旧课件习题课

1、助教：朱向明电子工程系2015年5月22日主要内容一、数字滤波器的设计二、z变换及离散时间系统的z域分析三、实验电子工程系模拟滤波器的逼近巴特沃思（Butterworth）滤波器1| H ( jW) |2 =1+ ( W )2NaWc（1）最大平坦性：在W= 0 点，它的前 2N -1阶导数都为零（2）频响曲线单调下降特性（3）截止频率（3dB带宽）：W= W 时，| H ( jW) |2 = 1ca2（4）随着N值增大，频带边缘下降更陡峭电子工程系模拟滤波器的逼近系统函数 ：Ha (s) 表达式11| H ( jW) |2|= H (s)H (-s) =aW= saass1+ (1+ (-1

2、) (2 NN2 N)jjWcWc极点为：= ì+1(N为奇数)(N为偶数)( sk)2 Ní-1Wîcìj ( kp )NW e, k = 1, 2, 3,., 2N, k = 1, 2, 3,., 2N(N为奇数)ïsk =cí(2k -1)p2 NïjW e(N为偶数)îcN=3电子工程系模拟滤波器的逼近| H ( jW) |2|= H (s)H (-s)aW= sjaaHa (s)，取左半平面极点为导出稳定系统函数1sH (s' ) =s'归一化aNWcÕ(s'k =- s

3、' )kj ( 2p ) 3j ( 3p ) 3j ( 4p ) 3s'= e, s' = es'= e23411H (s' ) =N=3j ( 2p ) 3j ( 3p ) 3j ( 4p ) 3a(s' )3 + 2(s' )2 + 2s' +1(s' - e)(s' - e1)(s' - e)s = W s'H (s) =ca(W s)3 + 2(W s)2 + 2W s +1ccc电子工程系模拟滤波器的逼近1| H ( jW) |2 =例：给定模拟滤波器技术指标：1+ ( W )2NaWc0

4、 £ W£ 2p ´104 rad / s起伏：-1dB通带内W³ 2p ´104 rad / s阻带衰减：£ -15dBHa (s)求实现阶数 N，截止角频率 W ，和表达式ì- 1 201ï| Ha ( jW p ) |=ï= 1010-12p ´10lg( )1+ (NïWïÞ N =10-1= 3.443cí2 ´ 2p ´1041ï| H ( jW ) |=-2 lg()= 1020ïïï

5、;î2p ´104as2 ´ 2p ´1041+ ()2 NWc电子工程系模拟滤波器的逼近N = 4代入表达式得- 15201p ´1.304 ´10 rad / s| H ( jW ) |= 10ÞW= 24asc2 ´ 2p ´104)2´41+ (Wc1(s' ) =H查表得a(s' )4 + 2.6131(s' )3 + 3.4142(s' )2 + 2.6131s' +1s代入=s'Wc4.506 ´1019Ha (s) = s

6、4+ 2.14 ´105 s3 + 2.292 ´1010 s2 +1.437 ´1015 s + 4.506 ´1019电子工程系无限冲激响应（IIR）滤波器利用模拟滤波器原型，由s域表达式变换到z域冲激不变法：把模拟滤波器的冲激响应等间隔抽样h(n) = ha (nT ) = ha (t) |NH (s) = åAkNåÞ h (t) =A es t k11as - skakk =1k =1ÞNs - sk1- e-1s T= å Ak eu(n)zh(n) = ha (t) |s nTkkk =1&

7、#165;H (z) = ån=0Nz- n åk =1NAkåA eu(n) =s nTkk1- ez-1s T kk =1电子工程系IIR滤波器H (z)与 Ha (s)关系¥¥¥L å h (t)d (å=å h(n)z-n) =- nsT= H (z) |h (nt)e|aasTsTz =ez =en=-¥n=0n=0j 2p nt T2p¥¥¥11TLha (t) å dn=-¥) = Lha (t)å eå Ha

