对数函数中档题(含答案)

1、3.2对数函数中档题一.填空题(共10小题)x1. (2021?长沙校级模函数y=2+log2x在区间1,4上的最大值是.2. (2021?江西模拟)假设函数f(x)=alog2x+blog水+2,且干1.)二e,贝Uf(2021)的工'2021值为3. (2021?普陀区一模)方程口2(4冥_5)=2+Logz(2乂一2)的解x=4. (2021?静安区一模)方程5. (2021?延边州模拟)log(z+1j(X3-9工+8)1口g8_1)(犬+1)=3的解为a>0且aw1,假设函数f(x)=loga(ax2-2x+3)在工,22上是增函数,那么a的取值范围是.6. (2021

2、?泰州二模)函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a1,bCR)的图象如下图,贝Ua+b的值是7. (2021春？高安市校级期末)假设函数y=loga(-x2-ax-1),(a>0且aw1)有最大值,那么实数a的取值范围是.8. (2021春？丰城市校级期末)假设函数f(x)=|logax|(0<a<1)在区间(a,3a-1)上单调递减,那么实数a的取值范围是.9. (2021春？宝应县期中)a=log0.23,b=(兀-3),c=21;贝Ua,b,c从小到大排列是.(用“v连接)10. (2021春？桐城市校级月考)函数f(x)=|log3x|在区间a,b上的值域

3、为0,1,那么b-a的最小值为二.解做题(共12小题)11. (2021?广州二模)函数f(x)=log2(|x+1|+|x2|-a).(I)当a=7时,求函数f(x)的定义域；(n)假设关于x的不等式f(x)>3的解集是R求实数a的最大值.12. (2021春？徐州期末)函数f(x)=logC-x+2(1)求f(x)的定义域A;(2)假设函数g(x)=3x2+6x+2在-1,a(a>-1)内的值域为B,且AnB=?,求实数a的取值范围.13. (2021春？泉州校级期末)设a、bCR,且awl,假设奇函数f(x)=lg在区间(-1+zb,b)上有定义.(1)求a的值；(2)求b的

4、取值范围；(3)求解不等式f(x)>0.14. (2021春？宁夏校级期末)函数f(x)=(log2x-2)(log4X-X)2(1)当xC2,4时,求该函数的值域；(2)假设f(x)>mlog2x对于x4,16恒成立,求m的取值范围.15. (2021春？重庆校级期中)函数g(x)=log2(x-1),f(x)=log(x+1),7(1)求不等式g(x)>f(x)的解集；(2)在(1)的条件下求函数y=g(x)+f(x)的值域.16. (2021春？淄博校级月考)函数f(x)=lg(常-2x)(0vm<1).(1)当m=L时,求f(x)的定义域；2(2)试判断函数f(

5、x)在区间(-8,0)上的单调性并给出证实；(3)假设f(x)在(-8,1上恒取正值,求m的取值范围.17. (2021?天津校级模拟)对于函数f(x)=log1(x2-ax+3),解答以下问题：T(1)假设f(x)的定义域是R,求a的取值范围；(2)假设f(x)的值域是R,求a的取值范围；(3)假设f(x)在-1,+8)内上有意义,求a的取值范围；(4)假设f(x)的值域是(-°°,1,求a的取值范围；(5)假设f(x)在(-00,1内为增函数,求a的取值范围.18. (2021?信阳模拟)函数f(x)=log2(2x+1)(I)求证：函数f(x)在(-巴+OO)内单调递

6、增；(n)假设g(x)=log2(2x-1)(x>0),且关于x的方程g(x)=m+f(x)在1,2上有解,求m的取值范围.19. (2021?万州区模拟)函数f(x)=-(m>0),Xi,xzeR当xi+X2=1时,f(x1)+f2)=L2(1)求m的值；(2)解不等式f(log2(x1)1)>f(log1(x1)一±).T220. (2021春？临沂校级期中)函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),其中(a>0且aw1),设h(x)=f(x)-g(x).(1)求h(x)的定义域；(2)判断h(x)的奇偶性,并说明理由；(3)假设a=

