浅谈数学与数学教育的关系

1、 浅谈数学与数学教育的关系 在21世纪的今天，教育水平已经是一个国家是否强大的最重要依据。在现今中国，包括国观，有许许多多的人在羡慕西方国家，它们科技水平为什么那么高，生活条件为什么那么好，城市为什么那么美丽，国力为什么那么强盛。 在这里一切接源自教育水平。 正是因为有良好教育的国民，他们才能在城市，人文，法制，经济领先全世界，在西方国家，大多数人都有大学甚至更高的学历。德国为什么两次大战都战败又奇迹般的恢复。正是有了几千万受过良好教育的国民，知识才是第一生产力。我们的农村和城市为什么差距那么大，因为农民知识水平都太低了，他们不知道如何改善生活.而数学研究的正是现实世界中的数量关系和空间形式，

2、它作为一门基础科学，既广泛应用于技术工程中，又是研究许多理论科学必不可少的工具。 如果数学是一种创造性活动，那么驱使人们去追求它的动力是什么呢?研究数学最明显的、重要的动力是为了解决因社会需要而直接提出的问题。商业和金融事务、航海、历法的计算、桥梁、水坝、教堂和宫殿的建造、作战武器和工事的设计，以及许多其他的人类需要，数学能对这些问题给出最完满的解决。在我们这个工程时代，数学被当作普遍工具这一事实更是毋庸置疑。数学的另外一个基本作用(的确，这一点在现代特别突出)，那就是提供自然现象的合理结构。数学的概念、方法和结论是物理学的基础。这些学科的成就大小取决于它们与数学结合的程度。数学已经给互不关联

3、的事实的干枯骨架注入了生命，使其成了有联系的有机体，并且还将一系列彼此脱节的观察研究纳入科学的实体之中。 数学发展的这幅素描，尽管简略，但却表明数学的生命力正是根植于养育她的文明的社会生活之中。事实上，数学一直是文明和文化的重要组成部分，因此许多历史学家通过数学这面镜子，了解了古代其他主要文化的特征。以古典时期的古希腊文化为例，它大约从公元前600年延续到公元前300年。由于古希腊数学家强调严密的推理以及由此得出的结论，因此他们所关心的并不是这些成果的实用性，而是教育人们去进行抽象的推理，和激发人们对理想与美的追求。数学是一门特色非常鲜明的学科，是塑造学生良好个性品质的重要载体。数学教学不仅要

4、启迪学生的智慧而且要激发学生探索知识的热情和毅力，尤其需要培养创新精神和坚韧不拔的意志。在数学教学中，教师要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学学习中所表现出来的情感与态度，帮助他们有意识地塑造自我和树立自信。教师在教学中既要创设成功的机会，让学生享受成功的喜悦，又要选择具体的探索情境或典型的解题过程，故意设置适度的困难培养学生克服困难的意志和信心，从而为学生将来创业磨炼意志树立信心做好准备。在现代社会竞争日益加剧的形势下，通过数学教学培养学生的创造意识和创造能力就显得更为重要和迫切。从思维规律看数学教学比一般学科的教学对于培养创造能力更为有利。形象思维善于提出解决问题的各种尝试。抽象思

5、维则善于按一定的逻辑程序有条理地解决问题大脑两半球通过联结而相互作用，两半球功能合理互补可以使人的创造性智能得到充分的发挥。所以，开发和培养学生良好的非智力因素，对于学生理解和掌握知识起着调节、补偿、催化，对于学生良好个性品质的和谐发展起着促进作用。只有调动学生的多种感官协同活动让学生在积极参与教学的过程中受到科学思维训练，充分发挥学生的主体作用，才能真正达到全面优化学生素质和养成良好个性的目标。 数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说；满足了人类探索宇宙

6、的好奇心和对美妙音乐的冥想；甚至可能有时以难以察觉到的方式但无可置疑地影响着现代历史的进程。在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，使得人类的思维得以运用到最完善的程度，也正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。1、 数学语言是精确的，它是如此精确，以致常常使那些不习惯于它特有形式的人觉得莫名其妙。如果一个数学家说：“今天我没看见一个人”，那么他的意思可能是，他要么一个人也没看见，要么他看见了许多人。一般人则可能简单地认为他一个人也没看见。

7、数学的这种精确性，在一个还没有认识到它对于精密思维的重要性的人看来，似乎显得过于呆板，过于拘泥于形式。然而任何精密的思维和精确的语言都是不可分割的。 数学的另一个重要特征是它的符号语言。如同音乐利用符号来代表和传播声音一样，数学也用符号表示数量关系和空间形式。与日常讲话用的语言不同，日常语言是习俗的产物，也是社会和政治运动的产物，而数学语言则是慎重的、有意的而且经常是精心设计的，凭借数学语言的严密性和简洁性，数学家们就可以表达和研究数学思想，这些思想如果用普通语言表达出来，就会显得冗长不堪。这种简洁性有助于思维的效率。 数学语言中使用的符号十分重要，它们能区别日常语言中经常引起混乱的意义。尽管

