惠州市2020届高三第二次调研考试(理数)

1、惠州市2021届高三第二次调研测试数学(理科)全卷总分值150分,时间120分钟.考前须知：1 .做题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号*学校,班级等考生信息填写在做题卡上.2 .作答选择题时,选出每个小题答案后,用2E铅笔把做题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,写在本试卷上无效口3 ,非选择题必须用黑色字迹签字笔作答,答案必须写在做题卡各题指定的位置上,写在本试卷上无效,一、选择题：此题共12小题,每题5分,共60分,在每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.L集合河一摄|lg#>0,'=父|d04,那么MnN=().A.(-2

2、,0)B,(1,2)C,(1,2D,(0,22 .设复数z满足("二IT(其中i为虚数单位),那么二().A.-iB.iC.-2iD.2i3 .邑为数列%的前门项和,邑二1一%,那么a二().3131I31A*B.C,D,16232324 .白,加为互相垂直的单位向量,假设亡二皿一讥贝(Icosv万,灯>=().a五口也旧n百A*B*CaD+22335,以下说法正确的选项是()从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样.某地气象局预报：5月9日本地降水概率为90%,结果这天没下雨,这说明天气预报并不科学.在回归分析模型中

3、,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好在回归直线方程5=0.1工+10中,当解释变量M每增加1个单位时,预报变量?增力口0个单位.A.B.C.D./3冗小6.假设cos*a=,且一1那么sin2.的值为.12322A一迪B一述U也D.巫9999yx-t7.设p:实数充,¥满足/一+y一1了M2,g:实数其y满足?y之1一次,那么p是g的条件A.必要不充分B.充分不必要C.充要D,既不充分也不必要心我国数学家陈景润在哥德巴赫猜测的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜测是“锤个大于2的偶数可以表示为两个素数的和",如40=3+37,在不超过40的素数中,随机选取2个不同的数

4、,其和等于40的概率是.1 111A*B.C*D,15172226【注:如果一个大于1的整数除了I和自身外无其他正因数,那么称这个整数为素数小9.函数/工:i的图象大致是八xInx1A.B,C.D、10.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对''相美曲线.月、鸟是一对相关曲线的焦点,尸是描圆和双曲线在第一象限的交点,当/月口工二60时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是A.苏B.y/2D.21L矩形AB=1,BC=5将&沿时角线0C进行翻折,得到三棱锥O-XBC,那么在翻折的过程中,有以下结论：三棱锥D-ARC的体积最大值为1；3三棱锥Q-ABC的外接球体

5、积不变；三棱锥.的体积最大值时,面角£一片.B的大小是60:异面直线AB与CD所成角的最大值为90°.其中正确的选项是().A,B,C,D.12.设函数/(x)-V3sin,假设存在f(x)的极值点/满足k；+(%)m那么ii+忸用附,m那么w的取值范围是().A,(8,6)U(6,+s)B.(一双4)U(4?+时C.(8,2)U(2»+oo)D.(8,1)U(1,+oo)二.填空题】此题共4小题,每题5分,共20分,其中第15题第一空3分,第二空2分.B.函数/(,)=./+1口工的图象在点(1,/(1)处的切线斜率为2,那么口的值等于.14,某工厂为了解产品的

6、生产情况,随机抽取了100个样本口假设样本数据再,天加的方差为8,那么数据2七一1,2/一1,.2再面一1的方差为y1215.16.T此时=设彳、为正数,假设上+4=1,那么一+一的最小值是椭圆+?=1(叮60)的短轴长为2,上顶点为人左顶点为R,左、右焦点分别是F*且月的面积为三叵,点P为椭圆上的任意一点,的取值范围是三.解做题：共70分,解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个考生都必须作答*第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题：共6D分“17 .本小题蹒分12分)在A/1BC中,角4民C的对边分别为d,8明口=2,卜=后、B=2A.求cosA：