8、(s + jn=-¥ =n)TTn=-¥H (s + j 2p n)¥= 1åH (z)| z =esTaTTn=-¥H ( j w + j 2p n)¥= 1Tåa n=-¥H (e jw )| z =esTTT9电子工程系IIR滤波器O 冲激不变法实现的数字滤波器有混叠O应该选择模拟滤波器频响在ws内衰减到足够小2O 只能实现低通，带通O 不能用于高通、带阻解决方法:“双线性法”第三版P23310电子工程系有限冲激响应（FIR）滤波器窗函数法：寻找一个因果的 h(n) ，在频域均方差误差最小的意义下逼近hd (

9、n)hd (n) 截断取其有限项 h(n) 即可可以证明：将无限长的h(n) = hd (n)RN (n)ìïe- jwa ,| w |£ wH (e jw ) = H(w)e- jwa= íc以理想低通为例， ddï0,w <| w |< pîc(n) = sinwc (n - a )线性相位条件h(n) = h(N -1- n)hdp (n - a )偶对称h(n) = hd (n)RN (n)h(n) = -h(N -1- n) 奇对称电子工程系FIR滤波器窗函数：（1） 矩形窗：w(n) = RN (n)（2） 三

10、角窗：(0 £ n £ N -1)ì2nw(n) = ï N -12£ n £ N -1)íN -12nï2 -(ïîN -12（3）汉宁窗（Hanning）（升余弦窗）w(n) = RN (n)电子工程系FIR滤波器窗函数：（3）汉宁窗（Hanning）（升余弦窗）w(n) = 1 1- cos( 2p n )(0 £ n £ N -1)N -12（4）汉明窗（Hamming）（改进升余弦窗）w(n) = 0.54 - 0.46 cos( 2p n )(0 £ n

11、 £ N -1)N -1（5）布莱克曼窗（Blackman）（二阶升余弦窗）w(n) = 0.42 - 0.5 cos( 2p n ) + 0.08 cos( 4p n ) (0 £ n £ N -1)N -1N -1电子工程系FIR滤波器窗函数：电子工程系FIR滤波器窗函数特性比较：电子工程系FIR滤波器例：用窗函数发设计线性相位数字低通滤波器0 £ w £ 0.3p-1dB通带内起伏：0.5p £ w £ p£ -50dB阻带衰减：= 0.3p + 0.5p2近似取理想低通滤波器的截止频率为w= 0.4pc=

12、sin0.4p (n - a )hdp (n - a )阻带衰减小于 -50dB ，查表选择汉明窗，过渡带宽度Dw = 0.5p - 0.3p = 0.2p = 3.3 2p Þ N = 33N电子工程系FIR滤波器= sin0.4p (n - a )N = 33hdp (n - a )由线性相位条件a = N -1 = 162汉明窗w(n) = 0.54 - 0.46 cos( 2p n )(0 £ n £ N -1)N -1h(n) = h (n)w(n) = sin0.4p (n -16)0.54 - 0.46 cos( 2p n ) p (n -16)d1

13、6电子工程系习题一某模拟滤波器结构与参数（1） 用冲激不变法求其响应的IIR（无限冲激响应）数字滤波器的系统函数𝑯𝑯(𝒛𝒛), 采样间隔T=1；（2） 试画出该IIR滤波器的结构图；：+vi (t)+vo (t)L = 1HR =1W-图8（3）粗略画出IIR滤波器内的幅频响应；（4）对无限冲激响应h( n) 加一矩形窗函数，即截去冲激响应值小于样值响应最大值10%的样值，则为有限冲激响应（FIR）。据此，画出对应的FIR数字滤波器结构图。18电子工程系习题一（1）首先运用s域模型求得系统函数H(S)如下：+vo (t)+vi (

14、t)V (s) = s × L + R V (s)L = 1, R = 1L = 1HioRR =1WV (s)R1oH(s) =-s × L + Rs +1Vi (s) 1Þ1运用冲激响应不变法：1- eskT z-1s - skH (z) =1=1, T = 1 1- e-T z-11- e-1z-1其中零点为z = 0，极点为 z = e-119电子工程系习题一（2）IIR滤波器的结构图：H (z) =1=1, T = 1 1- e-T z-11- e-1z-1+x ( n )y ( n )å+ 1（3） H (e) =jw,1- e-1e- jw

