安徽农业大学汪宏喜高等数学微积分第二章--导数与微分第2节

1、第二节第二节 导数的运算导数的运算一、导数的四则运算法则一、导数的四则运算法则二、反函数的导数二、反函数的导数三、复合函数的导数三、复合函数的导数四、隐函数的求导法四、隐函数的求导法五、参数方程确定的函数的导数五、参数方程确定的函数的导数六、思考题六、思考题一、导数的四则运算法则一、导数的四则运算法则定理定理1并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxv

2、xuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu只证只证(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处可导处可导在在xxf推论推论; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(

3、xfCxCf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf例例1 1.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例2 2.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得例例3 3.l

4、n2sin的导数的导数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .2sin1ln2cos2xxxx 二、反函数的导数二、反函数的导数定理定理2.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy且有内也可导在对应区间那末它的反函数且内单调、可导在某区间如果函数即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证证,xIx 任取任取xx 以以增增量量给给的单调性可知的单调性可知由由)(xfy , 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(连续连续xf),0(0 xy0)( y 又知又知x

5、yxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(xIxxx 例例4 4.arcsin的导数的导数求函数求函数xy 解解,)2,2(sin内单调、可导内单调、可导在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且内有内有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc例例5 5.log的的导导数数求求函函数数xya , 0ln)( aaayy且且,), 0(内有内有在在 xI)(1)(log

6、 yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(内单调、可导在yaxy特别地特别地.1)(lnxx xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc三、复合函数的导数三、复合函数的导数定理定理3).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxx

7、fyxuufyxxuxx 且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数即：即： 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间等于因变量对中间变量求导变量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法链式法则则) )证证,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 推广推广),(),(),(xvvu

8、ufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 例例6 6.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例7 7.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例8 8.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a例例9 9.)2(21ln3

9、2的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例1010.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 四、隐函数的求导法四、隐函数的求导法定义定义: :.)(称为隐函数称为隐函数由方程所确定的函数由方程所确定的函数xyy .)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导

10、法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.例例1111.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解,求导求导方程两边对方程两边对x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 例例1212.,)23,23(,333线通过原点线通过原点在该点的法在该点的法并证明曲线并证明曲线的切线方程的切线方程点点上上求过求过的方程为的方程为设曲线设曲线CCxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx

11、 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点.对数求导法简介对数求导法简介观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu例例1313解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxex

12、xxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设例例1414解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()

13、()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 五、参数方程确定的函数的导数五、参数方程确定的函数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由

14、复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx例例1515解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin( ttayttax.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即例例1616解解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮弹在时刻炮弹在时刻的运动方向的运动方向炮弹在时刻炮弹在时刻求求其运动方程为其运动方程为发射炮弹发射炮弹发射角发射角以初速度以初速度不计空气的阻力不计空气的阻力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在tt)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos