常微分方程的初等解法与求解技巧

1、山西师范大学本科毕业论文（设计）常微分方程的初等解法与求解技巧姓名幽院系数学与计算机科学学院专业信息与计算科学班级12510201学号1251020126指导教师王晓锋答辩日期常微分方程的初等解法与求解技巧内容摘要常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见,因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧.【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧ElementarySolutionandSolving

2、SkillsofOrdinaryDifferentialEquationAbstractOrdinarydifferentialequationstakeupsignificantpositioninmathematics,andatthesametime,theapplicationofitcanbeseeneverywhereinourdailylife,therefore,it'snecessarytograsptheelementarysolutionofordinarydifferentialequationsandsolvingskills.Thispapermainlyi

3、ntroducedthedefinitionofordinarydifferentialequations,elementarysolutionmethodandsolvingskills,theformermainlyincludedtheseparationofvariables,integralfactor,aparameter-orderdifferentialequationsimplicitrepresentation,bywayofexamplestosumuptheirsolvingskills,thepurposeistomastertheskillstosolve.【Key

4、Wordsitheseparationofvariablesthefirstorderimplicitdifferentialequationintegratingfactorsolutiontechniques目录1 .弓I论12,变量分离方程与变量变换11.1 变量分离方程的解法11.2 变量分离方程的举例21.3 变量分离方程的几种类型25. .线性微分方程和常数变易法65.1 线性微分方程与常数变易法65.2 伯努禾U微分方程86. .恰当微分方程与积分因子96.1 恰当微分方程96.2 积分因子117. .一阶隐式微分方程与参数表示137.1 一阶隐式微分方程的主要类型138. .常

5、微分方程的若干求解技巧188.1 将一阶微分方程业变为dx的形式18dxdy8.2 分项组合198.3 积分因子的选择209. .总名吉21参考文献错误！未定义书签。10. 谢22常微分方程的初等解法与求解技巧学生姓名：张娟指导教师：王晓锋.引论常微分方程的实质就是一个关系式，这个关系式是由自变量、未知函数和未知函数的导数组成的，且自变量的个数为一个m.其发展历史经历了一个很漫长的过程，在这个发展过程中涌现出很多科学家例如欧拉、拉格朗日、柯西等，他们对常微分方程的发展做出了很大的贡献.常微分方程的发展历史可分为三个阶段，分别是“求通解”阶段、“求定解”阶段、“求所有解”的新阶段反常微分方程在数

6、学中占有很重要的地位，有很多伟人例如赛蒙斯都曾评价过常微分方程在数学中的地位，指出其在数学中的不可替代的作用口常微分方程非常重要，其初等解法有很多种，我们应该掌握其初等解法与技巧.变量分离方程与变量变换变量分离方程的解法对于变量分离方程"'=f(x)9(y),dx若中(y)#0,则有：dy(y)=f(x)dx,两边积分，得到：巫/y)f(x)dx+c,c为任意实数.如果中(y)=0得y=y0,验证一下y=y0是否包括在dy：(y)=f(x)dx+c中，若不包括，需补上特解y=y0.变量分离方程的举例dy（1）工：求该方程的解.dx解：当y=0时，业=2xdx,y两边积分，得到

7、：曳=f2xdx+c,Ci为任意实数.y1故y=cex,c为任意实数.v2显然y=0包括在y=ce中，故方程的通解为：X2y=ce,c为任意实数.变量分离方程的几种类型齐次微分方程对于齐次彳分方程dy=g（y）,dxx两边对x求导得:(2-1)(2-2)解法：令u则有：xdydu=xudxdx将（2-1）,（2-2）代入齐次微分方程业=gd）中可得:dxxdux一dx+u=g(u),即业二g（u）-udxx从而可以求得其解.举例：求解方程x电2,xy=y（x：二0）.dx解：原方程可化解为：这个方程为齐次微分方程，令y=u,x则有两边对x求导得:dydu&ydydu=x+u,将一=u和

8、=x+u代入原方程中生p:dxdxxdxdxduxdx这个方程为可分离变量方程,当u#0时解之可得：内=ln(-x)+c,其中c为使等式有意义的任意常数.即当u=0时，显然是x四=2，u的解，且不包含在而=ln(-x)+c中,dx将y=u代入u=0或Tu=ln(-x)+c中可得：xxln(-x)+c2,当ln(x)+c，0,y=0,有理比式电=a1x+ay+°的三种类型dxa2xb2yc2类型一曳=k(常数)情形，则原方程变为：包=匕a2b2c2dx故方程的通解为：y=kx+c,其中c为任意常数.举例：求解下列方程的解dy=4x2y2.dx2xy1解：根据题意可得：dy4x2y2工=

