复变函数课件第二章第二节第三节

1、例例解解? )( , , , , ),()( 2222解析解析在复平面内处处在复平面内处处取何值时取何值时问常数问常数设设zfdcbaydxycxibyaxyxzf ,2ydxyv ,2ayxxu ,2byaxyu ,2dycxxv , , xvyuyvxu 欲使欲使 ayx2,2ydx ,2byax dycx2. 2 , 1 , 1 , 2 dcba所求所求复变函数的初等函数v在数学分析中我们所熟悉的初等函数，如：v指数函数：exv三角函数：sin x cos x tan x cot xv对数函数：lnxv幂函数：xnv反三角函数：arcsinx arccosxv v在复变函数中，也存在着复

2、变量的初等函数，不过这些函数与数学分析中的初等函数已经不甚相同，它们是实分析中初等函数在复数域中的自然推广，经过推广之后的初等函数，往往会获得一些新的性质v例如：v指数函数ez是有周期的，而复三角函数sin z及cos z 不再是有界函数初初等等函函数数32.yieyezfxxsincos)(1212( ),( )( ) , ( )()()xf xefxf xf xf xf xx 一、指数函数 )(sincos)sin()cos()(zfyieyeyexiyexzfxxxxIm( )0( )xzzxf ze特别地,当即时) )( () )sin(sin() )cos(cos() )coscos

3、sinsinsinsincoscos( (sinsinsinsincoscoscoscos) )sinsincoscos)()(sinsincoscos( () )( () )( (2 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 22 21 11 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 22 21 11 1z zz zf fe ey yy yieiey yy ye ey yy ye ey yy ye ei iy yy ye ey yy ye ey yieiey ye ey yieiey ye

4、ez zf fz zf fz zz zx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx x 1( )cossin(cossin)( )xxxfzeyieyeyiyzExponentialf unction、 定 义称 为 的 指 数 函 数记 作( )(cossin)exp( )(cossin)zxxf zweeyiyzeyiy类似一元实函数，记指数函数为或yiye，iyzxzekyeArgeeiyzzxzsincos0)Re(0,2)(,|变为欧拉公式时即当注函数形式：函数形式：iyxzeew（）（）,sincosyiyeexiyxy,cos)Re

5、(yeexzyeexzsin)Im(（）（）,|xzee模的值域模的值域0 xe（）（）yekyeArgzz)arg(,2)(（）（）返回指数函数的定义等价于关系式指数函数的定义等价于关系式: )(,2)(Arg,|为任何整数其中kkyeeezxz)sin(cosyiyeexz . exp , 的符号的符号只是代替只是代替没有幂的意义没有幂的意义注意注意zez性质.22(1),2zzk ieeTi周期性。与实指数函数的区别之一 221212121,eee,eeezzzzzzzzlimzzzee即 无乘幂的意义，且不存在，与实指数函数的区别之二3()zzdweedz（ ）解析性全平面处处解析且i

6、 ii iz zz zz zz ze ee ee ee e2 22 21 1) )( (，未必成立，如，未必成立，如) )( (但但2 21 12 21 1 例例1 );Re()3(;)2(;)1( , 122zzzieeeiyxz 求求设设解解)sin(cos yiyeeexiyxz 因为因为 .cos)Re( , yeeeexzxz 实部实部所以其模所以其模zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yixe 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyx

7、xz 例例2 解解求出下列复数的辐角主值求出下列复数的辐角主值:).20()5(;)4(;)3(;)2(;)1(4343322 iiiiiieeeeee )sin(cos 的辐角的辐角因为因为yiyeeexiyxz )(2Arg为整数为整数kkyez .,(- arg 内的一个辐角内的一个辐角为区间为区间其辐角主值其辐角主值 ze)1( ,21Arg2 kei; 1arg2 ie)2( ,23Arg32 kei; 3arg32 ie ,24Arg43 kei;24arg43 ie ,24Arg43 kei;24arg43 ie iiee )5(;)3(43ie ;)4(43ie )sin(co