7、log327+log2,求使f(x)>1成立的x的集合.21. (2021秋？莆田校级月考)在对数函数y=log1x的图象上(如图),有A、日C三点,7它们的横坐标依次为t、t+2、t+4,其中t>1,(1)设ABC的面积为S,求S=f(t);(2)判断函数S=f(t)的单调性；(3)求S=f(t)的最大值.小5_4-3-2-C22. (2021秋？抚顺期中)设函数f(x)=log3(9x)?log3(3x),且xw9.9(1)求f(3)的值；(2)假设令t=log3x,求实数t的取值范围；(3)将y=f(x)表示成以t(t=log3x)为自变量的函数,并由此求函数y=f(x)的最

8、大值与最小值及与之对应的x的值.3.2对数函数中档题参考答案与试题解析一.填空题共10小题1. 2021?长沙校级模拟函数y=2x+log2X在区间1,4上的最大值是.【分析】根据指数函数和对数函数的单调性直接求解即可.【解答】解：:丫=2、和y=log2X在区间1,4上都是增函数,y=2X+log2X在区间1,4上为增函数,即当x=4时,函数y=2X+log2X在区间1,4上取得最大值y=y=24+log24=16+2=18,故答案为：18【点评】此题主要考查函数最值的计算,利用指数函数和对数的函数的单调性是解决此题的关键.2. 2021?江西模拟假设函数fx=alog2X+blog3X+2

9、,且-"二,贝Uf2021的2021值为.【分析】利用对数的运算性质,可得由此,即可求解f2021的值.X【解答】解：由函数fx=alog2X+blog3X+2,得f=alog工+blog工+2=alog2Xblog3X+2=4alog2X+blog3X+2,XXX因止匕fx+f1=4X再令x=2021得f2021+f-=42021所以f2021=4-5=-1,k2021故答案为：-1.【点评】此题考查了对数的运算性质,函数的简单性质,利用互为倒数的两个自变量的函数值之间的关系,是解决此题的关键.3. 2021?普陀区一模方程0弓24冥5=2+1口g2123c2的解x=【分析】化简可

10、得4X-5=42X-2,从而可得2X2-4?2、+3=0,从而解得.【解答】解：1口方炉-5=2+1选一2, -4X-5=42匚2,即2X2-4?2X+3=0, -2X=1舍去或2X=3; .x=log23,故答案为：log23.【点评】此题考查了对数运算及募运算的应用,同时考查了指数式与对数式的互化.4. (2021?静安区一模)方程1叫叶1)(尸-9升2)1%&一)(什1)二3的解为【分析】利用换底公式变形,转化为一元二次方程,求解后验根得答案.【解答】解：由方程文什D(/_9,+8卜1口(/+)=3,得晨广一"8).lg("D=3,lg(x+l)lgCk-1)

11、即',lg(x-1).lg(z-l)+lg(x2+x-8)c1一12lg(x1)=lg(x2+x8).(xT)2=x2+x-8解得：x=3.验证当x=3时,原方程有意义,原方程的解为x=3.故答案为：x=3.【点评】此题考查对数的运算性质,考查了对数方程的解法,关键是注意验根,是根底题.5. (2021?延边州模拟)a>0且aw1,假设函数f(x)=loga(ax2-2x+3)在工,22上是增函数,那么a的取值范围是【分析】对a是否大于1进行分情况讨论,利用复合函数的单调性得出二次函数在1,22的单调性,列出不等式组解出a的范围.【解答】解：设g(x)=ax2-2x+3,贝Ug(

12、x)的图象开口向上,对称轴为x.(1)假设0va<1,那么g(x)在工,2上是减函数,且gmin(x)>0,2>2a4a-1>0(2)假设a>1,那么g(x)在,2上是增函数,且gmin(x)>0,I-,解得各2>04综上,a的取值范围是(,U2,+8).42【点评】此题考查了复合函数的单调性,对数函数,二次函数的性质,属于中档题.6. (2021?泰州二模)函数f(x)=loga(x+b)(a>0,awl,bCR)的图象如下图,贝Ua+b的值是【分析】由函数f(x)=loga(x+b)(a>0,awl,bCR)的图象过(3,0)点和(0,

