川师概率论第一章习题解答

1、习题一详细解答1、某工人加工了三个零件,设事件A为“加工的第i个零件是合格品(i1,2,3),试用AA2A3表示以下事件：(1)只有第一个零件是合格品；(2)只有一个零件是合格品；(3)至少有一个零件是合格品；(4)最多有一个零件是合格品.解：(1)aA2A3aA2A3AaA3aa(3)AA2A3(4)A1A2A2a3AA32、一名射手连续向某个目标射击三次,设A表示“该射手第i次射击时击中目标(i1,2,3).试用文字表达以下事件：A)A2；A1A2A3；A3Az；AA2；A2A；AA2A1A3A3A2解：A1A2=AA2表示前两次均未击中目标；A1A2A3表示三次射击中至少有一次击中目标；

2、A3A2表示第三次击中但第二次未击中；A2A3表示后两次中至少有一次未击中目标；A1A2A1A3A3A2表示三次射击中至少有两次击中目标.3、设A和B是同一试验E的两个随机事件,求证：1P(A)P(B)P(AB)P(AB)证实：QABAABP(AB)P(AB)由概率的性质和事件的运算律,可得：P(A)P(B)P(AB)P(AB)1P(AB)1 P(A)P(B)P(AB)114、P(A),P(B),431(1)当A,B互斥时,P(AB)P(B)-;3111(2)当AB时,求P(AB)P(BA)P(B)P(A)一一一；3412一1115(3)当P(AB)一时,求P(AB)P(BA)P(B)P(AB

3、)一.838245、P(AB)0.7,P(A)0.5,P(B)0.4,求P(AB),P(AB),P(AUB).解由P(AB)P(A)P(B)P(AB),得P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.2P(AB)P(A)P(AB)P(AUB)P(AB)1P(AB)10.20.8.八一11八八6、设有事件AB、C,P(A)P(B)P(C)-,P(AB)P(BC)0,P(AC)4求A、B、C中至少有一个发生的概率解由ABCAB,得0P(ABC)P(AB)0,因此,P(ABC)0.P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(CA)P(ABC)444887

4、、袋中有均匀的5个红球和3个黄球,从中任取两个球,求摸出的两个球都是红球的概率.C2解：设A“摸出的两个球都是红球,那么P(A)C5C85148、将一枚均匀的色子抛掷两次,求两次出现的点数之和等于二,一,5解：设A="两次出现的点数之和等于8",P(A)368的概率.9、将n个人等可能地分配到N(nN)间房的每一间中去,试求以下事件的概率:(1)某指定的n间房中各有一人;(2)恰有n间房各有一人解：由于把每一个人分配到N间房去都有N种分法,所以样本空间中含有Nn个根本领件.(1)设人="某指定的所以n间房中各有一人,那么有n!n!种分法.P(A)Nn(2)设B=&

5、quot;恰有n间房各有一人那么需要先从N间房中选出n间房,再把它们分配给n个人,所以有CNn!种分法.Cn所以P(B)CNNn!n10、副扑克牌52张(没有大小王),从中任意抽取13张,求至少有1张“J的概率?解：设A"任意抽取的13张中至少有1张是J,样本空间中样本总数为c53.直接计算很麻烦,所以由对立事件来计算,那么A="任意抽取的13张中没有i张是j.而A中的样本_c13点数是C43.故P(A)1P(A)1Y0.696C5211、在一个池中有3条鱼甲、乙、丙,这三条鱼竞争捕食.设甲或乙竞争到食物的时机是,甲或丙竞争到食物的时机是,且一次竞争的食物只能被一条鱼享用.

6、求哪条鱼是最优的捕食者？解：设A、B、C分别表示鱼甲、乙、丙竞争到食物的事件.由题意得：/、1-3P(AB)=P(BC)=P(AQ=0,P(AB),P(AC)24一一一一1一一-3因此,P(AB)P(A)P(B),P(AC)P(A)P(C)24又由题意知,P(ABC)P(A)P(B)P(C)1,一/、1/、11由上面三个式子解得：P(A)=-,P(B)=,P(C)=-.442所以丙鱼是最优的捕食者.12、将C,C,E,L,I,N,S等7个字母随机排成一排,求恰好排成英文单词SCIENCE的概率？解：设A“排成英文单词SCIENCE.由于两个E可以交换,两个C可以交换,所以事件A的概率为：2!2

7、!PA7!126013、设有任意两数x和y满足0x1,0解：试验的样本空间为区域(x,y)0所求事件为A,那么A(x,y)xy-,031y1,求xy-的概率.3x1,0y1,为一个正方形,面积为1,设x1,0y1,A的面积为11dx33x11ln333所以P(A)A勺面积的面积11ln333114、设某地区在历史上从某次特大洪水发生后1Tn3330年内发生特大洪水的概率为80%,在40年内发生特大洪水的概率为85%.现该地区已30年无特大洪水,问未来10年内该地区发生特大洪水的概率是多少?解：设A"该地区从某次特大洪水发生后30年内无特大洪水.设B“该地区从某次特大洪水发生后40年内