9、t=2,dx2xy1即出=2,dx故可得：y=2x+c,c为任意常数.因此原方程的通解为：y=2x+c,c为任意常数.类型二亘=b1=k=%情形，令a?b2C2u=a2x+b2y,两边对x求导可得：du,dy,kuga2b2a2,b2dxdxuc2这个方程是变量分离方程.举例：做适当变换求解方程叱=x-y5.dxx-y-2解：经判断为第二种类型，令u=x一y,两边对x求导可得：du/dy=1,dxdx故可得：du-7一=，dxu-21c斛N可行：2u-2u=-7x+Ci,G为任息常数.将口=*-y代入并化简可得：x2+y2-2xy+4y+10x=c,c为任意常数.类型三曳,与情形，如果方程四=

10、为'+.丫+（中的cc2不全等于零，ax+b1ya2x+b2y+C2者B是x则可以求得解为：令a2b2dxa2xb2yc2，y的一次多项式，(2-3)a1x+b1y+c1=0,=©2x+b2y+c2=0x=a,U=P，:X=xfN=y-P,则(2-3)化解为:a1X+b1Y=0,a2X+b2Y=0,故也ixfy”化为dxa2xb2yc2dYdX”Y=g(Y),a2Xb2YX故可以解出该方程的解，解出其解，再将的解.X=x-a.,.、/带入其解中，从而得到所求方程、Y=y-P,举例：解下列方程曳=2X71dxx-2y1解：显然曳=.，故为第三种类型,a2b2X=x+解方程组3得

11、:Y=y-3于是令代入原方程中，则有:x=X-,3y=Y1,3这个方程为可变量分离方程,则等式两边对X求导可得：dY_2X-YdX-X-2Y故令u=Y,XY=uX,2X1-2YXdYdX二嚷2-Y将dY=T代入dYdXdqYdX1-21XX四十u中得至IJ：dXdu2-uu二dX1-2u化解得:duXdX2u2-2u21-2u(u2-u1)2=c1X，解之可得：换入原来的变量得：y2+x2+x一yxy=c,其中c为任意常数.故原方程的解为：y2+x2+x-y-xy=c,其中c为任意常数.上面三种类型解题方法和步骤也适用于下列类型的方程：(2)dy=f(ax+by+c),dxx2dy=f(xy)

12、,dx(4)yf(xy)dxxg(xy)dy=03.线性微分方程和常数变易法线性微分方程与常数变易法如果一阶线性微分方程可表示为：出=P(x)y+Q(x),这里P(x),Q(x)在定义域dx上是连续的函数.如果Q(x)=0,则原式变成dy=P(x)y,故形如色=P(x)y的类型通常叫做一阶dxdx齐次线性微分方程U如果Q(x)#0,则原式变成电=P(x)y+Q(x),故形如业=P(x)y+Q(x)的类型dxdx通常叫做一阶非齐次线性微分方程U因"=P(x)y为变量分离方程，其通解为：dxy=ce'P(x"x,c为任意常数.下面讨论形如dy=P(x)y+Q(x)形式的

13、方程解的求法.dx由上可知其所对应的齐次微分方程的解为:P(x)dxy=ce，令两边对x求导可得:P(x)dxy-c(x)e,dy_dc(x)fedxdxP(x)dxP(x)dxc(x)P(x)e-(3-1)(3-2)将(3-1),(3-2)代入电=P(x)y+Q(x)中并化简可得:dxdc(x)_P(x)dx二Q(x)e,dx两边积分得:一P(x)dxc(x)=fQ(x)edx+ci,其中ci是任意常数.因此可得原方程的通解为：P(x)dxy=ei这种方法叫做常数变易法,-I_P(x)dx(jQ(x)edx+Ci),这里g是任意常数.举例：求解方程dy=ysinx.dx解：该方程所对应的齐次