13、一2)点,构造方程组,解得答案.【解答】解：二函数f(x)=loga(x+b)(a>0,awl,bCR)的图象过(-3,0)点和(0,-2)点,rlosa(-3+b)=0logb=-2la解得：,a=TLb=4.9a+b)2故答案为：2【点评】此题考查的知识点是函数的图象,方程思想,难度中档.7. (2021春？高安市校级期末)假设函数y=loga(-x2-ax-1),(a>0且aw1)有最大值,那么实数a的取值范围是.【分析】假设函数y=loga(-x2-ax-1),(a>0且aw1)有最大值,由函数y=logat为增函数,且t=-x2-ax-1的最大值为正,由此构造不等式

14、组,解得答案.【解答】解：假设函数y=loga(-x2-ax-1),(a>0且aw1)有最大值,由函数y=logat为增函数,且t=-x2-ax-1的最大值为正,ra>l即,4-a2解得：a>2,-4故实数a的取值范围是：a>2.故答案为：a>2【点评】此题考查的知识点是对数函数的图象和性质,难度不大,属于根底题.8. (2021春？丰城市校级期末)假设函数f(x)=|logax|(0<a<1)在区间(a,3a-1)上单调递减,那么实数a的取值范围是.【分析】由fx在a,3a-1上递减,知a,3aT?0,1,结合a的范围可求.【解答】解：当0vxv1时

15、,fx=logax递减；当x>1时,fx=-log4递增,所以fx在0,1上递减,在1,+00上递增,由于fx在a,3a-1上递减,所以a,3a-1?0,1,_1所以“3a-1<1,解得L<a<2,a>023故答案为：工<a?2.2【点评】此题考查复合函数单调性,解决此题的关键是正确理解“fx在区间a,3a-1上单调递减的含义,注意a,3a-1为减区间的子集.9. 2021春？宝应县期中a=log0.23,b=兀-3,0=21;贝Ua,b,c从小到大排列是.用连接【分析】由于a=log0.23v0,b=兀-31>1,c=21,即可得出大小关系.2【解答

16、】解：1.-a=log0.23<0,b=兀31>1,c=21,2a<c<b,故答案为：avcvb.【点评】此题考查了对数函数与指数函数的单调性,考查了推理水平与计算水平,属于中档题.10. 2021春？桐城市校级月考函数fx=|log3x|在区间a,b上的值域为0,1,那么b-a的最小值为【分析】先画出函数图象,再数形结合得到a、b的范围,最后计算b-a的最小值即可【解答】解：函数fx=|log3x|的图象如图而f工=f3=13由图可知a,31,be1,3b-a的最小值为1一一7a=,b=1时,即b-a=33一,7故答案为3-2-3-4-5-【点评】此题考查了数形结合解

17、决函数问题的方法,解题时要准确画图,精确分析,善于用形解决代数问题二.解做题(共12小题)11. (2021?广州二模)函数f(x)=log2(|x+1|+|x2|-a).(I)当a=7时,求函数f(x)的定义域；(n)假设关于x的不等式f(x)>3的解集是R求实数a的最大值.【分析】(I)a=7时便可得出x满足：|x+1|+|x-2|>7,讨论x,从而去掉绝对值符号,这样便可求出每种情况x的范围,求并集即可得出函数f(x)的定义域；(n)由f(x)>3即可得出|x+1|+|x-2|>a+8恒成立,而可求出|x+1|+|x-2|>3,这样便可得出3>a+8,

18、解出该不等式即可得出实数a的最大值.【解答】解：(I)由题设知：|x+1|+|x-2|>7;当x>2时,得x+1+x-2>7,解得x>4;当1WxW2时,得x+1+2-x>7,无解；当x<-1时,得-x-1-x+2>7,解得x<-3;,函数f(x)的定义域为(-巴3)U(4,+8)；(n)解：不等式f(x)>3,即|x+1|+|x-2|>a+8;.xCR时,恒有|x+1|+|x-2|>|(x+1)(x2)|=3;又不等式|x+1|+|x-2|>a+8解集是R-a+8<3,即a<-5;二.a的最大值为-5.【点评