8、无特大洪水,那么所求概率为P(B|A).又ABB,由条件概率的计算公式和性质,得:P(B|A)1p(b|a)1P(AB)1P(A)P(B)P(A)10.750.2515、设A、B、C是随机事件,AC互不相容,1-P(AB)-,P(C)1-,求p(ab|c)解：由AC互不相容,那么AC尸(AC)0.又ABCAC,得P(ABC)0由条件概率的定义得:p(abC)P(ABC)p(C)一P(AB)P(ABC)1P(C)3次,每次一只,求第三次才取到合16、一批灯泡共100只,次品率为10%.不放回地抽取格品的概率.解：记A=第i次取得合格品(i1,2,3)所求概率为P(AA2A3)10990QP(A)

9、而尸(A2同99,p(a3A2Al)98p(A；Aa)p(而pcA1)P(A3A2A)J£_99010099980.008317、两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率是0.03,第二台出现废品的概率是(i1,2),事件B表示“取出的0.02,加工出来的零件放在一起,并且第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍,求任意取出的零件是合格品的概率？解：设事件A表示“取出的零件是第i台车床加工的零件零件是合格品,那么2 1,A,_,P(A)-,P(A2),P(BA)0.97,P(BA2)0.98.由全概率公式,3 3,一21得：P(B)P(A)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)0

10、.970.980.9733318、根据美国的一份资料报道,在美国患肺癌的概率为0.1%.在普通人群中有20%是吸烟者,他们患肺癌的概率约为0.4%,求不吸烟者患肺癌的概率为多少？解：以C记“患肺癌,以A记“吸烟.由得PA0.20,PC|A0.004,PC0.001,故所求概率为pc|A,由全概率公式,有PCPC|AP(A)PC|Apa0.0010.0040.20PC|A(10.20)PC|A0.002519、一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉,每个车间生产量分别占总产量的25%、35%、40%,每个车间中二等品分别占50%、40%、20%.今全厂的该种产品中随机抽取一个,发现是二等品,

11、它恰是由甲、乙、丙车间生产的概率分别是多少？解：记A=抽到产品是甲车间生产的,&=抽到产品是乙车间生产的,人3=抽到产品是丙车间生产的,以C记“抽到螺钉为二等品,.由题意知：253540P(A),P(A2)尸(4),201001001001005040P(CA),P(CA2),P(CA3)100100由贝叶斯公式,得随机抽取一个螺钉发现是二等品,它恰是由甲、乙、丙车间生产的概率分别为：PAICPA2ICPA3ICPAPCIA25.PA1PC|A1PA2PC|A2PA3PC|A369;PAPC|A228PA1PC|A1PA2PC|A2PA3PC|A369;PA3PCIA316.PAPCI

12、APA2PCIA2PA3PC|A36920、设有4张同样的卡片,1张涂上红色,1张涂上黄色,1张涂上绿色,1张涂上红、黄、绿三种颜色.现在从这4张卡片中任取一张,用A、B、C分别表示事件“取出的卡片上涂有红色,“取出的卡片上涂有黄色,“取出的卡片上涂有绿色.试判断三个事件A、B、C相互独立吗？1 一一一1解：由得：P(A)P(B)P(C),P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)一2 4所以有P(AB)P(A)P(B),P(BC)P(B)P(C),P(AC)P(A)P(C)故三个事件AB、C是两两独立的.但是P(ABC)P(A)P(B)P(C),所以三个事件A、B、C不是相互独立的.21、假

13、定每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.004,混合100个人的血清,求此混合血清含肝炎病毒的概率.解：记A=第i个人的血清中含病毒,i1,2,100.100由经验可以判定A间是相互独立的,题目需求PA,因A间显然不是两两相斥i1的,用加法公式计算就很麻烦,我们可以用对偶原理,将事件的并的运算转化为事件的交的运算,从而改用乘法公式.即100700PAi1PAi1PA1PA100=1-(10.004)100=0.33.i1i122、设在独立重复试验中每次试验成功的概率是0.5,问需要进行多少次试验,才能使至少成功一次的概率不小于0.9?解：设需要进行n次独立重复试验,那么在n次试验至少成功一次的概率为1旦(0)1(10.5)n由题意得不等式：1(10.5)n0.9解得：n3.380,求该射手的命中率?81所以n423、一射手对同一目标进行四次射击,假设至少命中一次的概率为解：设该射手的命中率为p,由贝努里概型的计算公式,得:C.0“、4d802C4P(1p)1,p-81324、设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,两件中有一件是不合格品,求另一件也是不合格品的概率?解：设A"两件中有一件是不合格的,B"另一件是不合格的C22-C；C：而P(AB)-P(AB)-rC10I5C1081