8、有些意义上的混乱，人们也不会因此产生什么误会。但是，数学的精确性它与科学和哲学的精确性一样，要求数学领域的研究者们更加谨慎。数学还有一个更加典型的特征与我们的论述密切相关。数学是一棵富有生命力的树，它随着文明的兴衰而荣枯。 在人类文明中，数学如果脱离了丰富的文化基础，就会简化成一系列的演算技巧，形象被完全歪曲了。作为一位美国当代数学家、数学史家、数学教育家克莱因说，“在西方文明中，数学一直是一种主要的文化力量”。克莱因还指出：“数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法，摧毁和建构了诸多宗教教义，为政治学说和经济理论提供了依据，塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格，创立了逻辑学，而且为我们

9、必须回答的人和宇宙的基本问题提供了最好的答案”一句话，数学既是一门科学，也是一门艺术，作为一种宝贵的、无可比拟的人类成就，“数学在使人赏心悦目和提供审美价值方面，至少可与其他任何一种文化门类媲美”。凝练数学文化本质，提升数学文化力量是克莱因一生对数学教育所做的最主要的贡献，而西方文化中的数学正是他的第一本著作，也是他除了古今数学思想之外最著名的著作，可以入选世界名著之列。其实人们对数学的认识陷入迷茫、数学教育误入歧途的不只是我们国家，西方社会也一样。早在克莱因之前，美国著名数学家、数学教育家柯朗在其名著什么是数学的序言中就指出：“数学的教学，逐渐流于无意义的单纯演算习题的训练，固然，这可以发展

10、形式演算的能力，但却无助于对数学的真正理解，无助于提高思考的能力。数学的研究，有过度专门化和过度抽象化的倾向，忽视了应用以及与其他领域之间的联系。” 对数学教育的研究,让我们不得不关注的两个问题是,数学观和数学教育观,当然两者是密切联系的。首先,数学教育必须反映数学内在的规律性,其次,数学教育毕竟是为数学的发展和数学的应用服务的。完整的数学观对数学教育的引导作用是显而易见的,反过来,先进的数学教育观也为数学的发展和应用指明了正确的(即符合社会进步和发展主流的)方向。人们对数学的看法其实是各不相同的，可谓是仁者见仁，智者见智，但从数学整个发展历史过程中，各个国家、不同地区在各个社会历史发展时期表

11、现出来的对数学的看法，亦有几种较为典型的代表，我们把这些观点加以汇总称之为数学观，一般有数学的哲学观，数学的科学观，数学的艺术观和数学的文化观等。对它们的分析有助于对数学教育的全面认识。同样，数学教育观也是变化发展的，也存在着时代性和地域性的差别，因此我们应该从数学观的角度，通过对重要数学教育历史事件的考察，对数学教育观作一个历史意义上的解释。 数学教育的发展史表明,数学教育改革的焦点一直是在数学课程的改革上。但这只是一个表面现象，在其背后存在着数学教育观的转变这条主线，历史上每一次重大的数学教育的改革运动无不诱导于数学教育观念的变革。数学教育并不是一种幻想，乃是实践。数学教育是在经济的、社会

12、的、政治的制约下的一种文化形式，自然具有历史性。就欧洲而言，其在奴隶社会制的古代希腊，支配阶级鄙视实践的计算术，和直觉的实践几何；重视他们所谓“和行动没有关系的真科学”就是数论和“抽象的”几何学，岂不是太偏重于论理性！在中世纪封建社会，教育为个人所支配，数学教育成为宗教的奴隶。事实上，此时数学教育，偏重于低级的实用性与生产和科学脱离的宗教上的实用性。文艺复兴而后，工商业加速度的进展；生产力之发展，促成自然科学的发达，因此发生机械论的唯物论。所以十七、十八世纪的数学教育，自然强调实用性。经过法兰西大革命，巴黎成为欧洲文化的中心，因时代的要求，“一般陶冶”的话头，逐渐流行；中等教育不能专为牧师（神

13、学）和律师（法学）的预备教育，重视所谓“一般陶冶”。其特色是将数学和近世语添入教科之中。数学占了普遍教育的一科，是从十八世纪开始的，所以严格的说：数学教育萌芽于十八世纪。但是，数学教授的内容，大部分是“理论数学”；应用方面的数学，意识的为所排斥。究其实际，他的内容也是限于希腊时代至十七世纪间的数学；这个状态一直延长到十九世纪之末。十九世纪的数学，虽然非常进展，然而它并没有促成数学教育的改进，因此，十九世纪的数学教育，和近代的科学（十九世纪的科学），社会的生活，几乎没有关系。相反地，因入学考试的准则和其他种种考试的准则，数学难题的教授，和脱离实际的理论，成了数学教材的核心。事实上，当时所采用的几

