导数及其应用-高考文科数学-高考文科数学热点难点专题专题突破

1、导数及其应用1.设函数y=xsinx+cosx的图象在点(t,ft)处切线的斜率为g(t),那么函数y=g(t)的图象一部分可以是()答案A解析由于丁=双.门所以月0由里一.二-及.三=一g知函数g为奇函数,所以排除瓦D选项,当从r轴右侧I时J8G0,tQf2.函数f(x)xe=+xk(lnx-x),假设x=1是函数f(x)的唯一极值点,那么实数k的取值范围是()B.(-0,e)C.(-e,+8)D.e,+8)答案xe解析由函数f(x)=l+k(lnx-x),x可得,exef(x)=2-+kx6Tr-ix0),.f(x)有唯一极值点x=1,f(x)=0有唯一根x=1,xek=0无根或有且仅有一

2、个根为x=1,xx,、eg(x)=,xg(x)=exFxg(x)0得,g(x)在1,+)上单调递增,g(x)0得,g(x)在(0,1)上单调递减,1-g(x)min=g(1)=e,.ke,即实数k的取值范围是(一巴e.13.te义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x),满足f(x)f(x),且f(0)=2,那么不等式f(x)1v,由于FWW心)J所以故国赞I耳在R上为遍函数,罡不力=1所以;.1=生=2,那么不等式4=创力)/所以Q(b即所求不等式的解集为(S+工).4.假设函数f(x)=ex-xA.1B.eC.e2D.e答案C解析由于f(x)=ex2xa,所以f(0)=1a.由题意知1a

3、=2,解得a=-1,因此f(x)=ex-x2+x,而f(0)=1,于是1=2X0+b,解得b=1,-ax(其中e是自然对数的底数)的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b,那么函数fx一bg(x)=-在(0,+8)上的最小值为()一xf因此g(x)=-x-bflxx1e2x所以g(x)=e-:21,x令g(x)=0得x=1,故g(x)在x=1处取得极小值,即g(x)在(0,+)上的最小值为g(i)=e2.a等于(5.假设曲线y=xlnx与曲线y=ax3+x+1在公共点处有相同的切线,那么实数ae2e2e、A.3B3C3D.答案B解析设两曲线的公共点为P(mn),n0,1由y=xinx,得y=1

4、x那么曲线y=x-inx在点P(mn)处的切线的方程为yminm=-m,x-m,即y=1-inm由y=ax3+x+1,得y=3ax2+1,那么曲线y=ax3+x+1在点Rmn)处的切线的方程为yan3m-1=(3an2+1)(x-m),即y=(3am+1)x-2am3+1,11=3am+1,所以mljinm=2am3+1,解得2ea=一一36.设函数y=f(x)的导函数为f(x),假设y=f(x)的图象在点R1,f(1)处的切线方程为f(1)+f(1)等于()A.4B.3C.2D.1答案Ax-y+2=0,贝U解析依题意有f(1)=1,1-f(1)+2=0,即f(1)=3,所以f(1)+f(1)

5、=4.7.函数f(x)=x3+ax2+bxa27a在x=1处取得极大值10,那么a的值为()bB.-2一一八2C.2或一可3答案A解析由题意知f(x)=3x2+2ax+b,f(1)=0,f(1)=10,3+2a+b=0,即1+a+b-a2-7a=10,b=9,a=12,解得,b=1a=-6,经检验b=98.曲线f(x)=ex-1在x=0处的切线方程为A.x-y-1=0B.x+y+1=0C.2x-y-1=0D.2x+y+1=0x.一,e(x2解析由于f(x)=(x_1)2,所以f(0)=2,故在x=0处的切线万程为2x+y+1=0,应选D.答案D9 .曲线fx=x3+x2在P0处的切线平行于直线

6、y=4x1,那么P0点的坐标为A. (1,0)B. (2,8)C.(1,0)和(一1,-4)D.(2,8)和(一1,-4)解析设p0x0,y,那么3x2+1=4,所以x0=1,所以出点的坐标为1,0和一1,4.应选C.答案C10 .如图,直线y=2x与抛物线y=3-x2所围成的阴影局部的面积是A.5B.2232*C.2-m解析S=f1(3-x2-2x)dx=32,应选D.-3答案Dxdx,b=,sinxdx,以下关系式成立的是(0A.abB. a+b1C.asin12又cos1cos7t312,1,.11一cos12,b=1cos10),即函数切线的斜率为k=f(x)=a(x1)2+3?43,

