常见不定积分的求解方法

1、常见不定积分的求解方法的讨论指导老师：封新学摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。ThediscussionofcommonindefiniteintegralmethodofcalculatingMaZhengAbstracttherearefoursolutionsofindefiniteintegrationinthisdiscourse:directintegratio

2、n;exchangeableintegration;parcelintegration.Itdiscussedthefeasibilitywhichthesewaysinthesolutionofintegration,anditishelpfultosolveindefiniteintegrationquickly.KeywordsIndefiniteintegration,exchangeableintegration,parcelintegration.0引言不定积分是高等数学中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不

3、定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如dxsinx,、,21,r2dxe-xdx；dx-ksinx(其中0k完全抵消。d抵消后差一常数。2 .两函数代数和的不定积分，等于它们各自积分的代数和，即：Jf(x)-g(x)dx=ff(x)dxjg(x)dxo3 .在求不定积分时，非零数可提到积分符号外面，即：kf(x)dx=k1f(x)dx(k项。在这里，给出两个重

4、要定理：(1)导数为0的函数是常函数。(2)若两函数的导数处处相等，则两函数相差一个常数。以便于更好的解决一些简单的不定积分问题。上面将不定积分的概念以及性质做了简单的介绍，下面，我们开始讨论不定积分的各种求解方法。2直接积分法(公式法)从解题方面来看，利用不定积分的定义来计算不定积分是非常不方便的，利用不定积分的运算性质和基本积分公式从而直接求出不定积分，这种方法就是直接积分法（另称公式法）。F面先给出基本求导公式:(9)(kx)=k1(lnx);x(arcsinx)=(cosx)=-sinx(11)(cotx)=-csc2x1(x)x，1(arctanx);八、，1(6)(logax)ga

5、xlna(8)(sinx)=cosx(10)(tanx)=sec2x根据以上基本求导公式，我们不难导出以下基本积分表:(1)kkdx=kx+C(k是常数)1xdx：C(J)(9)dx,八f=lnx+Cx1dx二arcsinxC2一xexdx=exCsinxdx-cosxC(6)(10)1,；dx=arctanxC1x2xaxdx)-a-Clnacosxdx二sinxCse(2xdx=tanxC(11)csc2xdx-cotxCF面举例子加以说明:2例2.1：求(3x-4x+1)dx原式=3x2dx-4xdxdx=3x2dx-4xdxdx32=3(x01)-4(|C2)(xC3)32=x3-2x

6、2xC注意：这里三个积分常数都是任意的，故可写成一个积分常数。所以对一个不定积分，只要在最后所得的式子中写上一个积分常数即可，以后遇到这种情况不再说明。2例2.2:求2.ddxdxx21x1(x21)-1.dY解原式=J2+4dx=Jdxx1=x-arctanxC注：此处有一个技巧的方法，这里先称作“加1减1”法，相当于是将多项式拆分成多个单项式，然后利用基本积分公式计算，下面的例题中还会遇到类似的题型，遇到时具体讲解。直接积分法只能计算较简单的不定积分，或是稍做变形就可用基本积分表解决的不定积分，对于稍微复杂一点的不定积分便无从下手，所以，下面我们将一一讨论其他方法。3第一类换元法（凑微法）

7、利用基本积分公式和积分性质可求得一些函数的原函数，但只是这样远不能解决问题，如一2sinxcosxdx就无法求出，必须将它进行变形，然后就可以利用基本积分公式求出其积分。如果不定积分1f(x)dx用直接积分法不易求得，但被积函数可分解为f(x)=g中(x)中，(x),作变量代换u=平(x),并注意到中(x)dx=d(x),则可将关于变量x的积分转化为关于u的积分，于是有f(x)dx=g(x)(x)dx=g(u)du.如果g(u)du可以求出，不定积分f(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法(凑微分法)。注：上述公式中，第一个等号表示换元x)u,最后一个等号表示回代u=(x).下面具体

