第21节条件概率全公式与

1、第2. 1 节 条件概率全概率公式与贝叶斯公式一、条件概率二、全概率公式三、贝叶斯公式一、条件概率1、引例：当拥有关于试验结果的额外信息，B已经发生时，这时需要比如已知一个A发生的可能性大小重新作出度对另一量，先看一个例子。，假设B=“掷出奇数例如掷一个点”，A=“掷出的点数为5”，在已知B发生的前提下，A发生的概率为1/3，所求的概率称B 发生的条件下A 发生的条件为在概率。记为P(A|B)。一般地说,P(A)与P(A|B)未必相同.我们来看上述例子，1 ¹ 1 = P( A | B).P(A)=63让我们在古典概率的模式下来分析一般的情况：设一试验有N个等可能结果，A、B分别包含

2、M1，M 2 个结果，它们有 M12个是公共AIB所包含的试验的结果数。若的，这就是已知B已发生，则我们的考虑由起先的N个可能结果局限在现在的M 2，其中只有 M12个试验结果使A发生，故一个合理的条件概率定义应把P（A|B）取为M 12 ，但M2M12 P ( A I B ) P ( B )M N=12MM22N下一页定义2. 1. 1 设(W, F, P ) 是一个概率空间, B Î F2,且 P(B) > 0,则对任意的A Î FP( A | B) = P( AB), 记P(B)B 发生的条件下事件 A发生的称P( A |)为在条件概率.3. 性质(1) 非负性

3、: P( A B) ³ 0;( 2)规范性 P(W | B) = 1,同时P(Æ | B) = 0(3) 可加可列性: 设 A1 , A2 , L, 是两两不相容的事件, 则有Pæö¥¥UB ÷ = å P( AiAB).çiè i =1øi =1(4) P(A1 U A2B) = P(A1 B) + P(A2B) - P(A1A2B);(5) P( A B) = 1 - P( A B).4.乘法公式设 P( A) > 0, 则有P( AB) = P( A)P(B A).,且 P

4、( AB) > 0, 则有设 A, B,C 为P( ABC ) = P( A)P(B A)P(C | AB).推广设 A1, A2 ,L, An 为 n 个且 P( A1 A2 L An-1 ) > 0, 则有P( A1 A2 L An ) = P( A1 )P( A2 | A1 )LP( An | A1 A2 L An-1 ), n ? 2,某种动物由出生算起活20岁以上的概率为例0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是多少?设 B 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的; A 表解示“ 能活 25 岁以上”的,P( A

5、 B) = P( AB) .则有P(B)因为 P(B) = 0.8, P( A) = 0.4,P( AB) = P(B),P( AB )= 0.4 = 1 .所以 P( A B) =P( B)0.82波利亚罐模型例：罐中有b只黑球r只红球，每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入c只与所取的那只球同色的球，再摸第二次，这样下去共摸n= n - n1出现次，问前面的n1 次出现黑球，后面的 n2红球的概率是多少？解 设 Ai (i = 1, 2,L, n1"第 i 次取到黑球"为Aj ( j = n1 + 1, n1 + 2,L, n"第 j次取到红球&q

6、uot;为因此所求概率为P( A1 A2 L An ) = P( A1 )P( A2 | A1 )LP( An | A1 A2 L An-1 )= b× b + c× b + 2c×L×b + (n1 - 1)cb + rb + r + cb + r + 2cb + r + (n1 - 1)c r×r + c×L×r + (n2 - 1)cb + r + n1cb + r + (n1 + 1)cb + r + (n - 1)c此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.当c=0时，对应有放回模型，当c=-1时，对应不放回模型

7、，此模型是一般摸球模型例 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解3.200二、全概率公式1. 样本空间的分割设W为试验E的样本空间, A1 , A2 ,L , An L为定义E的一组, 若i ¹ j, i, j = 1, 2,L , n，L;Ai Aj= Æ,(1)(2)A1 È A2 ÈL È An ÈL = W,则称A1 , A2 ,L , An，L为样本空间W的一

