广东省汕尾市陆丰市民声学校八年级数学上册提公因式法课件（新版）新人教版

1、14.3.1提取公因式法提取公因式法人教版八年级数学上册人教版八年级数学上册 14.3 因式分解因式分解 1. 1.理解因式分解的概念，弄清因式分理解因式分解的概念，弄清因式分解与整式乘法的关系。解与整式乘法的关系。 2. 2.知道什么是公因式，怎样找多项式知道什么是公因式，怎样找多项式中各项的公因式。中各项的公因式。 3. 3.能用提公因式法把一个多项式进行能用提公因式法把一个多项式进行因式分解。因式分解。整式的乘法整式的乘法计算下列各式计算下列各式:x(x+1)= (x+1)(x1)= x2 + x x21a(b + c)= (a + b) (ab)= (x+y)2 =ab + ac a2

2、 b2 x2+2xy+y2 请把下列多项式写成整式的请把下列多项式写成整式的乘积乘积的形式的形式: (1) x2+x=_; (2)x2 1= _.x(x+1)(x+1)(x-1) 上面我们把一个多项式化成了几个整上面我们把一个多项式化成了几个整式的式的积的形式积的形式, ,像这样的式子变形叫做像这样的式子变形叫做把这个多项式把这个多项式因式分解因式分解, ,也叫做把这个也叫做把这个多项式多项式分解因式分解因式. .(3) ab + ac (4) 5x22x2 (5) a2 b2 =a(b + c) =(a + b) (ab) =(52)x2想一想，比一比想一想，比一比 因式分解与整式乘法有何关

3、系因式分解与整式乘法有何关系? ? （1）x2+x x(x+1) (2) x21 (x+1)(x-1) (3) ma+mb+mc m(a+b+c)因式分解因式分解整式乘法整式乘法整式乘法整式乘法因式分解因式分解因式分解因式分解整式乘法整式乘法因式分解与整式乘法是因式分解与整式乘法是互逆互逆过程过程练习一练习一 理解理解因式分解因式分解 判断下列各式哪些是整式乘法判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是哪些是因式分因式分解解? (1) x24y2=(x+2y)(x2y)； (2) 2x(x3y)=2x26xy (3) (5a1)2=25a210a+1 ； (4) x2+4x+4=(x+2)2 ； (5

4、) (a3)(a+3)=a29 (6) m24=(m+2)(m2) ； (7) 2R+ 2r= 2(R+r).因式分解因式分解整式乘法整式乘法整式乘法整式乘法因式分解因式分解整式乘法整式乘法因式分解因式分解因式分解因式分解辨别下列运算是不是因式分解辨别下列运算是不是因式分解,并说明理由并说明理由.).2)(2(4.4.2)3(23.3).2(336.2.84)2(4.1222232aaaxxxxxaxaxaxbaabaa( )( )( )( )不是不是不是不是是是是是温馨提示温馨提示 判断是否是因式分解判断是否是因式分解 要看等式的左边是否是一要看等式的左边是否是一个个多项式多项式，右边是否是

5、几，右边是否是几个个整式整式的的积积的形式。的形式。如何对多项式因式分解如：如何对多项式因式分解如：mambmc把公因式提出来，多项式把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以就可以分解成两个因式分解成两个因式m和和(a+b+c)的的乘积乘积。像这种因。像这种因式分解的方法，叫做式分解的方法，叫做提取公因式法提取公因式法。()mambmcm abc探索发现探索发现解解:公因式公因式多项式中多项式中各项各项都含有的都含有的相同因式相同因式, ,称之为称之为公因式公因式提公因式法提公因式法探究新知探究新知b8a3b212ab3c 的的公因式公因式是什么？是什么？最大公约数最大公约数相同相同字母

