常微分方程课后答案第三版王高雄

1、习题2.2求下列方程的解。dy_1. =ysinxdx解：y=e心(Jsinxe1心dx+c)=ex-e(sinxcosx)+c2(sinx+cosx)是原方程的解。=cex-12Odx2t2. +3x=e解：原方程可化为:dxc2t=-3x+e2tdt2t(.eJ3dte-dtc)_3t/15t、=e(-e+c)1=cet+1e2t是原方程的解。53.解:ds1.scost+sin2tdt2-costdt13dts=e(sin2tedtc)2=e-sint(sintcostes1ntdtc).sintsintsint=e(sinte-ec)=ce7nt十sint-1是原方程的解。4.dy-x

2、y=exxn,n为常数.dxn解：原方程可化为：曳=xyexxndxnndx-ndxy=ex(exxnexdxc)=xn(ex+c)是原方程的解.dy1-2x5.+2y-1=0dxx解：原方程可化为:dy1-2x=-dxy=e2x2x-x2dx6.dydx43xx2-xy解:dydx43xx2-xy因此：udux=dxdudxx-2u1-2u2.udu=dx(Inx2二e,2Jinx(edxc)1xdxc)1=x2(1+ce')是原方程的解.dydu=uxdxdxu3-3x=xc将y=u带入(*)中x得：y33x4=cx3是原方程的解.嚏-黑=")3解:dy=-2y(x1)3

3、dxx1P(x)=3，Q(x)=(x1)3x1eP(x)dx=e、x=(x-1)2方程的通解为：y=eP(x)dx_P(x)dx(eQ(x)dxc)=(x+1)(21-*(x+1)c3x+c)(x1)2=(x+1)(2(x+1)dx+c)2=(x+1)2(2c)即：2y=c(x+1)2+(x+1)4为方程的通解。8虺=工dxxydxx+y312角单:一=-xydyyy则P(y)=l,Q(y)=y2y1.P(y)dydye二ey方程的通解为：x=eP(y)dy一P(y)dy(eQ(y)dyc)=y(1.2. 、*ydyc)y3cy2即x=y3+cy是方程的通解，且y=M是方程的解。9电二”“ad

4、xxxa解：Rx)=,Q(x)=xP(x)dxadxaeuexux为为常数方程的通解为：y=e?（x）dx（e-P（x）dxQ（x）dx+c）=xa（Ax-1dx+c）xx当a=0时，方程的通解为y=x+ln/x/-c当a=1时，方程的通解为y=cx+xln/x/-1当a=0,1时，方程的通解为ax1y=cx+1-aa解:-3x3_1-3P(x)=-,Q(x)=xxP(x)dx-1dx1e二e=-x方程的通解为：P(x)dx-P(x)dxy=e(e-Q(x)dxc)13-(x*xdxc)x3之£方程的通解为:y=x3c4xuy33xy=xydx解：dy-xyx3y3dx两边除以y3d

5、y23-x=xyxy3dxdy-2232(-xy2x3)dx令丫立二zdz-2(-xzx3)dxP(x)=2x,Q(x)=-2x3epxdx二e2xdx=ex2方程的通解为：z=ep(xdx(|e-xdxQ(x)dx+c)x2x2_3=e(e(-2x)dxc)2x2=xce1故方程的通解为：y2(x2+cex+1)=1，且y=0也是方程的解。c2lnx112.(ylnx-2)ydx=xdyx424解:电=*y2_22dxxx两边除以y2dyInx2y，y2dxxxdy，_Inx2y，dxxx令y"1=zdz2Inx二z-dxxx2、InxP(x)=一,Q(x)二xx方程的通解为：P(

6、x)dx_P(x)dxz=e(eQ(x)dxc)Inx.、)dxc)x2dx-2dxInx2/1/z=ex(ex()dxc)=x(r(xxc2lnx1二一x424方程的通解为：y(cx21)=1,且y=0*是解。424132xydy=(2y2-x)dx2dy_2y-x_y1dx2xyx2y这是n=-1时的伯努利方程。产工dxx令y2=zdz小dy=2yJdxdxdz_2y2dxx-1P(x)=2Q(x)=-1x由一阶线性方程的求解公式dx2X一,e14dyey3x二二2dxxy2y两边同乘以eyeydy=(e)2xedxx7rdzydye=z二e-dxdx.22士=z23xZ=卫+4这是n=2

