基本初等函数知识点(一轮复习)

1、根本初等函数中学阶段(初高中)我们只要求掌握根本初等函数及其复合函数即可.什么是根本初等函数就是那些：哥函数(一次二次负一次)、指数、对数、三角等.力求在这些具体函数中,运用函数的性质(奇偶性、周期、单调等的性质),掌握某些函数的特殊技巧.一、一次函数初中的一个函数,Primary根本、简单而又很重要.解析式：y=kx+b或y=ax+b,通常我们会这样设.那么高中我们在什么地方会用到它呢解析几何中我们会设直线；线性规划会有好多跟直线；也容易在函数里面作为条件表达一下画出以下解析式的图像：要求快(1)y=x+1;(2)y=x-1(3)y=-x+1(4)y=-x-1(5)x=1(6)y=1(7)y

2、=2x根据以下条件,设出一次函数的解析式：(1)直线经过(1,2)点(2)直线的斜率是2总结：两个参数主宰斜率和与y轴的交点位置.由于两个参数,所以要有两个条件才能解得解析式.二、二次函数二次函数的大局部内容在另外一个讲义里面已经讲述了,这里补遗强调一下.十分重要的内容,属于哥函数中最重要的一类.二次函数图象的应用与其最值问题是高考的热点,题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现,主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用,塞函数的内容要求较低,只要求会简单哥函数的图象与性质.1、二次函数的三种表示形式(1)一般式:y=ax2+bx+c,(aw0);(2)顶点式：y=a(xh

3、)2+k(顶点坐标为(h,k);双根式：y=a(xx1)(xx2)(图象与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)求一元二次解析式：将题目有的条件表示一下,没有难度,过场的题目而已Eg:二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1+x)=f(1-x);(2)f(x)的最大值为15;(3)f(x)=0的两根平方和等于7.求f(x)的解析式.Ans：f(1+x)=f(1x)知二次函数对称轴为x=1.,最大值和对称轴,用顶点式,设f(x)=a(x1)2+15=ax2-2ax+15+a.2 22-Xi+x2=7即(Xi+x2)2xiX2=72(15+a)4a7,a=-6.2、二次函数在特定区间上的最值问题

4、EX:函数y=x2+4x+3在卜1,0上的最大值是,最小值是.解析:y=x2+4x+3=(x+2)2-1,对称轴x=-2,在卜1,0的左侧,所以在卜1,0上单调递增.故当x=0时,f(x)取最大值f(0)=3;当x=-1时,f(x)取最小值f(-1)=0.答案:30进阶Eg：(建议一做)：函数f(x)=-x2+2mx+1-m在0WxW1时有最大值2,求m的值bbb(1)假设(x=已=0)(2)假设(0x=巴=1)key:m=-1orm=22a2a2a解析：每种情况分别画出草图.原草图作法：求根得到与x轴的交点,c与y轴的交点,a看开口,估计着画.但是这里m为参数解不出根,c也未知.题目的条件是

5、固定区间的最值,我们只要知道定义域内的增减性(单调性)即可,由于已经知道开口向下,所以只要分类讨论对称轴的位置即可.123问分别是分类讨论的三种情况进阶Ex：f(x)=x2+3x-5,xCt,t+1,假设f(x)的最小值为h(t),写出h(t)的表达式.解析：所求二次函数解析式(所以图像也)固定,区间变动,可考虑区间在变动过程中,二次函数的单调性,从而利用二次函数的单调性求函数在区间上的最值解如下图,函数图象的对称轴为x=-3,2.3一5一,25329II=,24(1/t+1-,1Pt万时,h(t)=f(t+1)=(t+1)+3(t+1)5,即h(t)=t2+5t-1.t-I(2/t-|t+1

