序列的收敛性与子序列的收敛性

1、序列的收敛性与子序列的收敛性摘要：本文研究序列的收敛性与子序列的收敛性之间的关系情况，分析和推导Bolzano-Welerstrass定理和一些结论，得出序列和子序列的收敛的几种判定方法并应用于控制收敛定理的一个重要推广，这对于我们进一步了解序列与子序列之间的关系有着一定的意义。关键词：序列；子序列；收敛；极限1引言在数学分析里，对于序列的研究主要是极限问题，但没有较系统地讨论序列的收敛性与子序列的收敛性的关系；本文主要分析序列与子序列之间的关系，从中得出一些定理和结论，这对于我们对序列收敛性判定和研究序列与子序列间的关系具有很大的帮助。2序列和子序列的定义及其相互关系2.1序列和子序列的定义

2、定义：若函数f的定义域为整个全体正整数集合N+，则称f:N+TR或f(n)nWN+为序列。因为正整数集合N+的元素可按照由大到小的顺序排列，故序列f(n)也可以写为1,a2,a3,a4,n,a,或者简单地记为4,其中an称为该序列的通项。序列可分为有界序列，无界序列，单调序列，常序列或周期序列等。从序列an中将其项抽出无穷多项来，按照它们在原来序列中的顺序排成一列：an,an,，an,又得一个新n17n2nk7的序列。为),称为原来序列的子序列。易见anj中的第k项是an中的第nk项，所以总有、Ak,事实上为本身也是Gn的一个子序列，且是一个最大的子序列(nk=k时)。2.2序列与子序列之间的

3、若干关系定理1(Bolzano-Welerstrass):若序列an有界，则必存在收敛子序列ank,若序列an无界，则必存在子序列ank,使ankT8(或ankT-8).证明：(1)不妨设an中有无限多个不同的项，否则结论显然成立.用有限覆盖定理(见注释)来证明结论.设序列an为一有界序列，则存在m,M,使m_an_Mn=1,2,下面先证明在m,M中存在一点c,使该点任一邻域内有an中的无穷多项.用反证法，若此断言不成立，则对任意awmM都存在一邻域(a-篦田+露)，露o0在此邻域内它有小中的有限项，A=(a-需且十瓦),awh,MD构成Im,M】的一开区间覆盖.由有限覆盖定理，存在有限子覆盖

4、，即存在aj1j=1,2，k),使k1m,M1a；-、a*,a；、a*jmjjk依反证假设，U(a*-6a*,a；)中至多含有小的有限项与j1jjm<a-M好2)矛盾.据以上证明，存在anw(c-1,c+1),又在1c-1,c+1中，存在一项a%使出>»,否则与c的任何邻域中有4的无穷项矛盾，同样我们可以在1c-1,c+1中找到一项an,使n3>n2A在c-1,c+1中找到一项an使333.kkk、下、4A，最终得到一个序列心为满足：(i)、熊是4的子序列(ii)1ank一C<k于是，由（i）和（ii）知，ank是an的收敛子序列.（2）另外对于无界序列4,则

5、可以利用序列无界定义，类似（1）后面一部分可以证明出存在子序列；an.nk例1：对于有界序列（-1，它存在子序列（-if收敛于1,当kT.例2:对于无界序列；n）,它的一切子序列都发散到二.以上是关于序列与其子序列在序列有界和无界的情况下进行的关系探讨，进一步对于单调有界序列分析，我们有如下定理：定理2：若%为单调有界序列，就为4的一个子序列，且有kTa,（kts）则有anTa（nT心）.证明：由于an是单调有界序列，可根据序列单调有界定理（见注释）知道，an收敛，而liman存在，现假设记为b,即m4=b,由定义，对寸©>0,3N1,n：nj使当nAN1时候，有zan-b&l

6、t;2由于Qk是Ln）的子序列，且ankTa（kT8）,故对上述s>0,3N2>0,使当nk>k>N2时，就有Zank-a一k2又取N=maxN1,N2,当k>N时，就有nk>N2,于是有：zank-b<2由ba=b-annkzz+ank-a<b-ank+anka=ank_b'+ank_a+_=s122即有a=b成立，所以liman=a成立.x例3设序列.=2+J2+J2+二十整,azJ为4的一个子序列且有a2kt2,(kTi),则有an?2(njs).3序列与子序列的三个定理定理3:序列4收敛于a的充要条件是它的任何子序列4也都收敛于同