7、(2)求c边的值.18 .本小题总分值12分)8(1、N+在数列为中r0|=1,%=:,珥用=1+-其中汽CM*,为常3nJX数.(1)求i的值：(2)设.二%,求数列出的通项公式.n19.1本小题总分值12分)如图,在底面为矩形的四棱锥尸一月BCD中,平面产/D_L平面口)证实：ABIPD：(2)茗PA=PD=AB"PD=9W*设.为P中点.求直线?.与平面?5c所成角的余弦值.20 .本小题总分值12分抛物线C：y2=2x的焦点为广,直线与C交于4B两点,旦与五轴交于点尸肛0,3-3L假设直线/的斜率女=且忖户|二一,求,可+8"|的值;2假设<2>0,工轴

8、上是否存在点总有假设存在,求出点坐标；假设不存在,请说明理由.21 .本小题总分值,分函数/住=.ln/+r"为常数在区间0,2内有两个极值点V3Hxfx2x<Xj.I求实数口的取值范闱；2求证：演+x,<2Ulna.二选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第一题计分,做题时请写清题号并将相应信息点涂黑.x=coscx22 .本小题湍分10分选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xQy中.同C的参数方程为<n,1a为参数,以原y=+$ino点.为极点,工轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.1求圆C的普通方程

9、及其极坐标方程：2设直线,的极坐标方程为psin.+至=2,射线.河：.=£与圆C的交点为尸36异于极点,与直线/的交点为0,求线段户0的长.23 .(本小题总分值10分)1选修4-51不等式选讲关于x的不等式|左一同+2工40的解集为工|工工一2,其中价>0.(1)求m的值；序22(2)假设正数口"b、c"满足q+b+c=m,求证：1-+>2+abc数学(理科)参考答案、选择题:题号123456789101112答案CBDABAACBACC1【解析】M=xx>l,N=x|-2<x<2,所以M门N=(1,2,应选C.2 【解析】3 【

10、解析】(1+i)z=1i,z=3=(J)一=刍=,z的共轲复数为3=i,应选B.1i(1i)(1-i)2一rrSn=1_an-1An1n22时,),两式相减,整理得2an=an,*a=,=、S=1An12An2,Ir,112lJ31所以匕是首项为一,公比为一的等比数列,二S5=-=乙,应选D.2213214.【解析】代数法：几何法:cos<b,c>=-亚应选A.25【解析】属于系统抽样,故错误；概率只说明事件发生的可能性,某次试验中不一定发生,所以并不能说明天气预报不科学,故错误；正确.应选B.丘力上一3九6.【解析】cos,口2.1=-sin-=一,sin-=一3冗JJ冗-<

11、;a<,7t,-cos、工-sin2-2sin：cos-2-122.4233,应选A.7【解析】如图:,由集合的包含关系可知选A.40=3+37=11+29=17+23,共3组数,所以其和等于340的概率为：2C121一,应选C.229.【解析】解法一：定义域为xw(0,1)U(1,),故排除A；1f(100)A0,排除C;f()>0,100排除D；应选B.xW(1,8),g(x)>0,g(x)单调1解法一：设g(x)=xTnx1,g(1)=0,g(x)=1-一,当x增,当xe(0,1),g(x)<0,g(x)单调减,那么g(x)至g(1)=0.故f(x)=1的定义域为

12、xW(0,1)U(1,),且f(x)在xW(0,1)上单调增,xW(1,+无)xTnx-1上单调减,f(x)A0,应选B.解法三：f(x)=定义域为xw(0,1)U(1,+w),故排除A；x-lnx-11当xt0时,(xlnx1卜+oc,.>0,排除D；x-Inx-1,一1当xt+s时,xlnx1>0,.a0,排除C；应选B.x-Inx-1cc10 .【解析】设椭圆、双曲线离心率分别为e=,%=,设PF1=x,PF2=y,a1a2xy=2alx=a1a2由椭圆、双曲线定义得1,二i,在APFF2中,由余弦定理得x-y=2a2y=a1-a2222-22,20xy-2c12a1a2-4