8、个分割.2. 全概率公式( W , F , P ) 为一概率定理（全概率公式）：设空间，An 为F中两两不相容个），使得对一切n有 P(An) >0且列（有限或无限UAn= WB Î Fn,有则对一切P ( B ) = å P ( An ) P ( B An )nB = BW = B I ( A1 U A2 UL An UL)= BA1 U BA2 ULU BAn UL.证明= Æ Þ (BAi )(BAj ) = Æ由 Ai AjÞ P(B) = P(BA1 ) + P(BA2 ) +L+ P(BAn ) +LÞ P

9、(B) = P( A1 )P(B | A1 ) + P( A2 )P(B | A2 ) +L+ P( An )P(B | An ) +L化整为零各个击破图示说明复杂全概率公式的主要用处在于它可以将一个的概率计算问题,分解为若干个简单的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.,已知其中由一厂生例有一批同一型号的产的占 30% , 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占20%, 又知这三个厂的次品率分别为2% , 1%,1%,问从这批中任取一件是次品的概率是多少?解0.013.B 为“任取一件为次品”,Ai 为"任取一件为 i 厂的设", i = 1,2,3.Ai Aj

10、 = Æ,i, j = 1,2,3.A1 + A2 + A3 = W中各打碎一支，若每批10例送检的两批灯管在支，而第一批中有1支次品，第二批有两支次品，现在从剩下的灯管中任取一支，问抽得次品的概率是多3少？20例 袋中有r个红球与b个黑球。每次从袋中任摸1Rn球并连同s个同色球一起放回。以表示第n 次摸到的是红球，试证：rP(Rn ) = r + b证：我们对摸球次数n作归纳法。n为1时，结论显然成立。假设（n-1）时假设结论成立，求P(Rn )，我们以第一次取球的可能结果R1R1与=第一次取出黑球作为W 的一个分割，用全概率公式可得三、贝叶斯公式定理：设(W, F , P ) 为

11、一概率空间, Ai为 F 中两两不相容列（有限或无UA i=W>P ( A i )0限个），且，iB Î F，并且P(B)>0,有则对任意P( Ai )P(B Ai )B) =P(Aå P( A )P(B Ai)jjj证明B) = P(B | Ai )P( Ai )P( AiP(B)P( Ai )P(B | Ai )=å P( Ai )P(B | Ai )i =1i = 1, 2,L , n,L .例9某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的有以下的数据:提供元件的份额0.150.800.05元件制造厂123设这三家工厂的无区别的

12、标志.次品率0.020.010.03在仓库中是均匀混合的,且(1)在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率;(2) 在仓库中随机地取一只元件,若已知取到的是次品,为分析此次品出自何厂, 需求出此次品出由三家工厂生产的概率分别是多少.试求这些概率.Ai (i = 1,2,3)解设 B 表示"取到的是一只次品",表示"所取到的是由第 i 家工厂提供的".A1, A2 , A3 是样本空间 W的一个划分,则且P( A1) = 0.15,P( A2 ) = 0.80,P( A3 ) = 0.05,P(B A1) = 0.02,P(B A2 ) = 0.01,P

13、(B A3 ) = 0.03.(1) 由全概率公式得P(B) = P( A1)P(B A1 ) + P( A2 )P(B A2 ) + P( A3 )P(B A3 )= 0.0125.(2) 由贝叶斯公式得= 0.02 ? 0.15P ( A1 ) P ( B A1 )= 0.24.B ) =P ( A10.0125P ( B )B) = P(B A2 )P( A2 ) = 0.64,P( A2P(B)B) = P(B A3 )P( A3 ) = 0.12.P( A3P(B)故这只次品来自第2 家工厂的可能性最大.对以往数据分析结果表 明,当调整得发生某开动例良好时,的为98%,而当种故障时,其为55%.每天早上时,调整良好的概率为95%.试求已知某日调整得良好的早上第一件概率是多少 ?是时 ,解设 B 为A 为"".调整良好&quo