14、线性微分方程为:ry,dx解之得:(3-3)(3-4)y=cex,c为任意常数.两边对x求导可得:y=cxex,dydcxx,、x=exc(x)ex,dxdx将(3-3),(3-4)都代到业=y+sinx中并化解可得：dxdcxxxx.e+c(xe=c(x)e+sinx,dx因此有:圾Ainx,dx从而可以求得该方程的解为:c(x)=cosx+g，c为任意常数.因此可得原方程的通解为:y=(cosx+gex,这里Ci为任意常数.伯努利微分方程定义：形如dy=P(xy+Q(x)yn的类型，n#0,n#1,并且n是常数，其中P(x)Q(x)dx，关于x是连续的，故我们称dy=P(xy+Q(x)yn

15、为伯努利微分方程错误！未定义书签。.dx解法：明显y=0是这个方程的一个解.当y#0时，在这个方程两端同乘y得:(3-5)y?=y"xQx,dx于是令1.nu=y,(3-6)两端对x求导有:(3-7)du._ndy1-ny-dxdx将(3-6)等式、(3-7)等式代到(3-5)等式里并化简可得：duv(1-n)Pxu(1-n)Q(x),dx从而可以求得该方程的通解.举例：求方程的解,xy=x3y3.dx解：显然y=0为方程的解.当y#0时,两边同乘y&得:两边对x求导可得:3dy23yxy=x,dx将(3-9),(3-10)代到(3-8)并化解变为:1du2dx+xu=x3,

16、其所对应的齐次微分方程为:1du.xu=0,2dx其解为:-2u=ce,c为任意常数.利用常数变易法求解，令u=c(x)e',(3-8)(3-10)(3-11)(3-12)(3-9)两边对x求导得:dudc(x)x2c，、X=-e+2xc(x)e,dxdx由等式(3-11)、(3-12)、(3-13)联立并化解可得：dc(x)=-2x3edx从而可求得其解为：c(x)=x2e+e"+ci,其中G为任意常数则2u=x+1+c1ex,其中c1为任意常数.将原变量代入得：2x22(x+1+c1e)y=1,(3-13)故原方程的解为:2x22(x+1+c1e)y=1或y=0.4.恰当

17、微分方程与积分因子4.1恰当微分方程定义：一阶微分方程可表示为M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,其中M(x,y),N(x,y)在使xy有意义的范围上关于xy可导且连续，若JJ7u-u,M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y)=dx+dy,二x二y则称M(x,y)dx+N(x,y)dy=0为恰当微分方程.判定：判定M(x,y)dx+N(x,y)dy=0为恰当微分方程等价条件是：.:M；:N:y：x求解：显然恰当微分方程的通解就是u(x,y)=c,其中c为常数.由恰当微分方程可得:；：u一=M,二x(4-1).:uu=N,-y(4-2)从关系式（4-1）出发，把y看做未知参数，解这

18、个方程可得:u=fM（x,y）dx+cP（y）,（4-3）其中邛（y）是y的任意可微函数.选才¥%y）使u同时满足（4-2）,即:u,d(y)=工fM(x,y)dx+d-(2=N,.:y7dy故有dy:yJM(x,y)dx,(4-4)则有（4-4）的右端只与y有关，事实上是仅仅需证明（4-4）的右端满足下列等式,cL.。N-:x|yNJM(x，y)dx=-J-JM(x，y)dxj.N一一M(x,y)dxr-.II,xtylxN；:M:x=0,:y故（4-4）式的右端只与y有关,故可以得到:(y)&=.N-M(x,y)dxdy,ILy将(y)=N-a1一fM(x,y)dxdy代

19、入(4-3)中求得:yu=M(x,y)dx-Nc1、，JM(x,y)dxdy=c,c为任息吊数.举例：验证方程（y-3x2）dx-（4y-x）dy=0是恰当微分方程，并求出其解.解：先验证是恰当微分方程，因M=y-3x2,N=-4y+x.且有FM-:y二1，:N:x即可得=,则原方程为恰当微分方程.二yex故可设:2(y-3x)dx(4y-x)dy=du(x,y),则有：J=y3x2,(4-5)；:x:u，一、=My+x,(4-6):y由方程(4-5)可以解得：3u=xy-x+中(y),为了确定中(y),在u=xy-x3十邛(y)的两端对y求导数，并使之满足等式：:ud(y)=x+=_4y+x

20、,.:ydy于是可得：汕，dy积分后可得：(y)=-2y2,故u=xy-x3-2y2,因此可得原方程的通解为：x3+2y2-xy=c,这里c为任意常数.4.2积分因子定义：如果存在N(x,y)#0且为连续可微的函数，使得：N(x,y)M(x,y)dx+邑(x,y)N(x,y)dy=0,恰好为恰当微分方程，也就是存在一个v(x,y),满足下列等式：-Mdx;i-Ndy三dv,则函数注称为方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的积分因子,邑(x,y)M(x,y)dx+2(x,y)N(x,y)dy=0的解为:v(x,y)=c,c为任意常数.它也是方程M(x,y)dx十N(x,y)dy=0的通解.