13、ccos.F1PF2=cos60=,22-,.&=3a2.2xy22a1弋2pcc,2c22c二w.又ee2=1=1ra1a2=c,二3a2=c,二e2=43.应选A.aa2a2.一,111 .【解析】Vd_abc=&S&bch,当平面ADC_1_平面ABC时,二梭锥DABC的图取大,此31131时体积取大值为VDqBC=Mm1mJ3m,X=,错误；设AC的中点为O,那么由3224RtAABC,RtAADC知,OA=OB=OC=OD,所以.为三棱锥DABC外接球的球心,其半径为1AC=1,所以外接球体积为f冗,即三棱锥D-ABC的外接球体积不变,正确；23由的解析过程知

14、,三棱锥D-ABC的体积最大值时,平面ADC1平面ABC,所以二面角DACB的大小是90°,错误；当MDC沿对角线AC进行翻折到使点D与点B的距离为J2,即BD=J2时,在ABCD中,BC2=BD2+CD2,所以CD_LBD,又CDJZD,翻折后此垂直关系没有变,所以CD_L平面ABD,所以CD_LAB,即异面直线AB与CD所成角的最大值为900,正确.应选C.x2k112 .【解析】当=kn+(k=Z),即x=m时,f(x)取得极值±v3.m22存在x.使片十f(x0)子cm2成立,亦即存在k使(2k1X2k+3)m2+12<0成立,因此,只需(2k-1J(2k+3

15、)最小即可,即k=0或k=-1时不等式成立即可,所以Tm2+12<0,2-即m>4,所以m=(-°°,-2(2,+毛).应选C.二.填空题：此题共4小题,每题5分,共20分,其中第15题第一空3分,第二空2分.13 .114.3215.4(3分),1(2分)16.1,4】【16题注】求出的范围区间端点开闭错误不给分.11与成：1M十M4、九|1£九£4)(集合元素一般形式用题目以外的字母表示)不扣分.PF1PF2写成以下四种形式不给分：x|1<x<4,y|1MyM4,a|1<a<4,b|1<b<4h.T21

16、113.【解析】*f(x)=3ax+,二f(1)=3a+1=2,a=一.x314 .【解析】样本数据xi,x2,X100的方差为8,所以数据2x11,2x21,2xi00_1的方差为228=32.15 .【解析】1+2=口+21X+2)=2+且+12+2区2=4,当且仅当上_=名即xyxy22xy1.2xy2xy1,一,y=2x,x=一时等号成立216.【解析】由得2b=2,故b=1RAB的面积为2一.321,2-v32a-cb2,.二a-c=2-出,又a2-c2,2.=(a-cXa+c)=b=1,1+1|PFj+|PF2|_2a4PFj|pf2|_'|PF11|PF2f-IPF11(

17、4-IPF11)-PF12+4PF1一LL211又2-V3WPF1<2+73,-1<-PF1+4PF1<4,-1<+<4.PF1PF21,41.r-11即的取值范围为PF1PF2三.解做题：共70分,解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.本小题总分值12分【解析】1由正弦定理a=b.1分【注】无写出此步骤,本得分点不给分.sinAsinB得,分2sinAsin2A即_=垣分sinA2sinAcosA5.由于sinA=0,可解得cosA=.势42解法一：由余弦定理a2=b2+

18、c2-2bccosA.5分【注】无写出此步骤,本得分点不给分.得22=(V5)+c2-25c,4整理得2c2-5c2=0.6分1斛得c=2或c=例2当c=2=a时,得A=C,又由于B=2A,故A=C=_,B=一,.纷_42所以b=J2a,与矛盾,所以c=2不满足要求.10分-1当c=一时,经检验符合要求112一1综上知：c=2【注】无检验过程最多只能得8分.解法二：由1知cosA=,且sin2A+cos2A=1,4分12又0<A<n所以sinA=4.5分【注】无写出此步骤,本得分点不给分.分.6又B=2A,所以cosB=cos2A=cos2A-sin2A5113.吩由余弦定理b2=