6、字母公因式：公因式：4a2一一看系数看系数二二看字母看字母三三看指数看指数观察方向：观察方向：找公因式有找公因式有什么方法呢什么方法呢?最最低低指数指数14 a b2探究新知探究新知多项式多项式 x2+2x3，3m2n2-6mn2，12a2b3- 8a3b2-16ab4，各项的公因式分别是什么？，各项的公因式分别是什么？系数系数：找各项系数的最大公约数找各项系数的最大公约数。字母字母：找各项的相同字母。找各项的相同字母。指数指数：找各项找各项相同字母相同字母的的最低最低次幂的指数。次幂的指数。如何确定公因式？如何确定公因式？x24ab23mn2探究新知探究新知(1) 3x+6y(2)ab-2a

7、c(3) a 2 - a 3(4)4 (m+n) 2 +2(m+n)(5)9 m 2n-6mn (6)-6 x 2 y-8 xy 2 找一找找一找: 下列各多项式的下列各多项式的公因式公因式是什么？是什么？ （3）（a）（a2）（2(m+n)）（3mn）（-2xy）一一看系数看系数二二看字母看字母三三看指数看指数最大公约数最大公约数相同相同字母字母 最最低低指数指数深入理解深入理解比一比，看谁最先找出下列各多项式的公因式比一比，看谁最先找出下列各多项式的公因式 （1 1）3 3x-6-6y+9+9a（2 2）ax+ +ay+ +a (3) 4 (3) 4x2 2+10+10 xy (4) 3

8、(4) 3n3 3y+6+6n2 2y2 2 (5) ( (5) (a+ +b) )2y+(+(a+b) )y2a3 3n2 2y2 2x( (a+b) )y3 3一一看系数看系数二二看字母看字母三三看指数看指数 你是怎样找各项的公因式的，把你的方法在你是怎样找各项的公因式的，把你的方法在4 4人小人小组内交流一下组内交流一下 最大公约数最大公约数字母字母相同相同指数最指数最小小深入理解深入理解注意：注意：各项各项系数系数都是整数时，因式的系数应取都是整数时，因式的系数应取各项系数的各项系数的最大公约数最大公约数；字母字母取各项的取各项的相同相同的的字母，而且各字母的字母，而且各字母的指数指数

9、取取次数最低次数最低的的.说出下列多项式各项的说出下列多项式各项的公因式公因式：(1)ma + mb ；(2)4kx 8ky ；(3)5y3+20y2 ；(4)a2b2ab2+ab .m4k5y2ab 理解理解公因式公因式深入理解深入理解你知道吗？你知道吗？正确找出多项式各项正确找出多项式各项公因式公因式的的关键关键是是：1.1.定系数定系数：公因式的系数是多项式各项系数：公因式的系数是多项式各项系数 的最大公约数的最大公约数. . 2.2.定字母定字母： 字母取多项式各项中都含有的相字母取多项式各项中都含有的相 同的字母同的字母. .3.3.定指数定指数： 相同字母的指数取各项中最小的相同字

10、母的指数取各项中最小的 一个，即字母最低次幂一个，即字母最低次幂. . 请说出下列多项式的公因式：请说出下列多项式的公因式：(1) ma + mb(2) 4kx - 8ky(3) 5y3+20y2(4) a2b-2ab2+ab(5) 4x2-8ax+2x(6) 3(a+b)2-6(a+b)3m4k5y2ab2x3(a+b)2深入理解深入理解 请将下列多项式分解因式：请将下列多项式分解因式：(1) ma + mb(2) 4kx - 8ky(3) 5y3+20y2(4) a2b-2ab2+ab(5) 4x2-8ax+2x(6) 3(a+b)2-6(a+b)3m4k5y2ab2x3(a+b)2m(a

