含参变量无穷积分的一致收敛性

1、含参变量无穷积分的一致收敛性论文摘要：本文通过含参变量无穷积分与函数级数之间的关系，归纳总结了含参变量无穷积分的一致收敛性的判别法(柯西一致收敛准则、魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法等)及其性质.关键词：含参变量无穷积分一致收敛判别法无穷积分f(x)dx与级数工Un的敛散概念、敛散判别法及其性质基本上是平行的，不难想到，含参变量无穷积分口(x,y)dx与函数级数工Un(x)之间亦应如此，为了讨论函数项级数的和函数的分析性质，我们在收敛区域I上提出了更高的要求，引进了一致收敛的概念，同样，在讨论含参变量无穷积分所确定的函数的分析性质时，一致收敛同样也起着重要的作用.因此，含参变量无穷积分的一致

2、收敛性是数学分析中非常重要的知识点，也是学生不容易掌握的难点，从而，我试着类比、总结得出含参变量无穷积分的一致收敛性的判别法及其性质，以便使学生对此有一个更为系统和深刻的了解.1 .含参变量无穷积分一致收敛的判别法我们很自然的可以想到运用定义来证明-bo定义设Vyw区间I,无穷积分ff（x,ydx收敛，若V名>0,三A。（通-be用)>0,VA>A)，有|Jf(x,y)dx-Jf(x,y)dx|=|ff（x,y）dx|<后，则称无穷积分A-beJf（x,ydx在区间I一致收敛.a用定义证明一致收敛的关键在于寻找只与有关的共同的A。，方法常常是采取适当放大的方法.例11M

3、明：无穷积分Jyeydx在区间a,0+°°（a>0）一致收敛，而在（0,+°0）上非一致收敛.证明Vy=(0,)，Jy-xydx卜t=xye'dt5y=e,ln1对Ve>0,解不等式e"y，有A>yln1,取A。,则VAaA。，有y-beJyeydx<s,因此,A-bofyedx在（0,+00）是收敛的，但不能断定是一致A收敛的，因为我们所找到的Ao不仅跟名有关，而且与yw（0,y）有关.=1事实上，ye"ydx在yW（0,y）是非一致收敛的，只需取名=一，VAQa2e,1.取A=2AA,y(0,二2A-be&#

4、39;'y=e>%,但ye«ydxA在a,依）一致收敛（其中a>0）,由不等式：y之a,有e的Me"a,解不等式ln1e"a，有A>处a1ln_，于是取A0=-生yAaA。时，对一切ywb,也），有Jye"ydx=e的We"a<名，所以，AboJye"ydx在ywa,)(其中a>0)一致收敛.A-bo此题中，我们还可以计算出Jye'ydx在（0,收）上的收敛值.事实上，对0七任意yw（0,）,都有Jye,ydx=1-e-,0所以，limye*ydx=lim（1-e-y）=1,0-bo即1y

5、e"ydx在（0,+毛）收敛于1.0*bo定理121（柯西一致收敛准则）无穷积分f（x,y）dx在区间I一致收敛auV6>0A0A0,VA1>A0与A2AA0,VywI,有A2Jf(x,y)dx<.Ai定理231（魏尔斯特拉斯M判别法）若3B>0,Vx>B,VyI,有f(x,y)mF(x,y),且无穷积分F（x,ydx收敛，则无穷积分aff（x,ydx在区间I一致收敛.a但这种方法该定理是判别某些无穷积分一致收敛性的很简便的判别法,有一定的局限性：凡能用定理2判别无穷积分是一致收敛，此无穷积分必然是绝对收敛；如果无穷积分时候一致收敛，同时又是条件收敛，那

6、么就不能用定理2来判别。对于这种情况，我介绍如下定理：定理321若函数f(x,y)在区间D(aExM十出,ywI),(a>0)连续，且xF(x,y)=Jf(t,y)dt在D有界,即3C>0,V(x,y)=D,a有F(x,y)=Jf(t,y)dtEC,则当九下0时，无穷积分jf(x,y)dx.aax在区间一致收敛.二sin例2证明：无穷积分JefsSdx在区间0,2)一致收敛。oxx证明只需注意：令F(x,y)=Je-tsintdt,1寸(x,y)wd(1Wx<+°°,0<y<+叼有F(x,y)<2(1-y)e-yt0(yTy).1y类似于