19、a2c2-2accosB16168.9分【注】无写出此步骤,本得分点不给分.OO33i.一得5=2,一nM&n.n2+c22M2cxi整理得2c2_3c_2=0即2c_1'jc+2=0,又由于c>01综上知：c=.218 .本小题总分值12分.11分【注】无写出此步骤,本得分点不给分.12一公,一：1、,n+1m2【解析】1将n=1代入an+=1+an,得a2=2a1+8由a1一1,a2,3,、,r,12由an+=1十一an<nJr1即bn1-bn=而.3n1阳an1an1十二n-,信=n3n1n3当n=1时,b1=电1二1一,【nJ八九bn-hfbn-bn6-0二

20、1|>-.HI3n43T11+c2-133101311=n-43所以bn=32223由于b1=1也适合上式,所以bn3122父.19 .(本小题总分值12分)【解析】(1)依题意,面PAD1WABCD,AB_LAD2分【注】此步骤缺少ABaHABCD,面PAD面ABCD=AD,任意一个条件,本得分点不给分.AB_L面PAD3分又PDu面PAD4分二AB_LPD5分(2)解法一：向量法在PAD中,取AD中点O,；PA=PDPO_LAD二PO_L面ABCD6分以O为坐标原点,分别以OA为x轴,过点O且平行于AB的直线为y轴,OP所在的直线为z轴,建立如图空间直角坐标系,设PA=2.：1APD

21、=90".AD=2.2二P0,0,蚯B五,2,0,C一五,2,0"72,0,0,q',1,I22J,前=应2,点,前=2应,0,0,AQ,-1,-I22J设面PBC法向量为n=(x,y,z)设直线AQ与平面PBC所成角为q,那么sinq=cos(AQ,n10分nPB=*2x2y-2zI.TLnBC=-2,2x=0二0-,解得n=0,1j2一A.pi-由于q?01cosq=肝-sin2q=J1-311E,连结BE,EQ分【注】文字说0f1分,作圜1分.所以直线AQ与平面PBC所成角的余弦值为(2)解法二：几何法过P作POLAD交于点O,那么.为AD中点,过A作PO的平

22、行线,过P作AD的平行线,交点为过A作AH,BE交于点H,连结QH,连结BO,取中点M,连结QM,AM四边形AOPE为矩形,所以PE上面ABE,所以PEXAH,又BEAH,所以AH±WPBE,所以/AQH为线AQ与面PBC所成的角.8分令AO=a,那么AE=a,AB=近a,BE=73a,由同一个三角形面积相等可得AH=a,QAM为直角三角形,由勾股定理可得AQ=a,9分所以sin/AQH=®_=2/6,分10AQ3又由于/AQH为锐角,所以cos/AQH=当,分1所以直线AQ与平面PBC所成角的余弦值为叵储320.本小题总分值12分【解析】1解法依题意,设1:v=32(x-

23、a)联立C:y2=2x,整理得9x2(18a+8)x+9a2=01分,2分由D>0,得a>-P二LU1c又FP=&-,0拂2AF+BF=x1+x2+1=4453+1=解法二：依题意,设1:y=9i(x-a)29且'FP'=-3,a=2或a=-1(舍去)44所以式可化为9x-44x+36=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),贝Ux1+x2=5922联立C:y=2x,整理得3y-4y-6a=02D=16+72a>0,即a>-391l"3分5-4-34-2+yyvy1yvi?i?又FP=|1-3,0且FP=-,a=2或a=-1(舍去)4

24、所以式可化为3y2/、2AF+BF=x1+x2+1="+"+1=("+,2)-y1y2+1=一6分229(2)当直线l斜率不存在时,由对称性知,存在点M满足OMA?OMB7分假设直线l存在斜率,设为k(k#0)那么1:y=k(x-a),联立C:y2=2x整理得ky2-2y-2ka=02一2y172=1-,D=4+8ka>0,k8分y1y2=-2aViV2设M(m,0)由OMA?0乂3易知女乂人二-卜乂8即+1-=09分x1-mx2-m22y1x2y2?xm(y+y2)=0即y1?江y2?-ym(y1+y2)10分22-4y+12y1?(Yiy2)=m(y+y