11、+b)4k(x-2y)5y2(y+4)ab(a-2b+1)2x(2x-4a+1)3(a+b)2(1-2a-2b) 深入理解深入理解如果多项式的各项如果多项式的各项有公因式有公因式，可以把这，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的与另一个因式的乘积的形式乘积的形式。这种分解。这种分解因式的方法叫做因式的方法叫做提公因式法提公因式法。提公因式法提公因式法：归纳总结归纳总结因为因为 多项式多项式8a3b2+12ab3c的公因式是的公因式是4ab2想一想想一想 另一个因式另一个因式2a2+3bc是是如何得到的？如何得到的？提公因式法提公因式法例例1：

12、分解因式：分解因式 8a3b2+12ab3c提公因式法的一般步骤：提公因式法的一般步骤：1、确定应提取的公因式；、确定应提取的公因式；2、用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；、用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；3、把多项式写成两个因式的积的形式。、把多项式写成两个因式的积的形式。所以所以 8a3b2+12ab3c4ab2(2a2+3bc)例例1 把把8a3b2 + 12ab3c 分解因式分解因式.解解:8a3b2+12ab3c=4ab22a2+4ab23bc=4ab2(2a2+3bc).例题精讲例题精讲小结：公因式的取法：公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项

13、都含有的字母；字母次数取相同字母次数最低的。因式分解要求：（）分解彻底（）结果化为最简（）结果不含中括号（）结果括号中第一项系数不为负数归纳总结归纳总结例例2. 把把 -24x3 12x2 +28x 分解因式分解因式.当多项式当多项式第一项系数是第一项系数是负数负数，通常先提出，通常先提出“- -”号，使括号内第一项系号，使括号内第一项系数变为正数，注意数变为正数，注意括号括号内各项都要变号内各项都要变号。解：原式解：原式=(324x212xx28)x4=x4(24x34x+12x24x-28x4x)(6x2+3x-7)例题精讲例题精讲用提公因式法分解因式：用提公因式法分解因式： (2) -2

14、x3+6x2-2x (3) 3an+2+2an+1-7an友情提示：友情提示： （1 1）如果多项式的某一项正好是公）如果多项式的某一项正好是公因式，要注意该项在提取了公因式因式，要注意该项在提取了公因式后，应该用后，应该用“1”1”顶替它原来的位置，顶替它原来的位置，切不可把切不可把“1”1”漏掉。漏掉。（2 2）如果多项式的第一项有）如果多项式的第一项有“”号，一般都将号，一般都将“”号随公因式一号随公因式一起提出。起提出。 例题精讲例题精讲【解析】a（x3）+2b（x3） =(x3)(a+2b).【例3】把a（x3）+2b（x3）分解因式.分析：分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即这

15、个多项式整体而言可分为两大项，即a(xa(x3)3)与与2b(x2b(x3)3)，每项中都含有（，每项中都含有（x x3 3）, ,因此可因此可以把以把(x(x3)3)作为公因式提出来作为公因式提出来. .例题精讲例题精讲例例4 把把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式分解因式.分析分析: 这个式子的公因式是这个式子的公因式是( b+c),可以直接提出可以直接提出.解:2a(b+c) 3(b+c) =(b+c)(2a-3).例题精讲例题精讲注意：首项为负，应提出负号。注意：首项为负，应提出负号。 把把-4m3+16m2-26m分解因式；分解因式；把12x2y+18xy2分解因式解：原式 =

16、3xy(4x + 6y) 错误公因式没有提尽，还可以提出公因式2注意：公因式要提尽。诊断正确解：原式=6xy(2x+3y)当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。错误注意：某项提出莫漏1。解：原式 =x(3x-6y)把3x2 - 6xy+x分解因式正确解：原式=3x.x-6y.x+1.x =x(3x-6y+1)提出负号时括号里的项没变号错误诊断把 - x2+xy-xz分解因式解：原式= - x(x+y-z)注意：首项有负常提负。正确解：原式= - (x2-xy+xz) =- x(x-y+z)把下列各式分解因式把下列各式分解因式: :1.a1.a（x xy y）+b+b（y yx

