为直线 L 的方向向量。方向向量的坐标称为方向数。2 直线的标准方程（对称式方程）。xx0yy0zz0lmn其中x0 , y0 , z0 为直线上的点，l ,m,n 为直线的方向数。3 参数式方程：xx0ltyy0mtzz0nt4 两点式设 A x1 , y1 , z1, Bx2 , y2 , z2为不同的两点，则通

8、过A 和 B 的直线方程为xx1yy1zz1x2x1y2y1z2z15 一般式方程（作为两平面的交线）：A1 x B1 y C1 z D10S A1, B1, C1A2 , B2 ,C2A2 x B2 y C2 z D206 有关直线的问题两直线为 L1 : xx1yy1zz1l 1m1n1xx2yy2zz2L2 :l 2m2n2l 1与 l 2间夹角cos l1l 2m1m2n1 n2222222l 1m1n1l 2m2n2垂直条件l1l 2m1m2n1n20平行条件l1m1n1l2m2n2四、平面与直线相互关系平面的方程为：AxByCzD0直线 L的方程为：xx0yy0zz0lmnL与间夹

9、角sinAlBmCnL 与垂直条件L 与平行条件L 与重合条件（乙）典型例题A2B 2C 2 ·l 2m2n2lmnABCAlBmCn0AlBmCn0L 上有一点在上xyz10例 1求通过 M 0 1, 1,2 和直线 l :的平面方程。2xyz50解通过 l 的所有平面的方程为K 1 xyz1K 2 2xyz50其中 K 1 , K 2 为任意实数，且不同时为0。今把 M 0 1,1,2 代上上面形式的方程得K11111 K22,125 0K1 2K20K1 2K2由于方程允许乘或除一个不为0 的常数，故取 K 21,得 K12 ，代入方程得2 x y z 12x y z 5 0即

10、 4x y z 3 0它就是既通过点M 0 又通过直线 l 的平面方程。例 2 求过直线xy2z30 且切于球面 x 2 y 2 z2 1的平面2xyz0解过所给直线除平面2xyz 0 外的其它所有平面方程为xy 2z 32xy z0即 1 2 x 1y2 z 3 0 *球面与平面相切，因此球心到平面距离应等于半径0003于是1122122 2得622301196代入 * 得两个所求的平面（甲） 内容要点一、曲面方程1、一般方程2、参数方程二、空间曲线方程§5.3曲面与空间曲线F x, y, z0xx u,vyy u,vu, vD平面区域zz u, v1、一般方程F1x, y, z0

11、F2x, y, z0xx t2、参数方程yy ttzz t三、常见的曲面方程1、球面方程设 P0 x0 , y0 , z0是球心， R 是半径， P（ x， y， z）是球面上任意一点，则P0 PR , 即xx0 2yy0 2zz0 2R2 。2. 旋转曲面的方程f x, z0,（）设L 是 xOz平面上一条曲线，其方程是Ly0.绕 z 轴旋转得到旋转曲面，设P（x， y， z）是旋转面上任一点，由点 P0 x0 ,0, z0旋转而来（点M 0,0, z 是圆心） .由 x0MP0MPx2y2 , z0z 得旋转面方程是fx 2y2 , z0;F1x, y, z0（）求空间曲线x, y, z绕

12、 z 轴一周得旋转曲面的方程F20第一步：从上面联立方程解出xf z , yg z第二步：旋转曲面方程为x2y 2f 2 zg 2 z绕 y 轴一周或绕x 轴一周的旋转曲面方程类似地处理3、二次曲面曲面名称方程曲面名称方程椭球面x2y2z 2旋转抛物面x 2y2( p0)a2b 212 pzc22 px2y2( p, q 0)x 2y 2( p, q0)椭圆抛物面2 pz2 pz2q双曲抛物面2q单叶双曲面x2y2z2双叶双曲面x2y 2z21a2b 21a 2b 2c 2c 2二次锥面x2y 2z2椭圆柱面x 2y 21a2b20ab 2c22双曲柱面x 2y2抛物柱面x2y ( p0)a

13、212 pb 2四、空间曲线在坐标平面上的投影曲线 C 的方程F x, y, z0G x, y, z0曲线 C 在 xy 平面上的投影先从曲线 C 的方程中消去Z 得到 H x, y0 ，它表示曲线C 为准线，母线平行于Z 轴的柱面方程，那么H x, y0z0就是 C 在 xy 平面上的投影曲线方程曲线 C 在 zx 平面上投影或在yz平面上投影类似地处理（乙）典型例题x 2y 2例 1、求以点 A （0， 0， 1）为顶点，以椭圆251, 为准线的锥面方程。9z3,解 过椭圆上任一点P x0 , y0 , z0 的母线方程为xx0 tx 2y2yy0t因为点x0 , y0 , z0在椭圆上，

14、所以1 。而 t 25t 29t2z1z0 1 t1 2tz 1 ，将其代入椭圆方程，得锥面的方程为x 2y 2z1 20 。22594例 2、求旋转抛物面z x2y 2 与平面 yz =1 的交线在 xy 平面上投影方程解从 曲 线 方 程 z x 2y 2中 消 去 z ， 得 曲 线 向 xy 平 面 得 投 影 柱 面 方 程y z1125x2y2y 1。于是曲线在xy 平面商得投影曲线的方程为x2yz024x12t例 3、求直线L ：y3t在三个坐标面上的投影；z23t解在三个坐标面上的投影分别为x12tx12tx0<1>在 xy 平面上：y3t<2>在 xz 平面 y0<3> 在 yz平面上y3tz0z23tz23t例 4、求直线 L ： x1yz 1 在平面 : xy2z1 0 上的投影直线L0 的方程，111并求 L0 绕