7、魏尔斯特拉斯M判别法有如下定理：*bo定理44】设jg(x,y)dx在区间I一致收敛，有存在La0,使当x之a与ay时，何有f(x,y)|WLg(x,y)成立，且当；下a时，对任意yI,f(x,y)均-bo关于x在a、】上可积，则g(x,y)dx关于时y在I一致收敛且绝对收敛.a例3设a>0,p>1,又存在L>0,使当x>a,yeI时，包有f(x,y)4与px成立，且当巴Aa时，对任意yWI,f(x,y)均关于x在g,仃上可积，试证-bejf(x,y)dx在区间I上一致收敛且绝对收敛.a证明只需注意此时14dx收敛即可.aXp关于含参量无穷积分一致收敛性与函数项级数一致

8、收敛之间的联系有下述定理:*bo定理53、参量无穷积分口(x,y)dx在区间I上一致收敛的充要条件a是：对任一趋于+9的递增数列r(其中Ai=c),函数项级数二二An1二二ZJf(x,y)dx=£Un(y)在区间I上一致收敛.ndAnn1-be在知道无穷积分Jf(x,y)dx关于y在区间I上的收敛值中(y)时，可应用下a述定理：*bo定理6口ff(x,y)dx关于y在区间I上一致收敛于巴y)的充要条件是almSUPtA1f(x,y)dx-(y):ywI>=0.aJ-bo例4判断f一一方dx关于y在c,+),(c>0)上和(0,依)内的一致收敛。1xy性.-boy解显然一d

9、x关于y在(0,收)内收敛于一.。1xy2酩SUP01+x2y冗ddx-221：y-cJ=ljmSup/一2c2一arctany:y_climJ-arctanc-)=0,而联UP01+xy2dx:y>0>22JI-arctany:y0=lim-be由定理6,得ydx关于y在0,y)上一致收敛于o1xy一,在(0,口)内非一2致收敛.定理741jf(x,y)dx关于y在区间I上一致收敛于a欠y)的充要条件是:意1n：'："=+8,加上ynwI(n=1,2,)，者B有limiff(x,yn)dx-*(yn)=0.-be例5试证f-i(xy)2dx关于y在(0,收)内非

10、一致收敛.-bo证明显然fJdx关于y在(0,f)内收敛于上-1(xy)1y取=n,yn=n(n=1,2,)，则=十多yn三(0,+g)(n=1,2,)，但是声nynlimf(x+yn)2dx-yn1yn=limynT1+ynaim1：1ni.：22由定理7,.1一Jdx关于y在(0,2)内非一致收敛.xy与函数项级数相应的判别法相仿，有31定理8(狄利克雷判别法)设(i)对一切实数N>0,含参变量无穷积分Nfx,ydxc对参变量y在kb】上一致有界，即存在正数M,对一切Nc及一切yb,b1,都有NJf(x,ydxWM;c(ii)对每一个ywkb，函数g(x,y)关于x是单调递减且当xt

11、十时，对参变量y,g(x,y)一致地收敛于0,则含参变量无穷积分-befx,ygx,ydxc在a,bi上一致收敛.定理9(阿贝尔判别法)设-bo(i)f仅,ydx在,b】上一致收敛；c(ii)对每一个ywa,b】，函数g(x,y)为x的单调函数，且对参变量y,g(x,y)在b,b1上一致有界，则含参变量无穷积分-befx,ygx,ydxc在a,b1上一致收敛.改inv.r例6证明含参变量无穷积分fe"y.dx在hd上一致收敛.0x,Sin证明由于无穷积分浊一dx收敛，(当然，对于参变量y,它在b,d】0x致收敛)，函数g(x,y尸e*y对每一个xw0,d】单调，且对任何0EyWd,x

12、20,都有gx,yt|ey故由阿贝尔判别法即得含参变量无穷积分fe'y也dx在b,d】上一致收敛.0x定理10”设对任意之>a,f(x,ydx均关于y在c点左(或右)连a-boJf(x,y)dx关于a-bo续，但f(x,cdx发散，则对任意刈>0,ayft(C-n,C)(或9,C”)y在(c-C)(或(C,C”)内非一致收敛.推论设存在“0>0,使f(x,y)在(x,y):xa,c-"0<yc(或-ba-bocWy<c+"0)上连续，但f仅,cdx发散，则对任意"a0,f(x,yHxaa关于y在(c-",c)(或(c