17、 x）; ;分析：分析：虽然虽然a a（x xy)y)与与b(yb(yx)x)看上去没有公因式，但仔细观察可以看看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（出（x xy)y)与与(y(yx x）互为相反数，如果把其中一个提取一个）互为相反数，如果把其中一个提取一个“”号，号，则可以出现公因式，如则可以出现公因式，如：y yx=x=（x xy y）【解析】【解析】a a（x xy y）+b+b（y yx x） =a=a（x xy y）b b（x xy y） = =（x xy y）（）（a ab b）. .【跟踪训练】【跟踪训练】【解析】【解析】6 6（m mn n）3 31212（n nm m）2 2

18、 =6 =6（m mn n）3 31212（m mn n）2 2 =6 =6（m mn n）3 31212（m mn n）2 2 =6 =6（m mn n）2 2（m mn n2 2）. .2. 62. 6（m mn n）3 31212（n nm m）2 2【跟踪训练】【跟踪训练】3、把下列多项式因式分解：、把下列多项式因式分解： (1) 4ab-2a2b; (2) -3ab+6abx-9aby (3) - 24m2x+16n2x; (4) anb2-2anb.2ab(2-a)-3ab(1-2x+3y)-8x(3m2-2n2)anb(b-2)【跟踪训练】【跟踪训练】4、用简便方法计算：、用简便

19、方法计算： 5 5、想一想、想一想 (1)已知已知x+y=2，xy=-3，则则x2y+xy2=_.(2)(-2)2005+(-2)2006=_.-6220052 2003 9927 11（ ）1717171 13.719.82.5313131（）【跟踪训练】【跟踪训练】6.试说明试说明:817279913能被能被45整除整除.解：解：原式原式(34)7 (33)9 (32)13 =328327326 =326(3231) =3265 =32445817279913能被能被45整除整除.【跟踪训练】【跟踪训练】1.1.填空填空请在下列各式等号右边的括号前填入请在下列各式等号右边的括号前填入“+”

20、+”或或“”号，号，使等式成立使等式成立: :（1 1）2 2a=_a=_（a a2 2）; ;（2 2）y yx=_x=_（x xy y）; ;（3 3）b+a=_b+a=_（a+ba+b）; ;（4 4）（）（b ba a）2 2=_=_（a ab b）2 2; ;（5 5）m mn=_n=_（m+nm+n）; ;（6 6）s s2 2+t+t2 2=_=_（s s2 2t t2 2）. .- - -+ +- - -1.1.（苏州（苏州中考）分解因式中考）分解因式 a a2 2a=a= 【解析】【解析】 a a2 2a=a(a-1).a=a(a-1).答案：答案：a(a-1)a(a-1)2

21、2a4a_.22 a4 a2 a (a 2)2.2.（盐城（盐城中考）因式分解中考）因式分解 【解析】【解析】用提公因式法因式分解：用提公因式法因式分解：答案：答案：2a(a-2)2a(a-2) 直击中考直击中考把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：12a4b; 2ax2+ax4a;33ab23a2b; 42x3+2x26x;5 7 x2+ 7 x + 1 4 ; 6 12a2b+24ab2;7xyx2y2x3y3; 827x3+9x2y练习巩固练习巩固 巩固与提高巩固与提高 1.把下列各式分解因式把下列各式分解因式: 8m2n+2mn; (2)12xyz-9x2y2;(3)2a(y-z)-3b(z-y); (4)p(a2+b2)-q(a2+b2).2.先分解因式先分解因式,再求值再求值: 4a2(x+7)-3(x+7),其中其中a=-5,x=3.3.计算计算534+2433+6332.4.把把(a+bc)(ab+c)+(ba+c)(bac)分解因式分解因式.1.1.因式分解：因式分解： 2. 确定公因式的方法：确定公因式的方法：一看系数二看字母三看指数一看系数二看字母三看指数3.提公因式法分解因式步骤提公因式法分解因式步骤(分两步分两步)：第