25、2)'；yi+y2=.,:m=yy2=y=a所以M(-a,0)11分综上所述,当a>0时,x轴上存在点M(-a,0),总有OMA?OMB.12分21.(本小题总分值12分)x_1x_1、【解析】(1)解法一：由f(x)=ahnx+21,可得f'(x)=(2二/二1分xxx由题意乂W(0,2)那么20,记h(x)=ex-ax(x>0),h(x)=ex-ax由题意,知为/2是丫=/*)在(0,2)上的两个零点.当aM0时,=h'(x)>0,那么h(x)在(0,2)上递增,h(x)至多有一个零点,不合题意；2分当a>0时,由=h(x)=0,得x=1+l

26、na3分e(i)假设1+lna<2且h(2)>0,即1<a<时,h(x)在0,1+lna让递减,1+lna,2递增;2那么h(x)min=h(1+lna)=-alna<0,1八那么h(2)0,h(0)=0,e从而h(x)在(0,1+lna网(1+lna,2)上各有一个零点.e所以1<ac时,y=h(x)在(0,2)上存在两个零点.4分2(ii)假设1+lna>2,即a>e时,h(x)在(0,2)上递减,h(x)至多一个零点,舍去.5分(iii)假设1+lna<2且h(2)E0,即WEace时,此时h(x)在(0,1+lna)上有一个零点,2

27、而在(1+lna,2)上没有零点,舍去.xAe一,2,可得f(X)=x_x_1(2-x)(e-ax)综上可得,实数a的取值范围是h,jj.(1)解法二：由f(x)=a.lnx+-x由题意xW(0,2)那么>0,由题意知x1,x2是y=ex,-ax,xa0在(0,2)上的两个零点.即:为4e一ax1x9-1e2-ax2x14Xo1eexx2又令g(x)=x4e那么g(x)=g(xz),从而只需直线y=a与函数g(x)=xe一的图象在内(Q2)有两个交点.x由g(x)=(x-1)exX,得g(x)=-在区间内x(0,1惮调递减,在区间(1,2)内单调递增,所以g(x)mine=g(1)=1,

28、g(x)<g(2)=一,2且x10,exJe1=Lg(x)-：eLLA-一什E口ee)所以实数a的取值范围是|1,-,l2J(2)解法一：令H(x)=h(x)_h(2+2lnax),0<x<1+lna2那么H(x)=h(x)h(22lna-x)=exJ-2a_2a-2a=0xe所以H(x)在(0,1+lna)递增,从而H(x)<H(1+lna)=0,即h(x)-h(2+2lna-x)<0h(x)-h(2+2lna-x1)<0分1112而h(x1)=h(x2),且h(x)在(1+lna,2邂增；j.h(x2)<h(2+2lnax1)=x2<2+2l

29、nax1,x1+x2<2(1+lna),命题得证.ax=e,一Ilnalnx1二"1,斛法一：由(1)有彳1nW=2lna+lnx1x2=%+X2ax2=ex2lnalnx2=X2-11i那么求证式x1+x2<2(1+lna1nxix2<0u0<x1x2<1x2<一.x1下证式成立:由ax-ex二0xd得a=二xx1eX-12xx1人e一'令g(x)=,那么g(x)=g(x2),g(x六x10分Xi1勿知0cxi<1<x2,从而式X2<一U,、1一1g(“)<g-g(x)<g.x1)八一1又令G(x)=g(x)

30、g.-,0<x<1,x那么即证G(x)<0又0<x<1成立.对G(x成导,得G(x)=xe-xex、几XJ1,设h(x)=e-xex,那么h(x)=eJX1八x1._xe>0,11r,11即g(K)<g<xi2%"2-2x2124ax1力二e,ax2-*二e-e从而hx:h1=0,Gx);0.,.G(x)<G(1)=0.即0<x<1,从而式成立.:x1+x2<2(1+lna),命题得证.X1-4解法三：由(1)有产.得ax?=eX2X24X11e2e1将a=代入a2X1X2=eX12中,X2-X12(x2-Xi)x-x1xee-2exx2N2exx22得x1x2=2-=x2_x2,2221)11x212ae-eexix22.2令t=x2X,为证实一L<1,那么只需证：当t>0时,-一<1uet+e-t-2-t2>0.aee-2tt2设m(t)=e+e2t,9分tttt