8、ssincos ii )sin(sin)cos(cos i2sin2cos22sin2sin2 i 2cos2sin2sin2 i 2sin2cos2sin2 i ,20 因为因为, 02sin . 的三角表示式的三角表示式上式就是复数上式就是复数 iiee )( Arg iiee 所以所以,22k ,时时当当 )(arg iiee ,2 ,时时当当 )(arg iiee .22 例例3 的周期的周期求函数求函数. )( 5zezf 解解,2ikez 的周期是的周期是5)(zezf ikze 25510ikze 的周期是的周期是故函数故函数.10 )( 5ikezfz ),10(ikzf 3k

9、 ie（）kkik)1(sincos二、对数函数(指数函数的反函数)1. 定义定义.ArglnLn , )( )0( zizzwzfwzzew 记为记为称为对数函数称为对数函数的函数的函数满足方程满足方程 .2 , )( , Arg的整数倍的整数倍并且每两值相差并且每两值相差也是多值函数也是多值函数所以对数函数所以对数函数为多值函数为多值函数由于由于izfwz 二、对数函数二、对数函数1 1、定义：满足、定义：满足wez 的函数的函数)(zfw 称为对数函数。称为对数函数。 Lnzw 2 2、函数形式：、函数形式：Lnzw kiz2ln iArgzz|ln因为：因为：,ireivuwwez w

10、ez ivueivuee|,|zreu|ln zu ivieeArgzkzkv2arg2)2(arg|lnkizLnzwkiz2ln 下一页,arg Arg ArglnLn zzzizz取主值取主值中中如果将如果将 . Ln ln Ln 的主值的主值称为称为，记为记为为一单值函数，为一单值函数，那末那末zzz.arglnlnzizz 其余各值为其余各值为), 2, 1(2lnLn kikzz. Ln , , 的一个分支的一个分支称为称为上式确定一个单值函数上式确定一个单值函数对于每一个固定的对于每一个固定的zk特殊地特殊地, .,lnln Ln , 0 是实变数对数函数是实变数对数函数的主值的

11、主值时时当当xzzxz 例例4 解解 . )1(Ln , 2Ln 以及与它们相应的主值以及与它们相应的主值求求 ,22ln2Ln ik 因为因为 ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以)1(Arg1ln)1(Ln i因为因为 )()12(为整数为整数kik . 1)Ln( i 的主值就是的主值就是所以所以注意注意: 在实变函数中在实变函数中, 负数无对数负数无对数, 而复变数对而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广数函数是实变数对数函数的拓广.例例5解解. 031 iez解方程解方程,31 iez 因为因为)31(Ln iz 所以所以 kii2331ln ki232ln), 2, 1,

12、 0( k例例6解解).3(Ln)3();33(Ln)2();32(1)Ln : ii求下列各式的值求下列各式的值)32(1)Lni )32(Arg32lniii .223arctan13ln21 ki), 2, 1, 0( k.6232ln ki), 2, 1, 0( k)3(Ln)3( )3(Arg3ln i.)12(3lnik ), 2, 1, 0( k)33(Ln)2(i )33(Arg33lniii ki233arctan32lnv例7i ii ii ie ei ie ei ie e2 21 1) )a ar rg g( (l ln n) )l ln n( ( i ii ie ei

13、ie ee ei ii ii i 0 0) )arg(arg(lnln) )ln(ln(2. 性质性质,LnLn)(Ln)1(2121zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz 且且 , ,) )解析解析( (处处可导处处可导 , ,和其它各分支处处连续和其它各分支处处连续 主值支主值支 , ,的复平面内的复平面内) )包括原点包括原点( (在除去负实轴在除去负实轴 ) )3 3( (.1)Ln(,1)(lnzzzz 1121 2122lnlnln , ln()lnln zzzz zzzz但未必成立乘幂乘幂ba2、乘幂、乘幂的形式：的形式：)2(lnkiabbLnabeea（a为不等于为不