19、】此题考查对数的真数大于0,函数定义域的定义及求法,不等式的性质,以及含绝对值不等式的解法,恒成立问题的处理方法.2K112. (2021春？徐州期末)函数f(x)=log2r.x+2(1)求f(x)的定义域A;(2)假设函数g(x)=3x2+6x+2在-1,a(a>-1)内的值域为B,且AnB=?,求实数a的取值范围.【分析】(1)通过对数定义域求得f(x)定义域(2)根据g(x)单调性,求g(x)的值域,并计算两集合关系【解答】解：(1)由题知当二L>0,即(2x-1)(x+2)>0,所以定义域工+2A=,'-.W(2) g(x)的轴为x=-1,.g(x)在-1,

20、a上单调递增,B=-1,3a2+6a+2,由AnB=(p1/口3a+6a+24K.二虎一2?,得,2,解得a>-12I【点评】此题考查了对数函数定义域及二次函数值域的求法13. (2021春？泉州校级期末)设a、bCR,且a1,假设奇函数f(x)=lgLL虫L在区间(-1+zb,b)上有定义.(1)求a的值；(2)求b的取值范围；(3)求解不等式f(x)>0.【分析】(1)根据f(x)为奇函数便可得出目一二-1s2咯,这样便可得出1-a2x2=11一K1+K-x2,从而有a2=1,再根据aw1即可得出a的值；(2)求出a便得出£(»二1属工二工,从而可求出该函数

21、的定义域,进而求出b的取值范围；1+x(3)由f(x)>0即可得出igL乂式,这样便可建立关于x的不等式,解不等式即1+x可得出原不等式的解集.【解答】解：(1)f(x)为奇函数；f(-x)=-f(x),即Igi-让=-lg华吟1 -K1+k即1y=1+,整理得：1-a2x2=1-x2；1 -x1+axa=±1;又aw1,故a=T;(2) f(x)=lgLl2的定义域是(-1,1)；1+x.0<b<1;.b的取值范围为(0,1;(3) f(x)=lg：*二1式;1+x解得-1vxv0；,原不等式的解集为(-1,0).【点评】考查奇函数的定义,多项式相等的充要条件,对

22、数的真数满足大于0,以及对数函数的单调性,分式不等式的解法.14.(2021春？宁夏校级期末)函数f(x)=(log2X-2)(logAx-L)2(1)当xC2,4时,求该函数的值域；(2)假设f(x)>mlog2X对于x4,16恒成立,求m的取值范围.【分析】(1)f(x)=(log2x2)(log必_L)=L(log2x)2-JLlog2x+1)2wxw4,令222t=log2x,那么yt2-Jlt+1=(t-旦)2-,由此能求出函数的值域.2222S(2)令t=log2x,得Jt2-1+1>mt对于2WtW4恒成立,从而得到m<Lt+!一旦对于t222t2C2,4恒成立

23、,构造函数g(t)=lt+X-Jl,t2,4,能求出m的取值范围.2t2【解答】解：(1)f(x)=(log2x-2)(log4x-)2=-L(log2x)2log2x+1,2<x<422令t=log2x,贝Uy=t2-1+1=(t一旦)2-,22228-.-2<x<4,.1<t<2.当t=Jl时,ymin=-,当t=1,或t=2时,ymax=0.2S.函数的值域是-,0.3(2)令t=log2x,得工t2-Wt+1>mt对于2WtW4恒成立.221 1M,一m<1+-对于tC2,4恒成立.,2 t2设g(t)=-t+-4,t2,4,2t2.g(

24、t)=Xt+X-JL=JL(t+)-,2 t22t2.g(t);Lt+工-a在2,4上为增函数,3 t2.当t=2时,g(t)min=g(2)=0,m<0.【点评】此题考查函数的值域的求法,考查满足条件的实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.15. (2021春？重庆校级期中)函数g(x)=log2(x-1),f(x)=log1(x+1),T(1)求不等式g(x)>f(x)的解集；(2)在(1)的条件下求函数y=g(x)+f(x)的值域.【分析】(i)由对数函数的单调性和换底公式,可得x-i>_L>0,由不等式的解法,即x+l可得到所求解集

25、；(2)由复合函数的单调性：同增异减,求得函数y在近,+8)为增函数,即可得到所求值域.【解答】解：(1)由g(x)>f(x)得log2(xT)>log(x+1),7即为x1>1>0,x+l有x>血或x<-j2,且x+1>0,x-1>0,那么不等式g(x)>f(x)的解集为x|x>&,x-1(2) y=g(x)+f(x)=log2(x1)-log2(x+1)=log2,x+l由y=log2(1-,由t=1-N在(1,+°0)递增,y=log2t在(0,+°0)递增,x+1s+1可得函数y=log2在册,+0

