平面解析几何测试题带答案

1、1.(本小题总分值12分)：圆C：x2+y28y+12=0,直线l：ax+y+2a=0.(1)当a为何值时,直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点,且AB=2y2时,求直线l的方程.2.设椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点,点C是AB的中点,假设|AB|=242,OC的斜+,2、皿率为2一,求椭圆的方程.3.(本小题总分值12分)(2021模拟)动圆过定点F(0,2),且与定直线l：y=2相切.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)假设AB是轨迹C的动弦,且AB过F(0,2),分别以A、B为切点作轨迹C的切线,设两切线交点为Q,证实：AQXBQ4.圆(x

2、-2)2+(y-1)2=,椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的离心率为堂,假设圆与椭圆相交于A、B,32且线段AB是圆的直径,求椭圆的方程.22_m5.m是非零实数,抛物线C:y22px(p0)的焦点F在直线l:xmy0上.2(I)假设m=2,求抛物线C的方程(II)设直线l与抛物线C交于A、B两点,AA1F,BBiF的重心分别为G,H.求证：对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外.6.(本小题总分值14分)(2021东北四市模拟)O为坐标原点,点A、B分别在x轴,y轴上运动,且|AB|uuur3uuu=8,动点P满足AP=-PB,设点P的

3、轨迹为曲线C,定点为M(4,0),直线PM交曲线C于另外一5点Q.(1)求曲线C的方程；(2)求4OPQ面积的最大值.7.(文)有一个装有进出水管的容器,每单位时间进出的水量各自都是一定的,设从某时刻开始10分钟只进水、不出水,在随后的30分钟既进水又出水,得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如下图,假设40分钟后只放水不进水,求y与x的函数关系.8(理)矩形ABCD的两条对角线交于点M1,0,AB边所在直线的.方程为3x4y4=0点N-1,123在AD所在直线上.(1)求AD所在直线的方程及矩形ABCD的外接圆C1的方程；一,1(2)点E亍0,点F是圆C1上的动点,线段EF的垂直平分线交

4、FM于点P,求动点P的轨迹万程.9.直线11过点A(-1,0),且斜率为k,直线12过点B(1,0),且斜率为一其中k加,又直线11与12K交于点M.(1)求动点M的轨迹方程；1(2)假设过点N2,1的直线l交动点M的轨迹于C、D两点,且N为线段CD的中点,求直线l的方程.10.如图,在平面直角坐标系xOy中,平行于x轴且过点A(3p,2)的入射光线11被直线l:y=3x反射,反射光线12交y轴于B点,圆C过点A且与11、12都相切,求12所在直线的方程和圆C的方程.11设A(1,0,0),B(3,1,1),C(2,0,1)为oxyz的点.(1)求矢量BC与CA的夹角,求射影百BC?12、求以

5、直角坐标系中矢量a3,0,1,b2,4,3,c1,2,2为三邻边作成的平行六面体的体积.222_,_.22.13、求球面xyz2z与旋转抛物面3z2(xy)的交线在xoy坐标面上的射影.14、求两平行平面1：3x2y6z350和2：3x2y6z560间的距离；并将平面3x2y6z350化为法式方程.15、一直线通过点1,1,0,且与z轴相交,其夹角为一,求此直线的方程.422x2L二216、求准线为49且母线平行于z轴的柱面方程.z3217、求过单叶双曲面1上点6,2,8的直母线方程.1618、此题10分设矢量A2ab,Bab,其中a1,b2且ab,试求1为何值时AB；2为何值时,以A和B为邻

6、边构成的平行四边形面积为6.yz1019、此题12分设一平面垂直于平面z0,并通过从点1,1,1到直线的垂线,求此平x0面的方程.z1z1、,20(此题6分)试证实两直线li：xy,12：x1y1为异面直线.00(0,4),半1解：将圆C的方程x2+y28y+12=0配方得标准方程为x2+(y-4)2=4,那么此圆的圆心为径为2.一八|4+2a|假设直线1与圆C相切,那么有口=2.a+13解得a=-.4(2)过圆心C作CDLAB,那么根据题意和圆的性质,cd-Ta1得CD2+DA2=AC2=2：DA=；AB=啦.解得a=7,或a=一1.故所求直线方程为7xy+14=0或x-y+2=0.ax2+