14、等于0的复数，的复数，b为一个复数）。为一个复数）。1、定义：乘幂、定义：乘幂bLnabea ba一般而言一般而言是多值函数，但有以下特殊情况是多值函数，但有以下特殊情况3、结论：、结论：下一页特殊情况特殊情况b为整实数为整实数（2）nLnanbeaa（单值）（单值）aaaeeeLnaLnaLna abbealn（单值）（单值）) 1(2ln)(lnkibabikabbeaaa因为因为下一页上一页nb （1）（正整数）（正整数）（3） （n为整数）为整数）nb1Lnannea11)2argsin2arg(cos|1nkainkaanna) 1, 2 , 1 , 0(nk)2(arg|ln1ka

15、ianenkanea2arg1|下一页上一页（4）b为一个分数为一个分数（p，q为互值整数，为互值整数，q0）qpb bLnabea)2(arg|lnkaiaqpe)2(argsin)2(argcos|lnkiaqpkiaqpeaqp) 1,.,2 , 1 , 0(qkba有有q个值（个值（q0）（当）（当qk 时，重复）。时，重复）。所以所以返回上一页幂幂函函数数三三、定定义义、1为为定定义义幂幂函函数数及及对对任任意意复复数数zw，z 000zz仅在 为正实数的情形,补充规定:当时有n( n| |arg( ) 2)L zl z izk iwzee推导多多值值性性讨讨论论、2是单值函数为正整

16、数时当nz，zn) 1 (也是单值函数时当nz，zn1)2(时时，为为互互质质的的整整数数，和和当当)nnm(nm)(04个分支多值n(ln2)(5)()(0,)zkizezk当为无理数或虚数 非实复数 时，为整数无穷多个多值 arg( ) 2/|mimzknnzzenkzinnezz，zn2)arg(1|1)3(时当个分支多值n3. 幂函数的解析性幂函数的解析性 , )1(的的在复平面内是单值解析在复平面内是单值解析幂函数幂函数nz .)(1 nnnzz . , )2(1个个分分支支具具有有是是多多值值函函数数幂幂函函数数nzn它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面各个分支在除去原点和

17、负实轴的复平面内是解析的内是解析的, nnzz1 zneLn1.111 nzn它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的内是解析的, , ,是一个多值函数是一个多值函数) )两种情况外两种情况外 1 1 与与 除去除去 ( ( 幂函数幂函数 (3)(3)n nn nb bz zw wb b .)(1 bbbzz ., 是无穷多值的是无穷多值的为无理数或负数时为无理数或负数时当当b计算举例：吗？的任何次幂均为 113ln123cos(23)sin(23)kieekik1ln12(2)n22iik ikiL ieee31ii5 n( 3)5(ln32)

18、53 cos 5(21)sin 5(21) Lik ieekik (1 )ln 2(2)ln 22(2ln 2)(1 ) n(1 )44424112cos(ln2)sin(ln2)4242iikkiki Likeeeei 5) 3(ii1)1 (四、三角函数和双曲函数1. 三角函数的定义三角函数的定义,sincos yiyeiy 因为因为,sincos yiyeiy 将两式相加与相减将两式相加与相减, 得得,2cosiyiyeey .2sinieeyiyiy 现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况数取复值的情况.,2cos izizeez

19、 我们定义余弦函数为我们定义余弦函数为.2sin ieeziziz正弦函数为.cos , sin ,是偶函数是偶函数是奇函数是奇函数容易证明容易证明zz.cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz .2 为周期的为周期的是以是以正弦函数和余弦函数都正弦函数和余弦函数都 v零点 2 21 1的的零零点点是是c co os s的的零零点点是是s si in n n nz zz zn nz zz z例例9 9 . 5sin)( 的周期的周期求求zzf 解解,sin)2sin( zz 因为因为,5sin)25sin( zz 所以所以 525sin)25

