圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析

1、圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析圆锥曲线中的三角形问题(特别是与焦半径相关的三角形问题)是解析几何中的一个综合性较强的重点内容。下举例谈谈圆锥曲线焦点三角形问题常见类型。、定值问题22xV一.、.例1.椭圆f+0=1(a>b>0)上一点P,两个焦点abFi(y,0),F2(c,0),线长为定值。F1PF2的内切圆记为eM,求证：点P至UeM的切证明：设。M与PF1F2的切点为A、B、C,如图1,因。M是PF1F2的内切圆，所以|F1A|=|F1C|、|F2c|=|F2B|,|PA|=|PB|;二|F1CI+|F2c|=2c,IF1AI十|F2B|=2c,由椭圆第一定义知|PF1|

2、十|PF2|=2a,，|PA|+|F冏+|PB|+|FzB|=2a,2|PA|=2a2c即|PA|=ac为定值.证毕.点评：圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础，而且也是解题的重要工具.对于有些解析几何问题，若从圆锥曲线的定义上去思考，往往会收到避繁就简捷足先登的解题效果。二、动点轨迹问题22xV,一八，例2、已知椭圆丁+丁=1(a>b>0)上一动点巳两个焦点F1(-c,0),Fz(c,0),AF1PF2ab的内切圆记为eM，试求圆心M的轨迹方程。解析：如图1,设/PF1F2="、/PF2F1=3,M(x,y)则在PF1E中由正弦定理及椭圆的定由等比定理有即义有

3、严1|=严2|=PEs0rsdns180h-(a+P)|PF111PF2|F1F2|2a2c-一!=1121-=,又由合分比定理知sin二.:sin:sin(:工一”sin.二二sin:sin(:二一日)tantan二ac。由斜率公式知：kMFi=V-,kMF2=V(y00),由前述不难看出，不22ac1xc2x-c论P位于椭圆上(异于长轴两端点)何处，总有岂Pyya-ckMF1kMF2=-tantan,.-二-(y=0).22xcx-cac整理得(ac)x2+(a+c)y2=(ac)c2(yw0)证毕.点评：由上获得的方程不难看出，PF1F2的内切圆圆心M始终在包含于原椭圆内的一小椭圆上移动

4、.如果PF1F2中出现两个角，可以考虑应用正弦定理。同时从解题过程，不难得到22个重要的结论：xy.、.一已知椭圆2+2=1(aAbA0)上一点P及两焦点巳、F2,若a2b2/PF1F2=o(,/PF2'=P,则椭圆的离心率为三、方程问题例3.如图2,已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1、F2分冗别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P,/F1PF2=二，且PF1F2的3面积为2网,双曲线的离心率为2,求该双曲线的方程。22xy解析：设双曲线的万程为2-y2=1(a>0,b>0),F1(-c,0),F2(c,0),abPd，y（J。在PF1F2IF1F2ITPFiI

5、+IPF2IN|PFi|IPF2I冗cos一3二(IPF1I-IPF2|)2+|PFJIPF2I224c=4a+|PF1|PF2|,又因为SAPFF2=2V3，所以1|PF|PF21si2|PF1|PFz|=8,所以4c2=4a2+8即b22,所以a2,22一。故所求双曲322线方程为巴匕=1。22点评：如果在PF1F2中仅知一个角，我们经常要联想到余弦定理解决问题。四、最值.范围问题2例4、已知曲线C的方程为x4C交于MN两点，若/MAN钝角，=1,A(1,0),B(1,0),过点B的直线l与曲线求直线l的倾斜角为a的取值范围。解：（1）若l，x轴，的方程为x=1=M（1,3-),N(1,2

6、,3/MAN=2arctan:二904（不合题意）。（2）若l与x轴重合，则/MAN=兀（不合题意）。(3)若l与x轴、y轴不垂直，设l：y=k(x1)(kw0),代入曲线C的方程得：_.2.2一8k4k-12(3+4k)x-8kx+4k12=0设M(x1,yjN(x2,y2)=x1+x2=,x1x2=-34k34k2所以AMAN=(Xi+1)(x2+1)+y/2=(Xi+1)(x21)k(X1-1)(x2-1)222二(1k)x1x2*(1k)(X1-X2)-1-k27k-9234k2因为/MAN为钝角，所以AM-AN<0所以7k2-9<0,29所以0<k2<，所以7

7、3,73.7317<k<0或0<k<二7。所以倾斜角a的范围是:(0,arctan33)(二-arctan3"-)7"7"点评：有关三角形角的大小问题可用向量形式转化求解。如在F1PF2中，/F1PF2为锐角ffucos/F1PF2>0uPF1PF2为钝角Ucos/F1PF2<0U五、开放性问题>0；TPF1,-.±2TT-/F1PF2为直角ucos/F1PF2=0仁PF1-PF2=0；/F1PF2TPF2<0°例5、已知F1,F2为双曲线2x2a2y=1（a>0,bA0且a#b）的两个焦点，P为双曲线右b2支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点.下面四个命题：PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=a上；APFiF2的内切圆的圆心必在直线x=b上；PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上；pf1F2的内切圆必通过点（a,0）.其中真命题的代号是题的代号）.（写出所有真命解析：设PFF2的内切圆分别与PR、PE切于点AB,与F1F2切于点M,则|PA|=|PB|,|FiA|=|FiM|,|F2B|=IF2MI,又点P在双曲线右支上，所以|PFi|PF2|=2a,故|FiM|IF2MI=2a,而|FiM|十|F2M