21、求法：方程Mdx+Ndy=0有只与x有关的积分因子的等价条件是:FMFN=*(x),.:y；xN这里Wx)仅为x的函数.则方程Mdx十Ndy=0的一个积分因子为:M(x)dxJ=e,方程Mdx+Ndy=0有只与y有关的积分因子的等价条件是:三Mn，-M这里中(y)仅为y函数，则方程Mdx+Ndy=0的一个积分因子为：,-(y)dy=e,.举例：求方程的解y-x2dx-xdy=0.解：由题意可知：2M(x,y)=y-x,N(x,y)=-x,FM/fN.则有.-=1，T，y二x.:M_：N:yfx_2Nx'2-dx故可求得积分因子为：-=e，x=x,原式两边同乘N=x1可得：,-21.(x

22、y-1)dx-xdy=0,则有:JJ=x：:y(4-7)(4-8)由(4-7)式两边积分得:xx_xy+邛(x),为了确定中(x),在N=x1y+9(x)的两边对x求偏导，得:nd:(x)二x/y,二xdx与(4-8)比较可得:两边积分可得：故原方程的解为：x'+x=c,c为任意常数.一阶隐式微分方程与参数表示一阶隐式微分方程的主要类型在这一章中，主要介绍以下四种类型：y=f(x,y')；(2)x=f(y,y')；/_、.'、一.,F(x,y)=0;(4)F(y,y)=0.1一阶隐式微分方程的参数表示类型一：y=f(x,y).首先讨论形如y=f(x,电)方程的解

23、法，其中f(x,包)具有连续的偏导数dxdx为了讨论的简单引入参数dy=P,代入y=f(x,曳)中可得：dxdxy=f(x,p),对y=f(x,p)进行对x求导数的运算，其中P仅与x有关，并将曳=P代入，因此得:dxp二十,fxfpdxp=9(x,c),则可以得到:y=f(x严(x,c),；:ffdp可以求得该方程的解.(1)若解出的P值：因此原方程的通解为：y=f(x,9(x,c),这里c为任意常数.(2)若解出x的值：x=®(p,c),于是原方程的通解为：,x=:(p,c),其中P为参数，c为任意常数.J=f(4(p,c),p),(x,p,c)=0,v=f(x,p),其中p为参数

24、，c为任意常数.(3)若解出的表达式满足：(x,p,c)=0,因此得到原方程的通解为:举例：求方程y=(曳)y=±+cx+c2,c为任意常数.2-xdyV的解.dxdx2解：由题可知这个方程为y=f(x,y')的类型，故引入参数，令dy=p,代入dx2原式中，并解出y,即y=p2xp+二，2在这个式子两边对x求导数，得到:cdpdpp=2pxpxdxdx化解得:则有：(曲-1)(2px)=0,dx(曲-1)=0或(2p-x)=0.dx当(也1)=0时，解得：p=x+c,将之代入y=p2xp+二中化简得:dx22当(2p_x:0时，解得pg将之代入p+1.中又得到方程一个解为:

25、2xy二一,4故方程的解为:22y=、+cx+c2,(c为任意常数)或y=24类型二：x=f(y,y).有连续的偏导数.、»、上.讨论x=f(y,y)的解法，假设函数f(y,同样为了讨论方便引入参数dy=p,代入x=f(y,y')中得:dxx=f(y,p)，两边对y求导数，其中将竺=工代入得至上dyp这个方程为关于y,1旦+亘生,p二y二pdyp的一阶微分方程，故可运用前面学过的知识点来求其通解，不妨设求得通解为:中(y,p,c)=0,则得原方程的通解为:x=f(y,p),W(y,p,c)=0,举例：求解方程解：该方程为第二种类型，可解出x,并引入参数或=p代入x的表达式中可

