连续型随机变量及其分布函数

1、一、概率密度的定义与性质一、概率密度的定义与性质二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布三、内容小结三、内容小结第第2.32.3节连续型随机变量节连续型随机变量 及其分布函数及其分布函数性质性质. 0)(,)1( xpx对任意的对任意的.d)()(12 xxp证明证明 .d)()(xxpF 1.,)(,d)()(),(,)(简简称称概概率率密密度度率率密密度度函函数数的的概概称称为为其其中中为为连连续续型型随随机机变变量量则则称称有有使使对对于于任任意意实实数数非非负负函函数数若若存存在在的的分分布布函函数数为为，为为随随机机变变量量设设XxpXttpxFxxpXxFXx 一、

2、概率密度的定义与性质一、概率密度的定义与性质1.定义定义.连连续续型型随随机机变变量量的的分分布布函函数数是是连连续续函函数数11 xxpSd)(1Sxxpxd)( 2证明证明.d)(xxpxx 21)()(1221xFxFxXxP xxpxd)( 11x 2x xxp0)( 211221xxdxxpxFxFxXxP)()()() 3().()(,)()(xpxFxxp 则则有有处处连连续续在在点点若若4)(aFaXP ,d)(xxpa 1aXPaXP xxpxxpad)(d)( )(1aF xxpxxpad)(d)( .d)(xxpa 同时得以下计算公式同时得以下计算公式P40.教材注意注意

3、 对于任意可能值对于任意可能值 a ,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即. 0 aXP证明证明aXP . 0 由此可得由此可得xxpxaaxd)(lim 0连续型随机变量的概率与区间的开闭无关连续型随机变量的概率与区间的开闭无关bXaP bXaP bXaP .bXaP . 0 aXP设设X为为连续型随机变量连续型随机变量 ，X=a 是不可能是不可能事件事件,则有则有, 0 aXP若若是不可能事件是不可能事件aX . 0 aXP若若 X 为离散型随机变量为离散型随机变量, 注意注意连连续续型型离离散散型型是是不不可可能能事事件件则则不不能能确确定定aX .)3(

4、;2)2(;,)1(:., 1,arcsin, 0)(的概率密度的概率密度随机变量随机变量的值的值系数系数求求的分布函数为的分布函数为设连续型随机变量设连续型随机变量XaXaPBAaxaxaaxBAaxxFX 例例1,()lim( )xaFaF x故有故有解解 (1) 因为因为 X 是连续型随机变量是连续型随机变量,( )lim( )-xaF aF x,)(连续连续所以所以xF aaBAarcsin aaBAarcsin即即BA2 , 0 BA2 , 1 .1 B ., 1,arcsin121, 0)(axaxaaxaxxF所所以以,21 A解解之之得得)2(aF 0)2arcsin(121

5、aa6121 2)2(aXaP )( aF .32 )()(xFxp 的概率密度为的概率密度为随机变量随机变量 X)3( ., 0,122其其它它axaxa.)(;)(;)(.,)(2713210432230 XPXkxxxkxxpX求求的分布函数的分布函数求求确定常数确定常数其它其它具有概率密度具有概率密度随机变量随机变量设设解解,d)()( 11xxp由由例例2的的概概率率密密度度为为知知由由Xk61)2( .,)(其它其它04322306xxxxxp, 1d)22(d3043 xxxkx得得.61 k解之得解之得 . 4, 1, 43,d)22(d6, 30,d6, 0, 0)(3030

6、 xxxxxxxxxxxFxx得得由由 xxxpxFd)()( . 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxF即即271)3( XP)1()27(FF .4841 二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布).,(,),(,)(baUXbaXbxaabxpX记为记为区间上服从均匀分布区间上服从均匀分布在区间在区间则称则称其它其它具有概率密度具有概率密度设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 011. 均匀分布均匀分布boaxp )(概率密度概率密度函数图形函数图形 ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函数分布函数xo)(xF a b

7、 141教材P例例3 设随机变量设随机变量 X 在在 2, 5 上服从均匀分布上服从均匀分布, 现现对对 X 进行三次独立观测进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值试求至少有两次观测值大于大于3 的概率的概率. X 的概率密度函数为的概率密度函数为 .,)(其它其它05231xxp设设 A 表示表示“X 的观测值大于的观测值大于 3”,解解即即 A= X 3 .2 YP.2720 因而有因而有设设Y 表示表示“3次独立观测中观测值大于次独立观测中观测值大于3的次数的次数”,则则., 323BY 32132232033213233 3)( XPAP由由于于,32d3153 x.,.,)(分布分