7、时的伯努利方程。dxxxx两边同除以z24dz=3+4令1=TzdxxzxzdT1dzdT-3T1-1-2,1-2dxzdxdxxxQ(x)=:x由一阶线性方程的求解公式dx-1-dx(exdxc)x=xx2c)2113=-xcx2/11a、/z(-xcx)=12y1-43e(一一xcx)=12-1x2ey2cey1x2x%T;c215dy1丁=3-3dxxyxydx33一二yxyxdy这是n=3时的伯努利方程。两边1dxy3下y16令xSdxdy粉与2y3=一2”一2y3P(y)=-2yQ(y)=-2y3由一阶线性方程的求解公式z=e'2ydy(-2y3e-ydydy+c)2o2=e

8、-y(-：2yeydyc)2=-y1ce2x(-y1ce)=1222xey(-y1ce);eyey2(1-x2x2y2);cx2xy=ex+0y(t)dtdyx/、ey(x)dxdyx一二yedxP(x)=1Q(x)=ex由一阶线性方程的求解公式1dxx一1dxy=e(eedxc)=ex(exe"dxc)=ex(xc)xxxxe(x+c)=e+0e(x+c)dxc=1y=ex(xc)17设函数中于-oo<t<+oo上连续，华'(0#f在且满足关系式中(t+s)=中中(s)试求此函数。令t=s=0得中(0+0)=邛(0)邛(0)即邛(0)二中(0)2故邛(0)=0或

9、中(0)=1(1)当邛(0)=0时中(t尸邛，+0尸中t(即(的")=0当=1时日)=1四二+y*=她(t)(:t)-；(t)(t)(:t)一1)=晒=lm(t0)-(0)；：(t)='(0)(t)于是=中'(0严(t)变量分离得?=中'(0)出积分*ce50由于中(0)=1,即t=0时平=11=ce°=c=1故中=6触20试证：(1)一阶非齐线性方程(2.28)的任两解之差必为相应的齐线性方程(2之解;（2）若y=y（x）是（2.3）的非零解，而y=y（x）是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为y=cy（x）+y（x）,其中c为任意常数

10、.（3）方程（2任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.证明:崇田x)yQ(x)(2.2$半=P(x)ydx(2.3)(D设y,y2是（2.28）的任意两个解贝Udy1=P(x)yiQx)dx学=P(x)y2Q(x)dx(D(1)-(2)得dyi-y2dx二P(x)(yi-丫2)即y=y1-y2是满足方程（2.3）所以，命题成立。(2)由题意得:d1(x)=P(x)ydx(3)dy(x)菅空小)Q(x)(4)1）先证y=cy+y是（2.2$的一个解。于是/(3)+(4)得cdydy_y-cP(x)yP(x)yQ(x)dxdx"笠y)=P(x)(cyy)Q(x)dx故

11、y=cy,y是（2.28）的一个解。2）现证方程（4）的任一解都可写成cy+y的形式设y是（2.28用一个解则dy1=P(x)yi+QX)(4，)dx于是(4')-(4)得P=P(x)(y)dxp(x)dx从而y1-y=ce-=cy即y1=ycy(3)所以，命题成立。设y3,y4是(2的任意两个解则dy3=P(x)y3(5)dxdy1=P(x)y4(6)dx于是(5)c得"y3=cP(x)y3dx即dIcyi=P(x)(cy3)其中c为任意常数dx也就是y=cy3满足方程(2.3)(6)得dy3-学=P(x)y3-P(x)y4dxdxd(y3-y)P(x)(y3-y,)dx也

12、就是y=y3±y4满足方程(2.3)所以命题成立。21试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。(5)曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方;(6)曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项;解：设p(x,y)为曲线上的任一点，则过p点曲线的切线方程为从而此切线与两坐标轴的交点坐标为(x-,0),(0,y-xy')y'即横截距为x工,y'纵截距为y一对。由题意得:y_xy=方程变形为xdy=y.xdxdy1=yxdxx11于是dx(.)dxy=ex(-x)exdxc)=e1nx(-x0-lxdxc).(-x)xdxc1=x(-x：)dx0x=x(-xc)水2cx所以,方程的通解为y=-x2+cx。方程变形为xdy=1上dx22dy11y-dx2x2于是J_dx1(_L)dxy=e2x(-)e2xdxc)1,1,ln|x12ln|x=e(.(-2)edxc)111w=x|2(J(q)xdx+c11J.=x2(-x2)dxc)ii二x2(-x2c)1-诙cx1所以，方程的通解为y=-x+cx2。22.求解下列方程。(x2-1)y'-xy+=01x2-1_dxy=ex2(.-ex2-1xdxc)1=/x2-1/2-1=/x2-1/2-lx2dx1.11-dx