7、即答案B13.设点P在曲线1Vy=e上,点Q在曲线y=ln(2x)上,那么|PQ的取小值为()A.1ln2B.p1ln2)C.1+ln2D.Ri+ln2)解析函数y=；e=1,令g(x)=3-10得xln2;令g,(x)=；emin=3eln2-ln2=1-ln20,所以dmin=-1n222那么|PQ=2dmin=2(1ln2).故B正确.答案B和函数y=ln(2x)互为反函数图象关于y=x对称.那么只有直线PQ与直线y=x垂直时|PQ才能取得最小值.设Px,：exj那么点P到直线y=x的距离为ex-x2,令g(x)=exx,(x0),贝Ug(x)10得0xln2,那么g(x)在(0,ln2

8、)上单调递减,在(ln2,+8)上单调递增.那么x=ln2时,g(x)14.定义域为R的函数f(x)满足：f(4)=-3,且对任意xCR总有f(x)3,那么不等式f(x)3x15的解集为()A. (8,4)B. (一00,一4)C. (一00,一4)U(4,+00)D.(4,+)解析记g(x)=f(x)3x+15,那么g(x)=f(x)30,可知g(x)在R上为减函数.又g(4)=f(4)3X4+15=0,所以f(x)3x15可化为f(x)-3x+150,即g(x)4.答案D15.函数f(x)=；x42x3+3mxCR,假设f(x)+90恒成立,那么实数m的取值范围是(解析由于函数网0=9一十

9、3喀,所以人工尸?一位匕令以工)=oJ得尸.或户力经检蛉知戈=3是函数的一个极小值点,所以曲数的最小值为隼)=3叫一除不等式恒成立/即次侬-9恒成立,只需a一9解得碓亍答案A16.定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f(x),当xwo时,f(x)+f)0,假设a=；fx2b=2f(-2),c=lnln2,那么a,b,c的大小关系正确的选项是(A. acbB. bcaC. abcD. ca0时,h(x)=f(x)+xf(x)0, .此时函数h(x)单调递增.1a=1f?卜hb=2f(2)=2f(2)=h(2),c=ln21ln2hln2h(-ln2)=h(ln2),又2ln212,bca

10、.应选A.答案A；x2+sin42-+x:f(x)为f(x)的导函数,f(x)的图象是()17.f(x)=解析由于f(x)=4x2+sin仁+x|=；x2+cosx,所以f(x)=3xsinx为奇函数,且f0,应选2426A.答案A4.一_一一18.点P在曲线y=E上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,那么a的取值范围是()B.73兀D.解析谩曲线在点P处的切线斜率为b4粒一二一19由于所以由根本不等式可得又虹所以一1WHO,即一lt3no0时,xf(x)0成立的x的取值范围是()A. (8,1)U(0,1)B. (8,-1)U(1,+OO)C. (-1,0)U(1,+oo)D. (1,0)U(0

11、,1)fxffxx2fx解析：根据题息,设函数g(x)=2(xW0),当x0时,g(x)=30,说明函xx数g(x)在(0,+8)上单调递减,又f(x)为偶函数,所以g(x)为偶函数,又f(1)=0,所以g(1)=0,故g(x)在(-1,0)U(0,1)上的函数值大于零,即f(x)在(一1,0)U(0,1)上的函数值大于零.1322.育函数f(x)=-x-3答案：D1+bK+2bx在区间3,1上不是单调函数,那么函数f(x)在R上的极小值为()4_3.2A.2b3B-2b-3C.0D.b2-6b3解析：f(x)=x2(2+b)x+2b=(xb)(x2),二函数f(x)在区间3,1上不是单调函数

12、,一3b0,得x2,由f(x)0,得bx0,解得x,所以函数f(x)=2x“、,1、-lnx的单调递增区间为忸+8J答案:,+)24 .设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；(2)设a=b=4.假设函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围.解：(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得2f(x)=3x+2ax+b.由于f(0)=c,f(0)=b,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=bx+c.(2)当a=b=4时,f(x)=x3+4x2+4x+c,所以f(x)=3x48x+4.令f(x)=0,得3x2+8x+4=0

13、,解得x=2或x=|.3x(,2)-2iT爷2322、一一十013,f(x)十0一0十f(x)c32c27一*)与(*)在区间(一8,+OO)上的情况如下:2,x3CI30I,使得f(x1)=f(x2)32一一一一所以,当c0且c药0时,讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数.2_解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+)fz(x)=-一7x当mco时,f(x)0,所以函数f(x)的单调递增区间是(0,+OO),无单调递减区间.当m0时,f(x)=x+mx一四一当0Vxv4m寸,f(x)yjmx时,f(x)0,函数f(x)单调递增.综上,当mco时,函数f(x)的单调递增区间是(0,+8),

14、无单调递减区间；当m0时,函数f(x)的单调递增区间是(Rm+),单调递减区间是(0,xn).(2)令F(x)=f(x)g(x)=；x2+(nH1)xmnx,x0,问题等价于求函数F(x)的零点个数,_12-4、“r,x-lx-m当m=0时,F(x)=-x+x,x0,有唯一零点；当mO时,F(x)=-,2x,.一,一、,3.,八.当ml时,F(x)0,F(4)=-In41时,0vxv1或xm时,F(x)0,所以函数F(x)在(0,1)和(m,+0)、,、一、,、一,1上单倜递减,在(1,m上单倜递增,汪息到F(1)=20,F(2m+2)=mn(22)0,所以F(x)有唯一零点.当0Vm1时,F

15、(x)0；mx0,所以函数F(x)在(0,m)和(1,+8)上单调递减,在(m,1)上单调递增,易得Inm0,所以F(m)=,m2-2lnm)0,而F(22)=-mn(22)0且xW1,f(x)0,.函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(1,+8).(2)存在且唯一,证实如下:.g(x)=Inx,切线I的方程为yInxg=(xxc),即y=x+Inx01,x.xc设直线I与曲线h(x)=ex相切于点(x1,ex,x11x.h(x)=e,.e=,.x1=Inxcxc,直线I的方程也可以写成y-Mx+rr1即y=x+X0InX01X0,Inxo1xo+1由得Inxo-1=-+,lnxo=-xo

16、xoxo1证实：在区间(1,+)xo存在且唯一.x+1由(1)可知,f(x)=lnx-7在区间(1,十)上单调递增x122、e3-又f(e)=e_1vo,f(e)=e2_1o,结合零点存在性定理,说明方程f(x)=o必在区间(e,e2)上有唯一的根,这个根就是所求的唯一xo.m一27.设函数f(x)=Inx+mCR.(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;x(2)讨论函数g(x)=f(x)三零点的个数;3fbfa右对任息bao,v1恒成立,求m的取值氾围.bae一._.xe解：(1)由题设,当m=e时,f(x)=Inx+,那么f(x)=x,当xC(o,e)时,f(x)v.,

17、f(x)在(o,e)上单调递减,当xC(e,十)时,(x)o,f(x)在(e,+)上单调递增,x=e时,f(x)取得极小值f(e)=Ine+-=2,e,f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)=f,(x)x=1m2x(xo),3xx3令g(x)=o,得m=；x3+x(xo).3设()(x)=-1x3+x(xo),3那么e(x)=x2+1=(x1)(x+1),当xC(o,1)时,4(x)o,(f)(x)在(o,1)上单调递增；当xC(1,+8)时,()z(x)e时,函数g(x)无零点；3当3时,函数g(x)有且只有一个零点；.2一当0味.时,函数g(x)有两个零点；3当亦0时,函数g(x)有且

18、只有一个零点.综上所述,当m|时,函数g(x)无零点；32八当m=3或亦0时,函数g(x)有且只有一个零点；32一当0Vm时,函数g(x)有两个季点.3(3)对任意的ba0*fb1恒成立,?-a等价于Kb)-b0)f,(*)等价于4在(0,+注)上单调递减.由粗工)二；一与一10在0,十工)上恒成立,人A得川之一城+x=-x-5F4-彳(H0恒成立,.曲斗对渣=；,除)=0仅在L上寸成立),律的取值范围是p+x*.*t金28.函数f(x)=|ax2+(a-1)x+(1-2a)lnx(a0).(1)假设x=2是函数的极值点,求a的值及函数f(x)的极值;(2)讨论函数的单调性.解(1)由于f(x

19、)=%x2+(a1)x+(12a)lnx,.1-2a所以f(x)=ax+(a1)H(x0),x由f(2)=2a+(a1)+=xaxT腔于)=ix0),x-1-2arr1,当一w0,即a;时,a2那么当0x1时,f(x)1时,f(x)0,f(x)单调递增.1-2arJ1,当0a1,即3a2时,一,.12a一一,、,、一、,贝U当0x1时,fx)0,f(x)单倜递增;a12a一,、,、一、,、当x1时,f(x)1,即0a彳时,a3,2a一,贝U当0x时,f(x)0,f(x)单倜递增;a1-2a.当1x时,f(x)0,f(x)单倜递减.a12a1当=1,即a=;时,a3-：2a2=0,解得a=：412311此时f(x)=x4x+lnx,131xx-2f(x)=7x-7+5-=;,442x4x当0x2时,f(x)0,f(x)是增函数,当1x2时,f(x)0,所以f(x)在定义域(0,+8)上单调递增.综上,当0a3时,f(x)在区间,1,12aa单调递减,在区间(0,1)和-kOO?1,1,、当a=a时,f(x)在定义域(0,+8)上单倜递增;3,11,一一当