7、一个极限a.证明：依题意，设lim%=a,改拆为%的一个子序列，于是对于任给的n,二/k/s>0,存在N,使得n>N当时就有xn-a<&,因为bn1是xn的子序列，故有nk'k,所以当k>N时，nk>N,从而有：Xnk-a<8按照序列极限定义知nm，Xn=a,即%)收敛且与4的极限相同.反之若序列凡的任一子序列都收敛，且有相同的极限a,因为4本身为自己的一个子序列，所以有limXn=a.n_：-.：定理4：序列QJ收敛的充要条件是奇子序列a2k,与偶子序列a2k都收敛，且它们的极限相等.证明：根据定理3,序列an的奇子序列a2k,与偶子序列a

8、2kL且它们的极限相等.设!ima2k=ima2k=a.根据序列极限的定义，即kk_但k1wN,V2k-1Ak1,有a2ka<z.V®>0j_尸2wN,V2kAk2，有a2k-a<®.劫=maxk1,k2).于是，Vn>N,有an-a<"即"man=a.(证毕)定理5:若序列4收敛于a的充要条件是4的任一子序列晨-中必有子序列“,使得xnkta(kts).证明：由定理3我们可以知道：若序歹I4收敛于a，则它的任何子序列xnk也都收敛于同一个极限a,由题意必要性得证.已知序列4的任一子序列xn中必有子序列5，使得XnkTa(k

9、Tg),则由定理3有Xnkta(kT6).用反证法，假设limXn¥a则必然存在/A0,对于任意自然数N,都有X二0n>0时，有Xno-a|>&0当N=1时，ni>1,使瓜a|之®0当N=r时，有ran2,使Xn2-a之劭当N时，有1>，使Xnk-a之加由此可以得到%的一个子序列Xn,它的每一项Xn都满足Xn-a之加，nknkk故&nk)不收敛于a,且Xnk中不存在收敛于a的子序列，这与已知矛盾，因此limXn=a成立。n_4序列与子序列定理的应用定理3的应用利用定理3,可以用来判定一个序列不收敛的情况.即若对一个序列4,可以找到两个

10、不可能有相同极限的子序列4和匕则有小必发散。nknk例4证明(sinn发散。证明：因下述两区间长度均大于1,故必存在自然数nk和nk满足：'3；l"nkwi2kn+,2kn+,nkw(2k+1再，(2k+2JnIL44-''“"'2-'显然叫<n2b，及n<n2c，且sinnk至匚，sinnk<0,因此，sinnJ和2sinn；是两个不可能有相同极限的子序列，这证明了sinn发散.定理5的应用应用定理5,可以判断一个序列收敛。例5(控制收敛定理的推广)设X为一随机变量，其分布函数为F(X),又设随机变量序列fn(xj

11、!满足fn(xj<g(x),n>1,g(x)dF(x)<8且fn(x)Jf(x),则有Rlimfn(xJdF(x)=Jf(x)dF(x)成立.n：RR引理1：设(fn)及f均为实值可测函数，且fn-Af,(nT8)则存在子序列(L),使fnk一丝Tf,(nT9).引理2(控制收敛定理):设X为一随机变量，其分布函数为F(x),若随机变量序列fn(x)满足以下成立：fn(x，Wg(x),n>1,g(x)dF(x)<8,且3)一事f(x),则有RlimJfn(x)dF(x)=ff(x)dF(x).(见注释)n-RR证明：由fn(x)-Jf(x)知，对fn的任一子序列fn均有fn'(x)-p)f)x.由引理1,必存在fn'的子序列fnj,使得fnk(x)aeTf(x).于是用引理2就有lim.fnkxdFx=fxdFx.kl_kRR由于子序列fn的任意性，上式说明：序列“fn(x)dRx>的任一子序列.Rf1fn(x)dF(x”均收敛于ff(x)dF(x),故由定理5知：.RRnim.fnxdFX=fxdFx.'-RR证毕.参考文献：李成章，黄玉民.数学分析（