8、举例题加以讨论10.例3,1:求(2x+1)dx.1解原式=丁0十叶白+1)”110=2(2x1)d(2x1)1111011_112x1=uiiduuCu=2x1(2x1)C2u21122)对变量代换比较熟练后，可省去书写中间变量的换元和回代过程。例3.2:求-1d(x)x2-8x25解原式=2(x-4)29d(x)=d(x)14)12(：4)134-rcta-n-C3dx例3.3:求21一x11771r7(1-x)(1x)21x1-1”一头21x1-x=1ln1+x-2ln1-x十Cln2在这里做一个小结，当遇到形如:dxgV2+hx+r的不定积分,axxc可分为以下3中情况:2.=axbx

9、c的:大于0时。可将原式化为（x-x1)(xx2),其中，x1、x2为ax2+bx+c=0的两个解，则原不定积分为:dx1rd(x-xi)d(x-x2)一,:=一,：1T一T】(x-xi)(x-x2)(x2-xi)(x-xi)(x-x2)等于0时。可利用完全平方公式，然后可化成2.f(x-k)d(x-k)。然后根据基本微分公式(2)便可求解。4小于0时。形如例4,可先给分母进行配方。然后可根据基本积分公式(4)便可求解例3.4：求secxdxdxcosxdxdsinx原式.高二Ws二,丁嬴及dsinxdsinx(1-sinx)(1sinx)(1-sinx)1 rdsinx2 (1sinx)1

10、,1+sinx=In2 1-sinx该题也可利用三角函数之间的关系求解:2secxsecxtanx原式=dxsecxtanxsecxtanxd(secxtanx)=Insecx+tanx+C.虽然两种解法的结果不同，但经验证均为secx的原函数，这也就体现了不定积分的解法以及结果的不唯一性。例3.5:求COS2xdx1cos2xcos2xdx二62secxdx=(secx)2secxdx=(12ta2x)d(tan),1,dx=(dxcos2xdx)11一一dxcos2xd(2x)24xsin2x-)C24例3.6:求1se(6xdx.=(12tan2xtan4x)d(tanx)x2315c=

11、tanx-tanx-tanxC5注：当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇次项去凑微分。当被积函数为三角函数的偶数次届时，常用半角公式通过降低哥次的方法来计算；若为奇次，则拆一项去凑微，剩余的偶次用半角公式降哥后再计算。求(x-1)dx100x解原式二x2-11100-dx(x-1)(x-1)9910dx(x-1)x1299(x-1)(x-1)100dx(x-1)+9898(x-1)(x-1)?00d(x一D1(x-1)97-971(x-1)49981-99-(x-1)C99注：这里也就是类似例2所说的方法，此处是“减1加1”法。4第二类换元法如果不定积分f(x)dx用直接积分法或第一类换元法不

12、易求得，但作适当的变量替换x=邛(t)后，所得到的关于新积分变量t的不定积分f(t)(t)dt可以求得，则可解决f(x)dx的计算问题，这就是所谓的第二类换元(积分)法。设x=平(t)是单调、可导函数，且限(t)#0,又设f?(t)F(t)具有原函数F(t),则ff(x)dx=ff)F(t)dt=F(t)+C=FT(x)+C,其中v(x)是x=*(t)的反函数。注：由此可见，第二类换元积分法的换元与回代过程与第一类换元积分法的正好相反。例4,1:求不定积分Ha2-x2dx(a0).解令*=asint,则dx=acostdt,t三(-冗/21/2),所以2、a2-x2dx=acostacostd

13、t=(1cos2t)dt212二a(t-sir2t)C:a(tsincoC222为将变量t还原回原来的积分变量x,由x=asint作直角三角形,得22.a-x可知c0st=，代入上式，a2a2x2dx),rcsin：注：对本题，若令x=acost1例4.2:求不定积分+a2dx(a0)解令乂=atant,贝Udx=asec2tdt,t(-n/2产/2),所以1,12:22dx=asec2tdt=sectdtxaasect=Insect+tant+C1=Inx+Jx2*a2*C1例4.3：求不定积分777a2dx(a0)解令乂=aseCt,则dx=asecttantd,h(0产/2),所以ase

