扇形内接矩形面积最大值的一个结论的探索和证明

1、扇形内接矩形面积最大值的一个结论的探索和证明人教A版必修4第141页例4是一个扇形的内接矩形面积的最值问题，现在我把这个问题的结论做一些推广，并得到一些具有一般意义的结论.1.如图1,半径为R的圆2S=ABBC2Rn二2Fto限22R内接矩形ABCD面积s0,n其中ZACB=9,显然ew（0,±）,2日亡（0,江），所以当28=2Smax=2R2,此时，矩形ABCD是正方形.2.如图2,半径为R的半圆内接矩形ABCD面积S=ABBC=Rn9g2FcoEs=2Rsi®,2M中ZAOBee（Q,-1）,20（Q,JI）,所以当2日,即日=：时，此时矩形ABCD是由两个全等的正方

2、形拼成的.3.半径为R的扇形MON的圆心角NMON=-2矩形ABCD的面积分两种情况讨论:12(1)如图3,S=AB召O=Rsing豕cos9=R2sin2e,其中2TTTTTT/AOB=8,显然9W(0,二)，28w(0,n),当2日=之，即e=时,224Q-Id2Smax12R，(2)此时A为弧MN的中点.图3其中如图4,S=ABC=(2Rsin0)g(Rcos6-Rsin6),P为弧MN的中S=R2(2sincos二-2sin2u)=R2sin2?-(1cos2u)2一二二二3二=RV2sin(26+-)-1,而28+-=(-,一),所以当444421_2-日=一时,Smax2=(V2-

3、1)R<-R=Smax1.821JT+4而n,=一时，即2讨论:综合（1）、（2）可知，所求面积的最大值为Smax=1R22,此时A,P,B为弧MN的四等分点.4.半径为R的扇形MON的圆心角NMON=E,其内接矩形ABCD的面积分两种情况3(1)如图5,S=ABC=Rsine(Rcos8冗日三(02).而S=ABC=Rsin6(Rcose，3Rsinu)=R2(sin2+1cos2日-)=-R2sin(2+)-,2+e(2),3222362666Rsin6),其中/AOB=日,显然所以当28+土=2时,62即日=£时，Smax1=RR266(2)如图6,S=ABC=(2Rsi

4、n日)(Rcos873Rsin6)=R22sin(2日+-)73,其中3ZPOB=e,6(0,-)6.2_,P为弧MN的中点，28+毛（一，）,333所以当日=2时，Smax2=(2向Ri12而-y-(23)7.3-12147-144>0,所以Smax1ASmax2综合（1）、（2）可知，所求面积的最大值为SmaxR26AMD图6NB5.我们讨论一般情况，如图5,半径为R的扇形MON的圆心角NMON=口,口W(0:,22其内接矩形ABCD的面积S=ABC=Rsin0(Rcos6-sn6)=R2(sin6cos6-sin°)tan:tan:_21一.1一.1=R2sin21-(1

5、-cos2u)二22tan;12=2R(12二门sin21sin二三ncos：cos214r：i2_.1一.1：(sin21cos2i)tangtan工sin工cos(21一:)sin;sin工12二门sin2isin，3cos工cos21sin工R2(1、一,，注意到tan;ji0；?；：,一2,所以当28=口，即Ca日=一时，211)=Rsi二ntan2si2-1Cos21二二一R二2：sin。2：2srn22in2212二一Ran2ie-os2在另一种情况，即如图6中，设/MON=a,aW(0W2,可认为它含有两个图5的结构，直接利用上面的结论可以知道，此时矩形ABCD最大值为Smax2=2(1R2tan|)2=R2tan.我们考察s,s-=max1=max21_2'工22z12,-RtanRtan=R(tantan一)二R(atan4,2：-1-tan4a-tan)4人x久令tan=t4atan42«1-tan4a-tan一4占一tt3一,而0<a,1-t2na一,所以0<,JI8所以0<tan<1,4所以mA0,所以Smax1-Smax2>0,&ax1>Smax2,所以半径为R的扇形MON的圆心角/MON=口,口w(0,",其内接矩形ABCD的面积最大值为-R2tan-22