闭区间上连续函数性质的证明

1、第二节 闭区间上连续函数性质的证明福州大学数学与计算机学院1一、有界性定理一、有界性定理二、最值定理二、最值定理三、零点存在定理三、零点存在定理四、反函数连续性定理四、反函数连续性定理五、一致连续性定理五、一致连续性定理福州大学数学与计算机学院2用反证法 .)(lim,)(, 32, 1.)(,)( nnnnnnnxfnxfbaxxnnxfbaxnbaxf即并且，得到一列取使得都存在一点整数上无界，即对任意的正在假设定理定理1 设设f(x)在在a,b上连续上连续,则则f(x)在在a,b上有界上有界.证明一:(应用致密性定理证明)一 有界性定理 福州大学数学与计算机学院3).()(lim)(li

2、mlim)()(lim,)(.,.lim 00000000 xfxfxfxxxfxfxbaxfbaxbaxxxxxxxnknkxxnnknnkkkkk限的关系可得根据函数极限与数列极，又，点处有故在上连续，在，则由于，不妨设一收敛的子列中可以找到在有界数列由致密性定理，福州大学数学与计算机学院4.,)(.)(lim,)(lim这就证明了定理与已知条件矛盾的上无界的假设是在也就是说盾的结果相矛因此我们得到了两个互可知由子列的性质再另一方面，由baxfxfxfknknn福州大学数学与计算机学院5证法二: ，性由连续函数的局部有界使得0),;(,xxMxobax.,);()(baxoxMxfxx,)

3、;(baxxoHx考虑开区间集，baH由有限覆盖定理的一个无限开覆盖是显然, 2 , 1,);(kibaxxoHHiii的一个有限子集存在(应用有限覆盖定理证明)福州大学数学与计算机学院6., 2 , 1)(.,);(kiMxfbaxoxiii有ikiMM1max令.)();(,MMxfxoxbaxiii必属于某则.,上有界在从而baf使得且存在正数覆盖了,21KMMM，ba福州大学数学与计算机学院7用反证法等等分分为为两两个个小小区区间间上上无无界界，将将在在若若,)( babaxf，至至少少在在其其中中之之一一上上无无界界则则与与)(,22,xfbbabaa 等等分分为为两两个个小小；再再

4、将将闭闭区区间间把把它它们们记记为为,1111baba至至少少在在其其，同同样样与与闭闭区区间间)(,22,111111xfbbabaa证明三:(应用区间套定理证明)这这样样的的步步骤骤一一；记记为为中中之之一一上上无无界界，把把它它们们,22ba福州大学数学与计算机学院8在在其其中中闭闭区区间间套套直直做做下下去去，便便得得到到一一个个)(,xfbann根根据据闭闭区区间间套套定定上上都都是是无无界界的的任任何何一一个个闭闭区区间间.,nnba并并且且属属于于所所有有的的闭闭区区间间存存在在唯唯一一的的实实数数理理,nnba nnnnba limlim 连连续续，b b ，而而f f( (x

5、 x) )在在点点 a a, ,因因为为, 0, 0 M存存在在成立成立对于一切对于一切,),(baOx 性性定定理理，由由连连续续函函数数的的局局部部有有界界.)b, a(),b, ab, a(b, a:结结论论未未必必成成立立或或改改成成若若注注意意福州大学数学与计算机学院9nbannnn大大的的我我们们又又可可知知道道对对于于充充分分由由于于,limlim ,),(,baObann 上上有有界界充充分分大大在在这这些些闭闭区区间间于于是是得得到到)(,)(nbaxfnn.，证证毕毕的的结结论论，从从而而产产生生矛矛盾盾.)1 , 0(1)( 上连续，但无界上连续，但无界在开区间在开区间例

6、如：例如：xxf 是是一一个个有有界界数数集集。上上有有界界，即即就就是是集集合合在在 ,)( .)(baxxfRbaxff .)(Mxf 福州大学数学与计算机学院10定理定理2 设设f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续上连续,则则f(x)在在a,b上一上一定有最大值和最小值定有最大值和最小值.证法一 (应用致密性定理证明).,)(,.,)(最大值即为有最大值下证为上确界设下确界和上有界，因而有上确界在由有界性定理，xfbaxf.)(lim,)(1)3, 2, 1(,)3, 2, 1(1)(,0nnnnnxfxfnnbaxnnxfbax即使得，则存在，取使，对由上确界的定义，二 最大最小值定理

7、 福州大学数学与计算机学院11.)(lim.,lim. 00kkknknknnnxfbaxxxxxx再由子列性质不妨假设收敛的子列有一由致密性原理是一个有界数列，.)()(. )()(lim)(lim),()(lim)(00000有最小值有最大值，同理可证即证明了和数列极限的关系可得有函数极限点连续即在而xfxfxfxfxfxfxfxxfxxnkxxk福州大学数学与计算机学院12证明二: (应用确界原理证明)，bafbaf有上确界故由确界原理上有界在由于已证得),(,.,.M记为.)(,:Mfba使以下证明令都有假设,)(,Mxfbax.,)(1)(baxxfMxg.,)(,)(上有界在故上连

8、续在则baxg，baxg福州大学数学与计算机学院13.,)(1)(0baxGxfMxg则.,1)(baxGMxf从而推得.)(),(相矛盾最小上界的上确界为这与bafM.,.)(,上有最大值在即使所以必bafMfba.,上有最小值在同理可证baf，gG的一个上界是设福州大学数学与计算机学院14.) 1 , 0()(,) 1 , 0()(: 既无最大值又无最小值在但和下确界上确界上连续且有界，因而有在例如xfxxf和最小值，不一定能取到最大值：开区间上的连续函数注1最小值不一定能取到最大值和：区间上不连续函数也注2 . 10,)(. 10,)(: 值上有最大值但是无最小，在值上无最大值但是有最小