6、,即一5t三时,h(t产f(t)=t+3t5.综上可得卜=L型5t-2I2；3、方法技巧：待定系数法,恒成立问题之别离变量Eg/Ex:二次函数f(x)满足f(x+1)f(x)=2x,且f(0)=1.求f(x)的解析式；(2)在区间1,1上,函数f(x)的图象恒在直线y=2x+m的上方,求实数m的取值范围.【解析】(1及函数f(xrax2+bx+1(a=0),f(x+1)-f(x)=2x带入假设的解析式22贝Ua(x+1)+b(x+1)+1=ax+bx+1+2x,一2a一b二b_2fa=1整理得12abb2,解得户1所以ffx尸x2-x+1.ab1=1b-1(2x1,1对,由x2x+12x+mi

7、,得x23xmi1.当x=1时,(x23x)min=-2,所以m-1-2,那么mf(x)在R上恒成立(1)求f(x)的解析式；(2)求m的取值.Key:f(x)=2x+1;m0三、骞函数解析式f(x)=xa,当a=1时,一次函数；当a=2时,二次函数；当a=-1时,反比例函数；当a=l时,y=jx.哥函数只要求掌握a为某些特殊值的时候的图象即可.2备函数性质的推广(1)一般地,当a0时,备函数y=xa有以下性质：图象都通过点(0,0),(1,1)；在第一象限内,函数值随x的增大而增大【也就是x0单调递增咯】在第一象限内,a1时,图象是向下凹的；0a1时,图象是向上凸的；在第一象限内,过(1,1

8、)点后,图象向右上方无限伸展.(2)当a0单调递减咯】在第一象限内,图象向上与y轴无限地接近,向右与x轴无限地接近；在第一象限内,过(1,1)点后,|a|越大,图象下落的速度越快.1、看指数判断图象前人归纳的结论：哥函数的图象一定会出现在第一象限,一定不会出现在第四象限,是否在第二、三象限内出现,要看奇偶性；在(0,1)上募函数中指数愈大,函数图象愈靠近x轴(简记“指大图低)在(1,+8)上,哥函数中指数越大,函数图象越远离x轴.Eg：如上图,为哥函数y=xAn在第一象限的图象,那么C1、C2、C3、C4的大小关系为()A,C1C2C3C4B,C2C1C4C3C,C1C2C4C3D,C1C4C

9、3C2【解析】观察图形可知,C10,C20,且C11,而0C21,C30,C40,且C3C4.【答案】CEx:如上图是募函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,那么()A.1n0m1B.n1,0m1C.1n1D.n1key:A2、比拟大小-利用哥函数的单调性比拟大小要注意以下几点:1将要比拟的两个数都写成同一个函数的函数值的形式.2构造的哥函数,要分析其单调性.3注意两个函数值要在同一个单调区间上取到.中间值通常选用0、14假设直接不易比拟大小,可构造中间值,间接比拟其大小.例4比拟以下各组数的大小.I1.Pt0.9J；(2)(Y210-2一3 .(-y)(-I-1)解析口把I看作考察等函敌

10、丁=,在0,+上它是增函数.107)410(I)3二和3.I.三11(2)-rW-(y)T(3)(-不)和(一瓦)工2_2_J_(4)4.户3gl和(ri.9)-三【解析】1*.*,=/丁在IL+M上递遍.且9*=(y)(3)ty=X-t在(0,+x)上盘喊且为偶函数-n.疗1,h-=X-1在(一H.0)上递增一二-WJ暴函数1=工亍在0.4上是增函数,昱5亡二一%一一LI土思考题4比拟以下各组数的大小.27=工-才在0+刘上途演且04g9J7T(4)(-1.9尸3,8-y0过原点就是a0四、指数函数指数函数是高中新学的,反响相同的底数a被自乘x次的结果.同时它也是理解对数函数的根底.1、指数

11、运算水平*根式的性质：()a)n=a；当n为奇数时,VOn=a；当n为偶数时,(a-0)(a0)(2)分数指数哥的概念正数的正分数指数哥的意义是:man=nfam(a0,m,neN+,且nl).0的正分数指数哥等于0.正数的负分数指数哥:L=(y=a(ao,m,n且).的负分数指数哥没有意义.注意口诀：底数取倒数,指数取相反数.(3)分数指数哥的运算性质rsrsaa=a(a0,r,scR)如果是除法就相减咯.(ar)s=ars(a0,r,sR)(ab)r=arbr(a0,b0,rR)解决此类问题的关键是利用哥指式的运算性质,将根式与指数哥互化.一般地,进行指数哥的运算时,化负指数为正指数,化根