7、by2=1,2解：设A(xi,y/B(x2,y)那么A、B的坐标是方程组的解.x+y1=0由ax2+by2=1,ax2+by2=1,两式相减,得a(x1+X2)(xix2)+b(y1+y2)(y1y2)=0,由于y1y2=1X1X2y1+y2a所以M=b,2ycayca,2即2xc=S,xc=b=2,所以b=,a.、一.一.一2再由方程组消去y得(a+b)x2bx+b1=0,由|AB|=(xi-X2)2+(y1-y2)2=爪2(»X2)2=12(x1+x2)24x1x2=2*,得(xi+x2)24xix2=4,即(-)24=4.a+ba+b1 2由解得a=-,b=、?,332 2-一

8、一,、-x2y故所求的椭圆的方程为刀+中=1.333解：(1)依题意,圆心白轨迹是以F(0,2)为焦点,L：y=2为准线的抛物线.由于抛物线焦点到准线距离等于4,所以圆心的轨迹是x2=8y.(2)证实：由于直线AB与x轴不垂直,设AB：y=kx+2.A(xi,yi),B(x2,y2).y=kx+2,由12V=L2可得x8kx16=0,x1+x2=8k,xx2=16.抛物线方程为y=1x2,求导得y=；x.841.1.1.111所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1=；x1,k2=4x2,k1k2=；x14x2=wx1x2所以AQ±BQ.Cab.2224解：.e=a=/-a2-=

9、,-a=2b.一一一、一.22.2因此,所求椭圆的万程为x+2y=2b,又.AB为直径,(2,1)为圆心,即(2,1)是线段AB的中点,设A(2m,1n),B(2+m,1+n),那么(2-m)2+2(1-n)2=2b2,(2+m)2+2(1+n)2=2b2,|AB|=22.2.28+2m+4+4n=4b,8m+8n=0,2mn=22b2=6+m2+2n2,2?2210得2b=16.3,故所求椭圆的方程为x2+2y2=16.(1柳为焦点R与&?在立线,上国P=44又e2.故pM所以黠州0©的方矍为丁=(H)趾处内方髭加2：的隰点,汴1嫁/上.册以Q所以龙分依C的方程为/2力.4

10、(47.),那么力力)mny、洎大R讲/-2e,>-m1«0tIHrm,.故Ja-f>0.有力仍.*.3,分创为纹依u,48t的旃配f2V/-Cf2XtiiUl制/U5%)"Tb632,i2y,2m1J一二k昆以战段面为h社的国的手片.为相网事般女九才jllI"“1-taWh-i.K；肌E11.-fflt；-i：ffJ1XWJ:j.'411；in*4；-ft.故yCcKr；H为门经的阳手卜.6解:(1)设A(a,0),uuur那么AP=(xa,y),B(0,b),p(x,y),uuuPB=(x,b-y),3xa=一x.uuur3uuu588AP

11、=-PB,-1''-a=-x,b=_y.535x3yy=g(by).又|AB|=,2+b2=8,.x-+y=1.259.曲线C的方程为人+上=125922xy(2)由(1)可知,M(4,0)为椭圆去+k=1的右焦点,259设直线PM方程为x=my+4,22xy,+T=1,由259消去x得x=my+4,22.(9m+25)y+72my81=0,1ypyQ1=,(72m)2+4x(9m2+25)X81Z29m+2590m2+19m2+25.190m21SOPQ=21OM11ypyQ|=2x9m2+25m2+1+1620ym2+1m2+2520m2+1m2+1+169202015-=