8、布的指数的指数服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义XxxexpXx0000 2. 指数分布指数分布 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如例如无线电元件的寿命无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命电力设备的寿命, 动物的寿动物的寿命等都服从指数分布命等都服从指数分布.应用与背景应用与背景分布函数分布函数 . 0, 0, 0,1)(xxexFx 例例4 设某类日光灯管的使用寿命设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为服从参数为 =1/2000的指数分布的指数分布(单位单位:小时小时)(1)任

9、取一只这种灯管任取一只这种灯管, 求能正常使用求能正常使用1000小时以小时以上的概率上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以小时以上上, 求还能使用求还能使用1000小时以上的概率小时以上的概率. 120001,0,( )0, 0.xexF xxX 的分布函数为的分布函数为解解1000)1( XP10001 XP)1000(1F .607. 021 e10002000)2( XXP10001000,2000 XPXXP10002000 XPXP1000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF .607. 021 e指数分布的重

10、要性质指数分布的重要性质 :“无记忆性无记忆性”.).,(,)(,)()(2202122NXXxexpXx记记为为的的正正态态分分布布或或高高斯斯分分布布服服从从参参数数为为则则称称为为常常数数其其中中的的概概率率密密度度为为设设连连续续型型随随机机变变量量定定义义 3. 正态分布正态分布(或或高斯分布高斯分布)正态分布概率密度函数的几何特征正态分布概率密度函数的几何特征;)1(对对称称曲曲线线关关于于x ;)(,)(xpx212取取得得最最大大值值时时当当 ;)(,)(03 xpx时时当当;)4(处有拐点处有拐点曲线在曲线在x ,;(6)( )p xx当当固固定定改改变变的的大大小小时时图图

11、形形的的形形状状不不变变 只只是是沿沿着着轴轴作作平平移移变变换换;)5(轴轴为为渐渐近近线线曲曲线线以以 x.,)(,)7(图图形形越越矮矮越越胖胖越越大大图图形形越越高高越越瘦瘦越越小小而而形形状状在在改改变变不不变变图图形形的的对对称称轴轴的的大大小小时时改改变变当当固固定定xp正态分布的分布函数正态分布的分布函数texFxtd21)(222)( 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度

12、等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算texFxtd21)(222)( xXP ? 原函数不是原函数不是初等函数初等函数方法一方法一:利用利用MATLAB软件包计算软件包计算方法二方法二:转化为标准正态分布查表计算转化为标准正态分布查表计算).1, 0(,1, 0),(2NN记记为为态态分分布布的的正正态态分分布布称称为为标标准准正正这这样样时时中中的的当当正正态态分分布布 标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为,21)(22 xexx 标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数表示

13、为标准正态分布的分布函数表示为.,d21)(22 xtexxt 标准正态分布的图形标准正态分布的图形标准正态分布函数的性质：标准正态分布函数的性质： 11(0)2（）(2)( )xx (- )=1-.225. 1),1 , 0( XPNX求求已已知知解解225. 1 XP)25. 1 ()2( 8944. 09772. 0 例例5 5 . 0828. 0 1,P X | 3.PX 1P X 11P X1 0.84130.1587| 3PX (3)( 3) 2(3) 1 2 0.9987 10.9974：正正态态分分布布与与标标准准正正态态分分布布之之间间具具有有下下面面的的关关系系).1 ,

14、0(),(2NXZNX 则则若若引理引理证明证明的的分分布布函函数数为为XZ xZP xXPxXP ,d21222)( xtte得得令令,ut xZP xuued2122),(x ).1 , 0( NXZ 故故 则当 时，其分布函数 可以用标准正态分布的分布函数 表示，2( ,)XN ( )F x( ) x( )F xP Xx22()21d ,2t xet,tu令得P Zx221d2x ueu()x ( )F x2( ,),.XN P cXd已知求例7解：P cXd( )( )F dF c.dc 分布函数分布函数概率密度概率密度三、小结三、小结2. 常见连续型随机变量的分布常见连续型随机变量的

15、分布 xttpxFd)()(.连连续续型型随随机机变变量量1均匀分布均匀分布正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)指数分布指数分布 正态分布有极其广泛的实际背景正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量例如测量误差误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常正常情况下生产的产品尺寸情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度直径、长度、重量高度;炮弹的弹落点的分布等炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态都服从或近似服从正态分布分布.可以说可以说,正态分布是自然界和社会现象中最正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般那么这个变量一般是一个正态随机变量是一个正态随机变量.3. 正态分布是概率论中最重要的分布正态分布是概率论中最重要的分布另一方面另一方面,有些分布有些分布(如二项分布、泊松分布如二项分布、泊松分布)的极的极限分布是正态分布限分布是正态分布.所以所以,无论在实践中无论在实践中,还是在理还是在理论上论上,正态分布都是概率论中最重要的一种分布正态分布都是概率论中最重要的一种分布.二项分布向正态分布的转换二项分布向正态分布的转换解解1 xxpd)(由由, 1d03 xKex,