26、得:dx3x=-,p#0,2p等式两边对y求导可得:p(1.3p2dP)-(y-p3)dPdydy2p2化简得:从而可以解得该方程的解为:3将之代入x=匕区中可得:2p3.pdy+ydp+2Pdp=0,4c-py=FT'4c-p32Ppc-3p4x二二八9?2p4p所以方程的通解为：cx24p32丁3pp#0,其中c为任意常数.显然y=0也是方程的解.类型三：F(x,y)=0.现在讨论形如F(x,y)=0的方程的解法，为了讨论的简便引入参数:dydx=p，代入原方程F(x,y')=0中得；F(x,p)=0,从而可以选择恰当的参数形式:x=(t),p=*(t),t为参数.且满足关

27、系dy=pdx,因此可将x和p代入得到:dy=*(t)cp'(t)dt,等式两边积分可得：y=(t)'(t)dtc,故原方程参数形式的通解为：x=(t),一一一y吓(t)*(t)dt+c,C为任意常数.举例：求解下列方程的解x2+y2=1.解：可以判断为第三种类型，故引入参数y=cost,则原方程的参数形式为:x=sint,工4各有,t为参数.y=cost,又满足dy=costdx,将x的参数形式代入得:.2.dy=costdt,两边积分可得：y=1t+'冶2t+c,c为任意常数.24故原方程的参数形式通解为：x=sint,11sin2tt为参数，c为任意常数.y亍丁c

28、,类型四：F(y,y')=0.现在讨论形如F(y,y')=0的方程的解法，为了讨论的简便引入参数：dy=y=p代dx入原方程F(y,y')=0中得：F(y,p)=0,从而可以选择恰当的参数形式：(t),P=*(t),t为参数,且满足关系dy=pdx,因此可将y和p代入得到:5(t)dt=*(t)dx,该方程为变量分离方程，故可得：x=f(t)dt+c,c为任意常数.(t)因此原方程的通解为：x=.dtC,x9(t)c,这里c为任意常数，t为参数.、y=*(t),举例：求解下列方程：y2(y-1)=(2y)2.解：该方程为第四种类型，引入参数令2-y'=yt,即y

29、=2-yt,代入原式可化得:1-t2y-代入y'=2yt中可得：y'=l+t2,两边积分得：y=1t3+t+c,c为任意常数.31c故原方程的解为：y=-t3+t+c,c为任息常数.36.常微分方程的若干求解技巧将一阶微分方程dy变为止的形式dxdy若一阶齐次微分方程可化简业=妙辿的类型.而这种类型不容易求解，这时需对dxf(x,y)式子两边取倒数，即将其化为生=上(的类型，这里x为未知函数，y为自变量,dyg(x,y)有时这种类型更容易求解.举例：求方程出二的通解.dx2x-y解：显然y=0是方程的解，当y#0时直接求解不容易，因此我们可以考虑将原式化为：dx2-=-x-y,

30、dyydx2求出其对应的齐次微分万程d=x的通解为：dyy2x=cy,(6-1)再利用常数变易法，令x=c(y)y2,(6-2)故有:dxdydc(y)dy2y+2c(y)y,(6-3)把（6-2）等式、（6-3）等式代到（6-1）等式中并化简可得:dc(y)1=-dyy两边积分得：c(y)=-lny+c,将c（y）=-lny+c代到（6-2）中可以并化解得：x=y2（c-lny）,c为任意常数.故原方程的通解为：x=y2（c-lny）,c为任意常数.6.2分项组合对于恰当微分方程的解法，也可利用“分项组合”的形式来求其通解，即先找到已构成全微分的项将其组合到一块，再将其余的项拼成全微分贝这种

31、方法更加简单.这需要记住一些常用的函数的微分，比如：ydx-xdyx2二d,yy-ydxxdy_y0x，ydx-xdyxyydx-xdy22xy=dlnx=d(arctan),yydx-xdy22x-y1=一dln2举例：用“分项组合”的方法，求解（3x2+6xy2dx+（6x2y+4y2）dy=0的通解.解：经验证满足故为恰当微分方程，故可得：二yex一2.3_2_2_3xdx+4ydy+6xydx+6xydy=0,34222234c22dx+dy+3ydx+3xdy=0,d(x+y+3yx)=0,故方程的通解为:x3+y4+3x2y一，i.一可以知道N=2和N=2都是ydx-xdy=-ydy左防的积分因子，xy因此改写ydx+(y-x)dy=0后变为:ydx-xdy=-ydy,=c,c是任意常数.-.2x(y>0).有的常微分方程通解的解法不能利用积分因子法来求解，例如下例。举例：求解方程包=dx解：方程可以化解为：xdxyd