13、,c+")内非一致收敛.证明对任意U>a,由已知及含参变量无穷积分的性质，Jf(x,y)dx都关于y在（c-n0（或2储+、）止连续，当然在点左（或右）连续，再由已-be知及定理10,对任意刈0,f（x,ydx关于y在（c-，c）（或（c,c+“）汕a非一致收敛.、ncosx一例7试证：对任息“A0,-bdx关于c（在（1,1+唧）内非一致收敛.1x证明由于cosxx在(x,a):x>1,«>1)上连续，但争竺xdx发散，由本推论，易得1x对任意0,11colxdx关于a在（1,1+月）内非一致收敛.-bo定理11"设f（x,ydx关于y在匕d】

14、上收敛于平（y）,中（y）在bd】上a连续，又f（x,y旅&x,y）:x之a,cwyWd）上连续，且恒有f(x,y)之(或E0-bo成立，则ff仅,ydx关于y在区间Ed】上一致收敛于巴y）.a-be）上一致收敛于1s-1dx一试证1号一关于s在（1,收°xlnx二dx11证明显然Jdx关于s在（1,收）上收敛于'，,在（1,）内连exlnxs-1s-1续，又在x,ylx2e,s1上连续且恒正，由定理11得xInx-bedxs一二关于s在口)上一致收敛于exlnxs-1定理12设当x至a和ywI时，包有fx,y三gx,y<hx,y-bo-bo成立，且Jf(x,y

15、dx与jh(x,ydx均关于y在区间I上一致收敛于中(y),则aa-bog(x,ydx关于y在区间I上一致收敛于中(y).a证明对任意£>a和ywI,都有tttf,ydx<gx,ydx<hx,ydx.aaa因此,不难得出结论.本定理与数列收敛的判别法中两边夹定理如出一辙，故我将其称之为两边火定理.2 .含参变量无穷积分一致收敛的性质和函数项级数类似的，含参变量无穷积分也具有如下三条性质定理，故证明过程从略.定理13(连续性)若函数f(x,yX区域D(aMxW收4WyEP)连续，-bo且无穷积分中(y)=Jf(x,y)dx在区间k,B匚致收敛，则函数y施区间卜，B】a

16、-bo-bo连续，且limfx,ydx=limfx,ydx.yy0-'y%定理14(可微性)若函数f(x,y)与fy(x,y)在区域-boD(a<x<收p<y<P旌续，且无穷积分邛(y)=Jf(x,ydx在区间k,P】收敛abo且无穷积分巴y)=Jf(x,y)dx在区间k,P致收敛，则函数中(y立区间b,P】a-bo可导，且叫y)=Jfy(x,ydx,即ad二zfx,ydx=fx,ydx.dyaa：:y简称积分号下可微分.定理15(可积性)若函数f(x,y内在区域D(aExE-,aEyEP)连-ba续，且无穷积分中(y)=Jf(x,ydx在区间卜，P厂致收敛，则

17、函数外y爪区间aP-boPb,B/积，且严(ydy=fdxjf(x,y)dy,即：a：P-bo-boPdy.fx,ydx=dxfx,ydy.、工aa、工定理13、14分别表明：在一致收敛的条件下，极限运算、求导运算和积分运算可以交换；定理15表明在一致收敛的条件下，积分顺序可以交换。-x2例9计算I(a户0这三个定理在计算含参变量无穷积分上有极其广泛的应用-ax2一edxa0x22-k-axfax,a=xex,解法一设f(x,a)=l-,因为Va0,有22_x_axe-exmx=°，22_x_ax-一一一»a-a»>»、,所以，函数f(x,a)=在

18、(x,0)可连续开拓。使f(x,a)与fa(x,a)在区x域D(0<x<,0<a<)连续，Va>0,3s>0(s<1,d>1,使awb,6,.x2.axe-ex无穷积分be门(0二a2二-)dx=xe&xdx0事实上，X/aWk,5】,有22-ax.-0xe<xe,-bo-bo已知xe-承dx收敛，则xe"xdx在G,5一致收敛.00根据定理14,VawkQl有长口-x2-ax2-he-bed、，dee,qx21qx21I(a)=f()dx=Jxedx=e=06ax02a02ada1从而I(a)=f=lna+C.令a=1,已知I(1)=0,有2a21I(1)=Tn1+C=0,因止匕，C=0,21于是，Va>0,有I(a)=lna.2解法二622-x2-ax2由于e-exa2.=Jxedt,所以1.一：iatx2.Ia)idxxedt.01记f(x,t)=xe_tx2,则f(x,t)在0,+oc)x1,a1(或0,依尸匕,1】)上连续，-be一tv2且Jxedx对