12、82'3169ym2+1'当m2+1=OPQ的面积取得最大值为152,此时直线方程为3xi77y12=0.kOA=|0=2,10'7解析当0土司0时,直线过点O(0,0),A(10,20),.此时直线方程为y=2x；当10<x90时,直线过点A(10,20),B(40,30),此进kAB=302040-10此时的直线方程为13y-20=1(x-10),3即y=1x+50-；33当x>40时,由题意知,直线的斜率就是相应放水的速度,设进水的速度为v1,放水的速度为v2,在段时是进水过程,v1=2.在AB段是既进水又放水的过程,由物理知识可知,此时的速度为v1+

13、v2,1_5.2+v2=§.v2=3.,当x>40时,k=|.3又过点B(40,30),此时的直线方程为y=-|x+290.33令y=0得,x=58,此时到C(58,0)放水完毕.OA13,综上所述：y=y=2x,0a<10:x+斗,10<x<40335290r+飞-,40<x<58.8解析(1),AB所在直线的方程为3x-4y-4=0,且AD与AB垂直,直线AD的斜率为4.3又点N在直线AD上,直线AD的方程为y-=(x+1),33即4x+3y+3=0.3x-4y-4=0由,解得点A的坐标为(0,-1).4x+3y+3=0又两条对角线交于点M,M

14、为矩形ABCD的外接圆的圆心.而|MA|=c1'502+-1-02=2-,外接圆的方程为x22+y2=7(2)由题意得,|PE|+|PM|=|PF|+|PM|=|FM|=¥,又|FM|>|EM|,、口回,、x2y2.P的轨迹是以E、M为焦点,长半轴长为&r的椭圆,设方程为+£-4a2b21(a>b>0),号,.b2=a2c2=：5'：=白4'16416故动点p的轨迹方程是x2+丝=1.5116169解析设M(x,y),.点M为11与12的交点,xr?=kx-1(k0),y2消去k得,x212,.点M的轨迹方程为2x2+y2=

15、2(xw±).(2)由(1)知M的轨迹方程为2x2+y2=2(xw1),设C(x1,y1),D(x2,y2),那么2x12+y12=22x22+y22=2一得2(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0,y1y2x1+x2即-=-2X,x1-x2y1+y2,1N2,1为CD的中点,有x1+x2=1,y1+y2=2,直线l的斜率k=2$=-1,1,直线l的方程为y-1=-x-2,整理得2x+2y3=0.10解析直线11：y=2,设11交l于点D,那么D(243,2).一1的倾斜角为30°.,12的倾斜角为60.“2=事.,反射光线12所在的直线方程为y-2

16、=/3(x-23),即、/3xy4=0.圆C与11切于点A,设C(a,b).C与11、12都相切,圆心C在过点D且与1垂直的直线上,'''b=3a+8圆心C在过点A且与11垂直的直线上,a=3y3a=3'3由得,圆C的半径r=3,b=-1故所求圆C的方程为(x-3/)2+(y+1)2=9.11、解：BC1,1,0,CA1,0,1,.2一,.1.(1) cos(BC,CA)一,(BC,CA)一；2236(2) prj-BC.2AB212、解:V(a,b,c)2.613、解:球面与旋转抛物面的交线为222xyz2z2233z2(xy)那么在xoy坐标面上的摄影为_2_22223x23y24(x2y)0oz014、解：d3；.3326-x-y-z50o.3777x1.115、解:设通过点(1,1,0)的直线万程l为由于l与z轴相交,得0,由于l与z轴交角为一,4得cos4P.2n2p2所求方程为x216、解：x17、解:单叶双曲面的两族直母线方程为w(xz)u(1ft(x342与3u(x-)w(1)v(-3423把点(6,2,8)代入上面两组方程得w:u1:2与t0,从而得4x12y3z240与4x3y3z60y20o4x3z0.218、(此题10分)解：(1)由于A2ab,Ba一_一一2所以AB(2ab)(ab)=2ab,