26、0)为增函数,x+1贝Ux=加时,y取得最小值10g2(32灰),且tv1,可得y=log2t<0,即有函数y=g(x)+f(x)的值域为log2(3-2旄),0).【点评】此题考查对数函数的单调性的运用,以及复合函数的单调性：同增异减,考查不等式的解法,属于中档题16. (2021春？淄博校级月考)函数f(x)=lg(宿-2x)(0vm<1).(1)当m=L时,求f(x)的定义域；2(2)试判断函数f(x)在区间(-8,0)上的单调性并给出证实；(3)假设f(x)在(-8,1上恒取正值,求m的取值范围.【分析】(1)须(工)匚2x>0,即2f>2x,根据单调性求解即可

27、2(2)利用函数单调性判断即可(3)利用函数的单调性得出,f(x)在(-8,1上的最小值为f(-1)=lg(m<2b,所以要使f(x)在(-巴1上恒取正值,只需f(-1)=lg(mJ2-b>0【解答】解：(1)当m2时,要使f(x)有意义,须()x-2x>0,即2x>2x,22可得：-x>x,x<0 函数f(x)的定义域为x|xV0.(2)设x2<0,x1<0,且x2>x1,那么=x2x1>0令g(x)=m2x,贝Ug(x2)g(x1)=mi2-2x2-nx1+2x1=x2乂1+2乂12x2.0vm<1,x1Vx2<0,

28、mx2-mi1<0,2x12x2<0g(x2)-g(x1)<0,g(x2)<g(x1) lgg(X2)<lgg(xi), y=ig(g(X2)-1g(g(x)<0, f(x)在(-巴0)上是减函数.(3)由(2)知：f(x)在(-8,0)上是减函数, .f(x)在(-巴1上也为减函数,f(x)在(-8,1上的最小值为f(-1)=1g(m1-2b所以要使f(x)在(-8,1上恒取正值,只需f(1)=1g(m<2b>0,即m121,JL>1+JL=A?m22.0Vm<1,0Vm<2.3【点评】此题综合考查了函数的单调性,运用转化出不

29、等式求解问题,属于中档题,但是难度不大.17. (2021?天津校级模拟)对于函数f(x)=1og(x2-ax+3),解答以下问题:(1)假设f(x)的定义域是R,求a的取值范围；(2)假设f(x)的值域是R,求a的取值范围；(3)假设f(x)在-1,+8)内上有意义,求a的取值范围；(4)假设f(x)的值域是(-°°,1,求a的取值范围；(5)假设f(x)在(-00,1内为增函数,求a的取值范围.【分析】(1)转化为x2-ax+3>0在R上恒成立,利用二次函数性质求解即可.(2)判断得出y=x2-ax+3的图象不能在x轴上方,即=a2-12A0求解.弥-7(3)转化

30、x2-ax+3>0在-1,+8)上恒成立,根据二次函数性质得出<0或424+a0(4)利用复合函数性质得出：y=x2-ax+3的值域为2,+8),最小值丝心逆二£_二2,4求解即可.(5)根据复合函数的单调性得出y=x2-ax+3在(-°0,-1内为减函数,且x2-ax+3>0在(-8,1恒成立.再利用二次函数性质求解即可.2【解答】解：对于函数f(x)=1og(x-ax+3),2(1) .f(x)的定义域是R,2x-ax+3>0在R上恒成乂,即=a2-12V0,得：aC(2后2百)(2) f(x)的值域是Ry=x2-ax+3的图象不能在x轴上方,即

31、=2212>0,得：aC(-8,-2V5)U(273,+°°)(3) f(x)在-1,+8)内上有意义,.x2-ax+3>0在-1,+8)上恒成立,即<0或,214+a>0得aC(一2y,2f)U(4,2),(4) f(x)的值域是(-8,1,.1y=x2-ax+3的值域为2,+°0),4X1X3一F-=2,即a=±2,故a的取值范围：a=-2或a=2(5) f(x)在(-8,1内为增函数,.y=x2-ax+3在(-°0,-1内为减函数,且x2-ax+3>0在(-°0,-1恒成立.即a>-2.91)

32、2-a(-1)+3>0【点评】此题结合对数函数的单调性,复合函数的单调性的应用与二次函数及对数函数的性质,还考查了二次函数在区间上单调,但不要忽略了函数的定义域,18. (2021?信阳模拟)函数f(x)=log2(2x+1)(I)求证：函数f(x)在(-巴+OO)内单调递增；(n)假设g(x)=log2(2x-1)(x>0),且关于x的方程g(x)=m+f(x)在1,2上有解,求m的取值范围.【分析】(1)根据定义对函数的单调性判断证实.(2)转化为m=g(x)-f(x)值域求解范围.【解答】解：(1)二.函数f(x)=log2(2x+1),任取xvx2,贝Uf(x.-f(x2)

33、=log2(2x+1+1)log2(/n+1)=log2-,2Z+1-x1<x2,X.2X+1.0<-<1,Xni22+lz.2.log2-<0,2之+11) f(x1)<f(x2),二函数f(x)在(-8,+OO)内单调递增;2) )g(x)=m+f(x),m=g(x)-f(x)=log2(2x-1)-log2(2x+1)=log-=log211-)2k+12x+1.Kx<2,2W2xW4,1log2.L<log21-&log2色,32X+15故m的取值范围.log2X,log亳.fX1【点评】此题综合考查了指数函数,对数函数的单调性,函数的

34、定义,不等式,方程与函数的关系,属于中档题.19.(2021?万州区模拟)函数f(x)=-(m>0),xi,X2R,当Xi+X2=1时,+f(X2)=L2(1)求m的值；(2)解不等式f(log2(x-1)-1)>f(10gl(x-1)-J.).01nT1由f町+f工2专得十代入小=1化简可得*4'+m4*+m4戈1+4戈m或2m=0；从而解m(2)由(1)知f(x)在(-8,+OO)上为减函数,故不等式f(log2(U-1)-l)>f(logI1)一卷)可化为210g2(x-l)-Klogx-D-y,2*,从而解得.K-1>0【解答】解：(1)由f(町)+&#

35、163;(犬得,1 22产+m产+mX.X?1rK,+Xn/K,Xn,2,1+4?+2nFy41JmF4,+田,-wX1+X2=1,1 .二A.1/1-IIn_.,产+广=2-m或2-m=Q'1二.二：'':一,而m>0时2-m<2,:一,二一工,m=2.2由1知fX在-8,+OO上为减函数,由黑口bJl1-l>flogJX-1-2log2X-1-logjX-1-y1万,K-l>0X.«1+华4r-,不等式的解集为x|l<i<1+-.2【点评】此题考查了函数的性质的判断与应用,属于中档题.20.(2021春？临沂校级期中)函

36、数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),其中(a>0且awl),设h(x)=f(x)-g(x).(1)求h(x)的定义域；(2)判断h(x)的奇偶性,并说明理由；(3)假设a=log327+log2,求使f(x)>1成立的x的集合.7,fl+x>0【分析】(1)根据对数的定义得出不等式组一,求解即可得出定义域.1-x>0(2)先判断定义域关于原点对称,利用定义h(-x)=loga(1-x)-loga(1+x)=-h(x),判断即可.(3)了；利用对数的运算得出即log2(1+x)>log22,再根据对数函数的单调性得出1+x>2,即可求

37、解不等式.I/nn+x>o.【解答】解：(1)由题息得.、,即-1vxv1.1 -K>01- h(x)=f(x)-g(x)的定义域为(-1,1);(2)二.对任意的x(-1,1),-x(-1,1)h(-x)=loga(1-x)-loga(1+x)=-h(x),h(x)=loga(1+x)-loga(1-x)是奇函数；(3)由a=log327+log2,得a=2.2f(x)=loga(1+x>1,即log2(1+x)>log22,1+x>2,即x>1.故使f(x)>1成立的x的集合为x|x>1【点评】此题此题考察了对数函数的概念性质,解不等式,考察了学生的化简运算水平,属于容易题.21.(2021秋？莆田校级月考)在对数函数y=log1x的图象上(如