12、式为分数指数哥,便于利用哥的运算性质,化繁为简.11121EG:廿U-3a%b2(4abjW父而；11、111311原式=一a6ba1(2a-b-)xa2b2a2b2Ma2b2=一卫b,=一旦.I2J32444b1121飞rc25105“原式二-721=491=-45.10009332、图像性质：f(x)=ax自变量在指数的位置,注意跟哥函数f(x)=xa区别(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如下图,那么0cd1a0时,0.8a0.7a;当x=a0时,0.8a30=1,又y=0.4x是减函数,所以0.430.43.0.90.48Dyy3y2ex.设y二4,y2=8

13、,y3由于指数函数f(x)=2x在R上是增函数A.y3斗y2B.y2小CyV2,且1.81.51.44,所以y1y3y2,选D.-cro4Ex:比拟以下各组实数的大小.82,0.93;(2.7.,0.9(3*,8,(；).1111111【解析】1户函数y=x2的单调性得0.80.9%由指数函数的单调性得0.920.93,所以0.821,0.93.10.93.1.0.91.80.481.441、-1.51.50.91、-1.50.48(3*为4=28=2,(2)=2,所以由指数函数的单倜性得4(-)8.五、对数对数其实是指数的逆过程.指数函数是相同的底数a被自乘x次之后的结果；对数就是知道了这个

14、结果和底数,求一下究竟自乘了多少次.1、(1)定义:一般地,对于指数式ab=N,把数b叫做以a为底N的对数,记作logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.(2)对数性质零和负数没有对数,即N0;1的对数为0,即loga1=0(a0且aw1);底的对数等于1,即logaa=1(a0且aw1).对数恒等式：alogaN=N(a0且a=1,N0).logaab=b(a0,且aw,bR)(4)常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数,N的常用对数10gioN简记为lgN.(5)自然对数：以无理数e=2.71828为底的对数称为自然对数,N的自然对数logeN简记作lnN.2、对数的运算性质如果

15、a0且aw1,M0,N0,那么1loga(MLN)=logaMlogaN;2loga七=logaM-logaN;3logaMn=nlogaMnR.(4)logambn=logabm(5)logab,logba=1(6)logbNlogaNlogab3、运算水平在对数运算中,要注意以下几个问题：(1)在化简与运算中,一般先用哥的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数哥的形式,使哥的底数最简,然后再运用对数运算法那么化简合并.(2)ab=N?b=logaN(a0,且aw磔解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中要注意互化.eg:求以下式子的值.(log43+log83110g32力og92J-l

16、og/32.25解原式=(log223+log233Xlog32+log322尸叫2721115=-log23-3log2310g32.Jogs2-535555=-log23log32一二一一二一.624442ex:化简、求值：一21g2lg3一111-1g0.36-1g823原式=21g2+1g321g2+1g3八11g0.61g211g21g3-11g24、图象性质fx=1ogax对数函数的图象：经过点1,0,且图象都在第一四象限；都以y轴为渐近线当0a1时,图象向下无限接近y轴无论在x轴的上侧还是下侧,底数随顺时针方向变大.*另记,作y=1,从左往右,底数从小到大.Eg：以下图中曲线G、G、Q、C是函数y=logax的图象,那么曲线G、G、Q、C4对应的a的值依次为注意第一象限内最左是1A.3、2、32、3、C3,第二是C4,接着才是C1、C2C.2、3、11D235、大小比拟Eg：如上图假设loga21ogb20,那么以下结论正确的选项是A.0ab1B.0bab1D.ba1key:BEx：2021天津卷设a=10g54,b=1og532,c=1og45,那么A.