平面向量常考点例析

1、平面向量常考点例析景宁中学吴松敏平面向量是高中数学中代数与几何之间的一座桥梁,原因在于平面向量具有线性运算和坐标运算.平面向量试题,在全国各地高考题中也呈现出五彩缤纷的景象,一些考题考查的将向量的几何性和代数性都考查的非常深刻,但把这些问题进行归纳为以下六个方面,现以例题赏析的形式供读者理解与体会.L向量的坐标运算(平行与垂直问题)向量a=,b=(x2,y2),假设那么网丁2-9乂=°；假设._LB,那么【典型例题1】(2021秋贵阳期末)向量£=(1,0),5=(1,1),c=(-1,1).(I)%为何值时,£与)垂直？(n)假设(而十而)而,求生的值.n【解答

2、】解：(I)向量.=(1,0),b=(1,1),c=(-14).a+Ab=(l+A,A),十九坂与a垂直,(a+Ab)-a=l+A+0=0,解得兀=T,A=-l04,&+入卜与a垂直.(II)V(ma+nb)=(m,0)+(“,“)=(?+,n)又(加a+而|c,(/7?+77)xl-(-lx/?)=0,=-2.m,假设(而+拉|2,那么二=一2.【点评】抓住坐标运算不出错,再用平行与垂直的坐标公式,关键是向量的平行与垂宜公式不混淆,属于根底题.【跟踪练习1】(2021春遵义县校级期末)平面内三向量£=(2,1),B=(-1,3),c=(-2,2).(1)求满足£=

3、的实数?,；(2)假设3+右)|+"),求实数k的值;(3)假设(2a+kc)_Lg+c),求实数k的值.【解答】解：(1)mb+nc=ni(-1,3)+/z(-2,2)=(in-2n3m+2n)=(2,1),Ai-m-2,1=2f解得祖=.3w7+2/?=124(2) 2a+kc=2(2,1)+k(-2,2)=(4-2Jl,2+2k),S+c=(-3,5).一一一一13V(2a+kc)(b+c)f,5(4-2&)一(-3)(2+2&)=0,解得我=万.(3) '：(2a+kc)l(b+c),由(2)可得：-3(4-2、)+5(2+2出)=0.,1k=一82.

4、利用坐标运算解决向量的线性运算问题有关于坐标运算的法那么如下：(1)设万=(占,乂),E=(占,%),那么值+5=(x+Z,M+K)；(2)设2二(和弘),B=(w,k),那么2-6二(为一天,弘一出)；设Ag,yJ,那么AB=OB-dA=(x2-xl,y2-yl)i设.=(x,y),4£R,那么义M=(/lx,4y)；(5)设万二(石,yj,=(&,%),那么55=(%&+乂)2)【典型例题2】如图,在A5C中,ZACB=90,且AC=5C=3,点M满足丽7=2题3(1)用心5、而向量表示向量由；(2)求屈SW.【解答】解：如图建立平面直角坐标系.由题意知：4(3,

5、0),8(0,3),.(1分)设y),由阴二2MA得:(x,y-3)=2(3-x,-y),.=2(3-y)y-3=-2yx=2j=1(4分)(1)设函=4+不砺,21-：.CM=-CA+-CB33(8分)(2)VCA7=(2,1),/.|CA7|=V22+12=>/5.(12分)【点评】建立坐标系,用向量的代数性,减少了思维含量,增加了代数运算,涉及到平面向量的根本定理.【跟踪练习2】(2021宁城县模拟)如图,在矩形中,45=应,BC=2,点E为8c的中点,点尸在边8上,假设丽而=>/1,那么通斯的值是()A.2-72B.1C.42D.2【解答】解：据题意,分别以AB、AO所在直

6、线为Hy轴,建立如下图平面直角坐标系,那么：A(0,0),B(>/2,0),石(>/11)设尸(x,2)；ABAF=(V2,0)(x,2)=V2x=>/2x=1；AF(l,2),AF=(V2,1),=(1-72,2)；/.AE-BF=-2+>/2=V2.应选：C.(1)4与B的数量积(或内积)：ab=aBcos.；(2)投影：Icose是向量B在向量.方向上的投影；(3)两向量的夹角公式：c°s0=乃=r(万二(演,M),5二区,K)/I叫心+环.收+为【典型例题3】如图,边长为1的正方形A6CQ的顶点A,O分别在x轴、),轴正半轴上)【解答】解：如图令/.4

7、.=凡由于40=1故QA=cos8,OO=sin.,jrrrjr如图ZBAx=-0,AB=l,故/=cose+cosg-e)=cose+sine,%=sin(y-)=cos.故OB=(cos£+sui仇cos.)同理可求得C(sine,cose+sin6),即OC=(suicos+sni0),OB-OC=(cos0+sin0,cos0)(sin仇cos.+sin夕)=l+sin28,历&=l+sin2.的最大值是2,应选：A.【点评】数量积问题要注意投影概念的使用,利用几何性质会使问题简单很多.【跟踪练习316.2021秋杨浦区校级月考在AA8C中,尼是边上的一个定点,满足“