9、，在例如xxxfxxxf福州大学数学与计算机学院15定理定理3(3(零点存在定理零点存在定理) ) 设设 f(x) 在闭区间在闭区间a,b上上连续连续 , 且且 f(a) 与与 f(b) 异号异号(即即 f(a) f(b)0 ) , 则至少则至少存在一点存在一点 (a,b) 使使 f( )=0. .三 零点存在定理证明: (应用区间套定理证明);, 0)(即为所求则若ccf,0)(,0)(bfaf不妨设，bccaba,与等分为两个子区间将福州大学数学与计算机学院16,0)(0)(11b，faf则有:,11得到重复上述过程出发再从，ba, 0)(,1111cfcba上有的中点或者在且上满足或者在

10、, 0)(, 0)(,2222bfafba，cabacfcf,0)(, 0)(11时记则当若，bcbacf,0)(11 时记当).(21,1111abab，baba且福州大学数学与计算机学院17:将出现两种情形去将上述过程不断进行下，).(21,2221122ababbaba;, 0)()(即为所求则上有在某一区间的中点iiiccfci, 0)()(iicfcii上均有在任一区间的中点且满足, 0)(, 0)(nnbfaf,nnba则得到闭区间列福州大学数学与计算机学院18.limlim,nnnnbaba，使由区间套定理.0)(f下证., 2 , 1),(21,11nabab，babannnn

11、nnn.,)(处连续上连续，因此在点在baxf. 0)(, 0)(lim)(, 0)(lim)(fbffaffnnnn即得到因而同时有福州大学数学与计算机学院19介值定理介值定理 闭区间闭区间a,b上的连续函数上的连续函数f(x) 可以取其可以取其最大值和最小值之间的一切值最大值和最小值之间的一切值. 即设即设f(x) 在在a,b 上上的最大值为的最大值为M，最小值为，最小值为m，那么对任意的，那么对任意的c，mcM, 则至少存在一点则至少存在一点 (a,b) 使使 f( ) = c . .福州大学数学与计算机学院20需要证明：在只的存在性和单调性，现我们已经证明了反函数 四、反函数连续性定理

12、.),()(,)(,)()(4和连续的减少上也是单调增加间它在区的反函数存在反函数上，则在区间又设连续，且减少严格单调增加在设定理xyxxfyxbfafbxaxf.,)(是严格单增且连续的在不妨假设证明：baxfy 福州大学数学与计算机学院21.,)()(,)(,.)(, 1)00的值域为的值域中，即证明了也在内的任何，这表明，满足中必存在一点定理，在由介值如果的值域中在和即或，那么相应的或中的任意一点，如果是设xfyxfyyxfxbayxfbaxyy证明如下上连续在反函数；的值域是函数.,)( )2,)( 1)yxxfy福州大学数学与计算机学院22.)(-)( 00,)(,),( 2)000

13、0yyyyyyy时，有，当即证点连续，在要证明中的任意一点是设.,-)(-)().(,)(,)()(00000000 xxxxxyyxfyyxfxyxy即化为此时要证明的不等式那么，记福州大学数学与计算机学院23.)(-)()()(),()(min0000000点连续因此反函数在就有时，则当，因此取yyyyyxfxfxfxf.2.）即证明了端点处的连续性同样可以证明反函数在利用左右连续的定义，)()()()()()()(,)(000000000 xfxfyyxfxfxfxfxfxxxyx即只需成立因此要不等式的是严格单调增加由于.)()(上一致连续在上连续不一定得到在XxfXxf福州大学数学与

14、计算机学院24定定义义 ,0)(,0)( xfxfxxXxxXxf就有且只要上定义，若在区间设函数.)(一一致致连连续续上在区间则称函数Xxf上上连连续续在在上上一一致致连连续续在在XxfXxf)()(五、 一致连续性定理 但有但有, ,n n1 1x xx xn nn n 福州大学数学与计算机学院25（康托定理）定定理理5 5在在闭闭区区间间若若函函数数)(xf.,上上一一致致连连续续上上连连续续，则则它它在在baba采用反证法上上非非一一致致连连续续，在在闭闭区区间间假假设设,)(baxf, 2 , 1,)()(0 nxfxfnn 满满足足b b , , a a, , , ,和和0 0，及

15、及两两数数列列0 0 nnnnxxxx 定定理理，有有界界，由由x x因因为为n n致密性证法一证法一(应用致密性定理证明应用致密性定理证明)福州大学数学与计算机学院26,limbaxxkknnn ：存存在在收收敛敛子子列列下下标标相相同同，其其下下标标与与中中取取子子列列在在点点列列,kknnnxxx 又又得得到到则则由由), 2 , 1(1 knxxknnkk,lim)(limlim kkkkknknnnknkxxxxx连连续续，因因而而有有在在点点由由于于 )(xf)()(lim )(lim fxfxfkknknk 于于是是得得到到：0)()(lim kknnkxfxf.,)()(0证证毕毕产产生生矛矛盾盾但但这这与与 kknnxfxf福州大学数学与计算机学院27证明二: (应用有限覆盖定理证明)上的连续性在由,baf时有且当,);(, 0, 0baxxoxbaxxx. 2/)()(xfxf,)2,(baxxoHx考虑开区间集合由在限覆盖定理的一个开覆盖是显然，baH, 2 , 1)2,(kixoHHii的一个有限子集存在福州大学数学与计算机学院28. 02min记b.a,覆盖了iki1，Hxxxbaxx中某个开区间必属于 ,此时有即设，xxxoxiiii2),2,(,222