圆锥曲线齐次式与点乘双根法

1、圆锥曲线齐次式与点乘双根法,圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值22例1：Qi,Q2为椭圆条1上两个动点，且OQiOQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD,求D的轨迹方程D(x0,yo),设直线QQ2方程为ykxm,解法一(常规方法)：设QKKyJQMxz,y2),ykxm联立x2y2化简可得：於F1所以(2b2k2b2)x24kmb2x2b2(m2b2)0,2b2(m2b2)b2(m22b2k2)xix22b2k2b2,y1y22b2k2b2因为OQOQ2所以2(m2b2)m22b2k22k212k212b2(m2b2)b2(m22b2k2)x1x2y1y22b2k2b22b2k2b23m2

2、2b2(1k2)2xo),即yx0x-xy对比于yov。0又因为直线QQ方程等价于为yy-(x120X0kykxm，则丫x0y0解法（齐次式）：设直线Q1Q2方程为mxny代入中，化简可得:mx1,联立x2xvv2b2b22V。mx2x2b2ny12y210b22x2b22y分化简可得22b-2mnxy0mxby)整理成关于x,yx,y的齐次式：（22b2n2)y2(12m2b2)x24mnb2xy0,进而两边同时除以x2,则2m2b2(22bn)k4mnbk12mbkh22b2因为OQ1OQ2OQ1OQ所以Ik22m2b22b2n232b2(m2n2)又因为直线QQ方程等价于为12x0Z-(

3、xV。xoV。20x-yV。对比于0xO2x)mxny1,则X202y0y2-yn0代入中，化简可得:2y°2x例2:已知椭圆一4设直线l不经过点P（0,1）的直线交于AB两点，若直线PA,PB的斜率之和为1,证明：直线i恒过定点.解：以点P为坐标原点，建立新的直角坐标系x'py',如图所示:旧坐标新坐标AA'BB'(x,y)(x',y')即(0,1)(0,0)x'x所以y'y1原来kkPAPBi112y21i则转换到新坐标就成为:yiy2x12即kJk2'1设直线l方程为：mx'ny'1原方程：

4、x24y24则转换到新坐标就成为：x'24(y'1)24展开得：x'24y'28y'0构造齐次式：x'24y'28y'(mx'ny')0整理为：(48n)y'28mx'y'x'20两边同时除以x'2，则（48n）k'28mk'10所以k'k128m48n1所以2m2n11而mx'ny'1(n)x'ny'122x'n(x'y')一10对于任意n都成立.2x'y'0则：，工102x&#

5、39;2,故对应原坐标为y'2x2所以恒过定点（2,1）.y12例3:已知椭圆上8y221,过其上一定点P（2,1）作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于A,B两点，证明：直线AB斜率为定值解：以点P为坐标原点，建立新的直角坐标系x'py',如图所示:旧坐标新坐标(x,y)(x',y')即(2,1)(0.0)所以AA'BB'原来kk0PAPByi1x21y21八、一，y20则转换到新坐标就成为:xn2y1y2"x-'X12即kJk2'0设直线AB方程为：mx'ny'1原方程：x平移变换，斜率不变，

6、所以直线AB斜率为定值.4y28则转换到新坐标就成为：(x'2)24(y'1)28展开得：x'24y'24x'8y'0构造齐次式：x'24y'24x'(mx'ny')8y'(mx'ny')0整理为：y'2(48n)x'y'(4n8m)(14m)x'20两边同时除以x'2,则(48n)k'2(4n8m)k'14m0所以k'k'4n8m0所以n2m1248n1而mx'ny'1mx'(2m)y&

7、#39;1mx2my10.所以k=2，点乘双根法例4:设椭圆中心在原点O,长轴在x轴上，上顶点为A,左右顶点分别为F1,F2,线段OFi,OF2中点分别为Bi,B2,且ABiB2是面积为4的直角三角形.(1)求其椭圆的方程(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点，使PB2QB2,求直线l的方程.(2)易知：直线l不与轴垂直，则设直线l方程为:yk(x2)P(Xi,yi),Q(X2,y2)所以(xi2.y)(X22、)0(Xi2)(X22)k2(Xi2)仅22)现联立yk(x2)22士Ei20425k(x22)20则方程X25k2(X2)2200可以等价转化(i5c2)(xiX)(X2x)即x25k2(x2)220(i5k2)(xx)(xx)2,480k220(i5k2)(Xi2)(X22)(Xi2)(X22)80k2i6i5k22,4020(i5k2)(x2)(x2)i2(X2)(x,2