8、=而,且对于边A5上任意一点尸,恒有而正之方.熊,那么0400jrjrA.B=-B.A=C.AB=ACD.AC=BC22【解答】解：设I屈1=4,那么|丽|=1,过点C作A5的垂线,垂足为,在48上任取一点尸,设线=.,如下图；那么由数量积的几何意义可得,丽.正=|丽,两卜而4+1|丽族.女二-于是丽无之冗5屈恒成立,整理得万一-4+1|而|之0恒成立,只需=a+4.=a1尸40即可,于是a=1,因此我们得到"5=2,即"是48的中点,A48C是等腰三角形,即AC=6C.应选：D.模长公式：|a.或a|=aa【典型例题4】(2021春辽宁期末)己知向量三,?,满足片=2,|

9、b=大二3,假设化-2彷«-,办=0,那么的最小值是()A.2-V3B.2+V3C.1D.2B【解答】解：根据条件,设.=(1,百),3=(3,0),设5=(%>),贝ij：(c-2a)-(c-b)=(x-2,y-2a/3)(x-2,y)=0(x-2)2+(y-/)2=3的终点在以(2,6)为圆心,石为半径的圆上,|E二|的最小值为：J(2-3)2+(V-0)2-VJ=2-VL应选：A.【点评】向量模的问题在于公式的运用,很多同学用人但最终会忘了开根号,建议一开始就是用讣后.【跟踪练习4】假设非零向量；与向量E的夹角为钝角,|亩=2,且当f=-g时,归-同取最小值向量量满足.)

10、,那么当3G+E)取最大值时,鼠工等于()A.V&B.23C.2V2D.总2【解答】解：另一；|2=|5-同=求尸一2府.方十户_,乙Gb、门(万力)一aa.当r=2时,|5-同取最小值退.%=一一沙=3,a-2a解得同=2,1B=-2,2x2xcos>=-2,cos<a,不妨设5=(-L/),方=(2,0),5=(x,y)向量满足仁-3)_1化-.),/.(c-b)(c-a)=(x-2,y)(x+l,y-43)=(x-2)(x+l)+y(y-y/3)=U-)2+(y-)2-3=o,(X_；)2+(y_*)2=3.(*)c(a+b)=(x,y)-(l,y3)=x+>/

11、3y.令f=x+.当上述直线与(*)相切时,=V3,解得2£=2±20,取f=2+2有时,UR)取最大值.,篮+V±2+2V此时联立鸟居(y李5“一2解得3+忖二仁(丁苧).2百丫(与1产+港彳我.应选：A.5.向量的极化恒等式问题向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线与“差对角线平方差的'即：a=l|AC|2-|DB|2平行四边形模式A2a<g=|AM|2-|BC|2三角形模式/4BMC这个公式将向量的加法、减法和数量积融合在一个式子中,备受命题老师的青睐,浙江省考卷从2021年开始多年考卷考查到这个知识点.【典型例题5】如

12、图,线段48长度为2,点48分别在x非负半轴和y轴非负半轴上滑动,以线段48为一边,在第一象限内作矩形ABC.,BC=1,O为坐标原点,那么方而的取值范围是.y1解：vOC=OB+BCfOD=OA+ADfBC=ADN/:.OCOb=OB+BCOA+AD:=OAOB+OA+OBBC+BC2=OA+OBBC+1而设48的中点为M,那么砺+而=2两,所以砺+砺灰=2两就=2|两|团|cos<丽,=2x3xlxcos<OM,BC>,而<OM,BC>g0,y所以瓦历【点评】极化恒等式在平行四边形和三角形中的几何意义是关键,寻找中点是突破口.【跟踪练习5在MBC中,M是6C的

13、中点,AM=3,8C=10,那么ABAC=_-16解：丽衣=丽7+丽赤+荻=与7+丽丽7-丽=丽万-加=9-25=166,向量与三角函数结合问题向量与三角内容的结合会从以三角形为载体的三角函数问题几何性质角度或数量积的形式得出关于角的一个函数问题代数性质角度.【典型例题6】向量3=cos.,sin.,B=cos2夕,sin2.,3=-1,0,d=0,1.(1)求证：aJ_(b+c)；(2)设)二二年元),当ec(o,?)时,求/(夕)的值域.【解答】解：(1)ab=coscos2+sinsin2=cos,ac=-cosO.:.a(b+c)=ab+ac=cos0-cos0=0,/.aJ_Cb+c).:.f(0)=a(b-d)=ab-ad=cos,-sinJ=&(孝cosd一sin8)=Vcos(8+?). 丘(0,.,(外界G,手).2444.局巴,JI41. cos(+)G.y2COS+G-1,1.4 /e£-i,i.【点评】此题考查了数量积运算、向量垂直与数量积的关系、两角和的