20、sin( zz又因为又因为,5sin525sin zz 所以所以 .52 5sin)( 的周期是的周期是故故zzf有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式 . 1cossin,sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()1(22212121212121zzzzzzzzzzzzzz .sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()2(yixyixyixyixyixyix正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.sin)(cos,cos)(sinzzzz , 时时为纯虚数为

21、纯虚数当当yiz,cosh2cosyeeyiyy .sinh2sinyiieeyiyy .sinhcoscoshsin)sin(,sinhsincoshcos)cos()3(yxiyxyixyxiyxyix .cos ,sin , yiyiy时时当当( (注意：这是与实变函数完全不同的，无注意：这是与实变函数完全不同的，无界性界性) )其他复变数三角函数的定义其他复变数三角函数的定义,cossintan zzz 正切函数正切函数,sincoscot zzz 余切函数余切函数,cos1sec zz 正割函数正割函数.sin1csc zz 余割函数余割函数 . .解析性解析性 , ,奇偶性奇偶性

22、, ,周期性周期性 我们可以讨论它们的我们可以讨论它们的 , ,类似类似 coscos 和和 sinsin 与与z zz z2. 双曲函数的定义双曲函数的定义,2cosh zzeez 为为我们定义双曲余弦函数我们定义双曲余弦函数,2sinh zzeez 双曲正弦函数为双曲正弦函数为. .- -tanhtanh 双曲正切函数为双曲正切函数为z zz zz zz ze ee ee ee ez z . , 的定义完全一致的定义完全一致函数函数它与高等数学中的双曲它与高等数学中的双曲时时为实数为实数当当xz.cosh , sinh ,是偶函数是偶函数是奇函数是奇函数容易证明容易证明zz它们的导数分别为

23、它们的导数分别为,cosh)(sinhzz 处处解析，并有如下公式处处解析，并有如下公式: .sincoshcossinh)sinh(,sinsinhcoscosh)cosh(yxiyxyixyxiyxyix它们都是以它们都是以 为周期的周期函数为周期的周期函数,i 2. .sinhsinh) )(cosh(coshz zz z 1zshzchishz)izsin(,zsini)iz(shchz)izcos(,zcos)iz(ch)3(22例例1313解解. 1tanh z解方程解方程z zz zz zz ze ee ee ee ez z - -t ta an nh h,1122 zzee,1

24、122 zzee , ,2ivuez 并令并令两边平方两边平方, 0 ) 1() 1(2222uvuvu即)Re( 2zeu 因为因为,)Im(2cos)Re(2zez 0)Im(2cos0 zu,24)Im( kz. 24)Im( 1tanh zkzz的所有复数的所有复数的解是的解是故故 ., 2, 1, 0 k其中其中计算举例3(1); (2) cos5zez试求下列函数的周期；2233112(6)3333(1)(2)6zziwiwzzizizeeTieeeeeei解又,故的周期为(2)cos(2 )coscos(52 )cos522cos(52 )cos5()cos555wwzzzzzT

25、又故 21 sin 1 i ; 2 sinz求下列函数值21)1sin() 1 ()1()1(iiiieeii 1cos)(1sin)(21)1sin1(cos) 1sin1(cos2111eeieeieieixshyixchyeeieeizxiyxiyizizcossin)(21)(21sin) 2(2222222222222|sin |sincossin() (cossin)sinzxch yxsh yx ch y sh yxx sh yx sh y五、反三角函数和反双曲函数1. 反三角函数的定义反三角函数的定义.cosArc , ,cos zwzwwz 记作记作的反余弦函数的反余弦函数为为那么称那么称设设,2cos iwiweewz 由由, 012 2 iwiwzee得得, 1 2 zzeiw方程的根为方程的根为两端取对数得两端取对数得).1Ln(cosArc2 zziz 同样可以定义反正弦函数和反正切函数同样可以定义反正弦函数和反正切函