14、何学课本，就是尤克立特<1>几何原本最初数章；代数学和三角法，是将专门的材料，压缩而成的，太古太多，脱离实际需要。当时的物理化学等自然科学等教材，已能推陈出新；然而保守的数学，不改旧态。到了十九世纪之末，近代科学的急速发达和各国产业的进展，经济的、社会的、思想的，给人们的生活状态以重大的变动。 数学教育与社会发展 新时代对高素质人才的需求。时代的发展需要更多的高素质人才他们除了要学好丰富的理论知识之外还必须学以致用，这样才能推动时代的发展。我们学数学的目的是为了应用它去解决实际问题。因此，增强数学应用意识培养学生数学应用能力，也是数学教学的任务之一。这就要求广大教师在教学时，应着眼

15、于学生的生活经验和实践经验，开启学生的视野，拓宽学生学习的空间，最大限度地挖掘学生的潜能从而使学生体验数学与日常生活的密切联系，培养学生从周围情境中发现数学问题，运用所学知识解决实际问题的能力，发展学生的应用意识。总结和展望处这个大时代，要过有意义的生活，做有意义的工作，必先具有理解自然和洞察社会的能力。所以必须养成对于这种能力有效果的“思想和行动的习惯”，这就是教育。数学教育呢？学了数学，要使能够分析和理解这种思想和行动的习惯上所不可缺的“数量与空间的关系”。不但如是，理解和分析数量与空间的关系，也是数学的特征，所以是数学特有的任务。数学教育的目标既然在此，数学教科首先要综合和统一下列（甲）

16、，（乙）两方面：（甲）数学是物质支配及社会组织的一种手段；（乙）数学具有特殊的观念和方法。（丙）顺应学生的心理，分配教材，指导学生学习。但是，我国过去的数学教育呢？第一：教材全部是陈述的十八世纪以前的，把近代数学，置之度外，以（乙）来看，是太古了。第二：内容太偏重论理性，忽视学生的心理过程；是不合于（丙）。第三：对于理解近代科学和社会生活，太少力量；这是没有硕到（甲）。无怪乎中学生的90%以上，认为数学是干燥无味的，最不容易学习的。这种教育，当然是不会有成绩的。到了今日，上述种种缺点，还未能十分清算。特别，上面所示的数字90%仍未能减少，恐怕光是以“简化为精简”的改造政策，不能解决这个问题。“

17、草案”根本没有硕到“精”的一字，“简化”也似乎缺乏原则性，然则应该如何精简？（一）代数计算，是一种极便利的机械的技术。但是中等教育决无人人都做成代数计算熟练工人的要求，所以一切繁难的，非实质的计算；缺少真实性的问题都应该除去。三角法也应该如此处理。（二）学习几何，应该从直观几何入门，大概是没有疑问的。然则如何处理论证几何学呢？几何学具有完整的体系，是论理的组成的，他有其他学科所不能及的美观和价值。但是，全部几何学教科书，往往充满着定理，命题，难题等等；除了少数的学生而外，大多数学生不能愉快接受。这是应该简化，应该想出办法来简化。笔者以为假如将公理的条数适宜的增多，一定可以免除冗长的毛病；将有些

18、定理（普通教科书中的定理）改为公理，学者自负的专门家（几何学）未必以为然，但是教育上是有意义的，有好处的。假如又把普通几何教科书中的难题全部除去，学生学习的困难，一定可以减少。这样的简化，对于几何教育的目的，仍未有所损失；因为简化了几何学，不但仍保留着论理的精神，并且空间的基本事实，仍得一一了解之故。几何学全体的结构，既然已能理解，这方面的教育目的，不能不说是已经达到。对于有志深造的学生，要明白几何学的完全论理系统的时候，有了这个基础，也是事半功倍的。由于（一）和（二）的两原则，将教材简化，中学数学一定可以减少20%到30%。然则用什么东西补充呢？（三）微分积分的概念，是可以平易的直观的说明的（44）。中学生应该使他们理解速度与加速度的关系，二次函数的变化率，（简单）曲线形的面积的求法等等，从这些事项，微分和积分的概念，可以油然而生。添加了一点微积分的概念和计算法，便可应用到近代自然科学上去，使数学和产业技术有密切连系。（四）添加社会经济方面的数学，使学生对于社会认识有帮助。例如统计法的一般统计的量的平均、标准偏差、歪度、相关系数、由实验结果作成的实验式就是这种材料。精