14、cttantatantdt=sectdt=Insect+tant+Ci=Inx+Jx2-a2+C注：以上几例所使用的均为三角代换，三角代换的目的是化掉根22式，具一般规律如下：若果被积函数中含有a-x时，可令x=asint,小（一元/2，到2）；如果被积函数中含有口可，可令x=atant,3（一冗/2,冗/2）；如果被积函数中含有Jx2-1；可令x=士asedte（j/2）.例4.4:求不定积分dx_e-x解令t=ex(t0),生x一Int,所以，dxt。1dx；二-tdtx-X1eet-t2dt=arctantC=arct电n+C.例4.5:求不定积分xdx2-3x2.xdx1dx2解7m(

15、变形).22.2-t22_2.令t=j2-3x2(t之0),x-dx-tdt。31 1211.原式二9；(一Qtdt)=一dt=-w2-3xc2 t333关于第二类换元法，就举些例子说明，具体要多做大量的习题，这样才能找到该怎么样换元的感觉，才能更好的掌握这种方法。5分部积分法前面所介绍的换元积分法虽然可以解决许多积分的计算问题，但有些积分，如xexdx、1fxe0sxdx等，利用换元法就无法求解.接下来要介绍另一种基本积分法一一分部积分法.设函数u=u(x)和v=v(x)具有连续导数，贝Ud(uv)=vdu+udv移项得到udv=d(uv)-vdu,所以有fudv=uv-1vdu或uuvdx

16、=uv-uvd.上面两个式子称为分部积分公式.利用分部积分公式求不定积分的关键在于如何将所给积分f(x)dx化成fudv的形式，使它更容易计算.所采用的主要方法就是凑微分法，例如，xexdx=xdex=xex【exdx=xex-exC=(x-1)exC利用分部积分法计算不定积分，选择好u,v非常关键，选择不当将会使积分的计算变得更加复杂。下面将通过例题介绍分部积分法的应用。例5.1：求不定积分fxcosxdx.解令u=x,cosxdx=dsinx=dv,贝Uxcosxdx=xdsinx=xsinx-sinxdx=xsinxcosxC有些函数的积分需要连续多次应用分部积分法。例5.2：求不定积分

17、x2exdx.解令u=x2和dv=exdx,则xx2exdx=xdex-21xexdx.对后面的不定积分再用分部积分法，xexdx=xdex=xex-exC（运算熟练后，式子中不再指出u和v了），代入前式即得x2exdx=（x2-2x2）exC.注：若被积函数是募函数（指数为正整数）与指数函数或正（余）弦函数的乘积，可设哥函数为u,而将其余部分凑微分进入微分符号，使得应用分部积分公式后，哥函数的哥次降低一次（哥指相碰哥为u）。例5.3：求不定积分1xarctanxdx.乂2解令u=arctanx,xdx=d3，则22x,xxarctanxdx=-arctanx-d（arctanx）arctan

18、x-)dx，1，、八arctanx-(x-arctanx)C，可注：若被积函数是哥指函数与对数函数或反三角函数的乘积设对数函数或反三角函数为u,而将募函数凑微分进入微分号，使得应用分部积分公式后，对数函数或反三角函数消失(哥对角(反三角函数)，对角u).例5.4：求不定积分，exsinxdx.解exsinxdx=jsinxde%取三角函数为u)=exsinx-exd(sinx)=exsinx-excosxdx=esinx-cosxdex(再取三角函数为u)=exsinx-(excosx-exdcosx)=ex(sinx-cosx)-exsinxdxxve/解得exsinxdx=J(sinx-cosx)C注：若被积函数是指数函数与正(余)弦函数的乘积时，u,dv可随意选取，但在两次分部积分中，必须选用同类型的u,以便经过两次分部积分后产生循环式，从而解出所求积分(指正余，随意选).F面将分部积分法关于u,dv的选择总结成一个表，以便于更好学习，如下: