在不平的地面放稳椅子

1、在不平的地面放稳椅子摘要针对在不平的地面将椅子放平稳的问题,文章建立了三个模型来解决该问题.将椅子的四脚连线看作特殊的四边形进行求解.对于问题1,正方形是最简单也是最特殊的一种情况,我们用连续函数零点存在定理,证实出一定可以使椅子放稳.对于问题2,我们采用和问题1相同的方法与过程,证实出可以放稳.对于问题3,等腰梯形和正方形、长方形有一些区别,它更加一般化,旋转的区间围更大,在.,2万上进行旋转,也可以找出能放稳的点,方法与问题1、问题2相同.文章在解决这些特殊化问题后,对一般性结论进行了猜测与论证,并最终得出结论,对一般的四边形,也能使它在不平的地面上放稳.关键词：椅子；不平地面；放稳；数学

2、模型；连续函数；零点存在1.问题的重述在不平的地面上,椅子通常只有三只脚着地,只需稍挪动几次,就能使四只脚同时着地,即放稳了.问题1:椅子四脚连线呈正方形；问题2:椅子四脚连线呈长方形；问题3:椅子四脚连线呈等腰梯形.2 .问题的分析当椅子放稳时应为椅子的四条腿同时着地(即椅子的四条腿脚与地面的的距离为零),用连续函数的零点存在定理,找出在某一围一定存在的点,能让四条腿同时着地.3 .模型的假设与符号说明3. 1模型的假设(1)假设一：椅子的四条腿一样长,将椅子与地面的接触看作一个点.(2)假设二：将不平的地面看作连续的曲面,没有间断点.(3)假设三：椅子在任何位置至少有三脚着地,才能保证椅子

3、能放平稳.3.2符号说明符号一：为四边形上四点,4',夕,为旋转后四边形上四点.符号二：.为四边形的中央.符号三：.为旋转角度.4 .模型的准备连续函数零点存在定理：对VF(x),假设尸(x)在句上为连续函数,且F(a)F(b)«O,那么*L,使得户?)=0.5 .模型的建立与求解5.1问题1的模型建立与求解模型建立：1.正方形ABC.为椅子四脚的连线,2 .椅子中央为.点,3 .当椅子绕中央.点旋转°度后,椅子从正方形A8CZ变为正方形A6C.,旋转角度为,设椅脚4c与地面的距离之和为/,氏°两脚与地面距离之和为g6,其中f、g0.模型求解：由假设可知,

4、地面为连续曲面,为连续函数.至少三个脚着地,八g中至少有一个为零,不妨令/e=°,ge°.当嗯时,吟.“=.将此问题转换为证实以下结论:八夕和放夕为连续函数,vej6g8=0j0=gC=0jC0,g0022.证实：然°,使证：令力夕=/一g6,那么力00和“彳8/送连续,也连续,裕亡0,万,使力仇=0即/网=前网,*/6.,ge.=0,/为=g6o=o.O5.2问题2的模型建立与求解O模型建立：1.长方形ABC.为椅子四脚的连线,2 .椅子中央为.点,3 .当椅子绕中央.点旋转°度后,椅子从长方形A8C°变为长方形AEC.,旋转角度为,设椅脚4

5、°与地面的距离之和为"6,民°两脚与地面距离之和为g.,其中/.、geo.模型求解：由假设可知,地面为连续曲面,./喜为连续函数至少三个脚着地,.九g中至少有一个为零,不妨令/8=°,ge°当6=江时,/灯0送乃=.将此问题转换为证实以下结论：“6和冢为连续函数,veje*gc=ojo=g4=ojgo,goo证实：四.,使/6o=ga=0.证:令岫="6一g6,贝|J力.和h0./*连续,.也连续,使人a=0即/6.=ga.,*/6.,ge.=0,二./为=g6o=o.5.3问题3的模型建立与求解AC两脚与地面的距离和为两脚与地面的距

6、离和为g8,在任何情况下至少三脚着地,即/6送夕至少有一个为°,并且/6"0,g62.当e=o时,不妨设且笛片“.之.以对角线AC、8.的交点.为中央,旋转使AC与原来的8.重合,此时不考虑8.所处的位置,那么4c边所对应的函数值由原来的/2°变为/e=o,故/3=0构造辅助函数"夕=/2一且外贝7(0)=/(0)-g(0)=/(O)>OJi(a)=f(a)-g(a)=f(a)<0有连续函数的零点存在定理可知：(°.)之间一正一负,至少有一个dJ-g=0.在任何情况下至少三脚着地,即夕)常(夕)至少有一个为°,故/(q)=

7、g(q)=o*所以,也存在一个适当的角度能使四脚连线呈等腰梯形的椅子在不平的地面放平稳.6 .模型结果的分析与检验椅子问题虽然是日常生活中一件非常普通的事,但在实际中却有指导意义.由于我们事先不知道要把椅子放在什么样的地面上,所以也不可能对地面提出任何要求,这对椅子的设计提出了一定的要求.上述结论不只是对制作椅子有用,对很多四脚物体,如桌子,家用电器,四脚机器或设备等,都有设计方面的应用价值.用函数的观点来解决问题,引入适宜的函数式关键.此题用变量e表示椅子的位置,用e的两个函数表示椅子四脚与地面的竖直距离,较为准确与适宜.7 .模型的推广与改良方向如果将椅子的四脚连线看作一般的四边形而非特殊

8、的,下面我们进行分析与讨论.分析：首先,椅子绕中央轴旋转一周,显然,椅子与地面的接触点组成了三维空间中的一条封闭曲线,下面考虑这条封闭曲线的性质其次,选择一个水平面,那么曲线中的每一个点与水平面都有一个距离,并且这个距离是椅子位置变量e的连续函数.如图,记封闭曲线上关于中央轴对称的A、C两点与水平面的距离之和为/6,而对称的8、.两点与水平面的距离之和为g6=/e+°,/8,gO都是连续函数,显然,四只脚同时着地也就是两个距离和相等.最后,归结为数学问题：f8,g8是e的周期为2乃的连续函数,对于Vee0,2-ge=/e+a,证实：明,使得d=gd=O.证实：构造函数_g6=fS-f

9、e+a,显然力8连续,“是e的周期为2乃的连续函数,那么根据闭区间连续函数最值得性质,羽e,使/4=maxfxIxe0,2,/0,=min/xlxe0,2.月K么田420,力口o.如果两个不等式有一个等号成立,那么问题得证；否那么力的°,"40根据连续函数的零点定理,三珞,使",.=°,即/%=g%=0对于一般的四边形,如图,让A、C两点保持定长在封闭曲面上移动,E点与水平面的距离是一个双变量的连续函数/“,'；让8、.两点保持定长在封闭曲面上移动,E点与水平面的距离是一个双变量的连续函数gK'.具体结论：在封闭曲面.上,在保持定长的移动过程中,线段斗.中的七点与水平面的距离是一个双变量的连续函数八乂'可以取到最大值M和最小值,线段8.中的七点与水平面的距离是一个双变量的连续函数g%V可以取到最大值和最小值H.如果">">?、?,那么一定存在一点5,%,使得,即椅子可以放平.8 .模型的优缺点优点：该模型较全面的研究了在不平的地面上如何使椅子放平,对椅子四脚连线所称的形状进行了分别讨论,同时也对一般四边形的问题进