15、=1=1H (e jw )( 1- e-1 cos(w) )2 + ( e-1 sin(w) )21- e-1e- jw10电子工程系 11-e -1 11+e -1oH (e jw )=11- 2e-1 cos(w) + e-2p2pwe - 1z - 1习题一¥（4） H (z) =1= å(ez)- n-11- (ez)n=0= 1+ 1 z-1 +11+z-2z-3.ee2e3h(n) = d (n) + 1 d (n -1) + 1 d (n - 2) + 1 d (n - 3).e对应因为e2e3» 0.049. 11 » 0.366 1&#

16、187; 0.134ee2 1e3所以 h(n) = d (n) +d (n -1) + 1 d (n - 2)eFIR滤波器为右图所示e2x(n) 1Z 1Z1 1e2e+1+åy(n)21电子工程系主要内容一、数字滤波器的设计二、z变换及离散时间系统的z域分析三、实验电子工程系傅里叶-拉斯-z变换傅里叶变换¥òw) =f (t)e- jwtdtF (-¥拉斯变换引入衰减因子，因果信号e-s t¥¥ò0ò0F (w) =f (t)e-ste- jwtdt =f (t)e-(s + jw )t dt1s=s + j

17、w¥ÞF (s) = ò0f (t)edt- stz变换均匀冲激抽样后取拉氏变换¥¥)e-stdt = å x(nT )e-snT¥åò0X (s) =x(nT )dsn=0n=0¥¥z =esTT =1Þ X (z) = å x(nT )z-n = å x(n)z-nn=0n=0电子工程系收敛域傅里叶变换绝对可积¥ò-¥ |拉f (t)| dt <¥ 斯变换s = s + jw, f (t)e-st收敛，存在

18、因果序列eatu(t) Þ s > as > s 0z变换绝对可和因果序列¥å | x(n)z-n |<¥ n=-¥| z |> Ranu(n) Þ| z |> a电子工程系典型信号序列变换d (t) d (n)冲激函数样值序列Fd (t) = 1, Ld (t) = 1, Zd (n) = 1阶跃函数Fu(t) = pd (w) +阶跃序列u(t) u(n)1, Lu(t) = 1 , Zu(n) =1jw1- z-1s单边指数信号指数序列e-atu(t) e-anu(n)1a + jw11Fe-atu

19、(t) =, Le-atu(t) =, Zu(n) =s + a11- e- a z-11®1-eskT z-1jw ®sF Þ Ls-skÞZ电子工程系典型性质时移- jwt- st- mF f (t - t0 ) = F (w)e0 , L( f (t - t0 )u(t - t0 ) = F (s)e0 , Zx(n - m) = X (z)z尺度变换w1= 1asF f (at) =F ()(a > 0)aF (), L( f (at)u(at)a| a |时域卷积F f1 (t) * f2 (t) = F1 (w)F2 (w), L f1

20、 (t) * f2 (t) = F1 (s)F2 (s), Zx1 (n) * x2 (n) = X1 (z) X 2 (z)频域微分F- jtf (t) = dF (w) , L(-tf (t)u(t) = dF (s) , Z-nx(n) = dX (z)wsz电子工程系习题二某离散LTI系统，样值响应h(n)：其中k为整数，a，b，c均为实数，h(n) 满足下列条件1）H (e jw)为h(n) 的傅立叶变换，H(ejw)ejw为实偶函数；2）对所有的n，x(n) = (-1)n Þ y(n) = 03）对所有的n，x(n) =(1)nu(n) Þ y(2) = 92

21、2输入x(n)如图9(b) ，画出输出y( n) 的波形。27电子工程系习题二bH(z) = az-(k-1) +bz-k+cz-(k+1)h(n+1)aa- jwnjwh(n - n ) ¾¾® H (e)ez00h(n +1) ¾z¾® H (e jw )e jwn-101h(n +1) 为实偶函数,H (z) = a + bz-1 + az-2x(n) = (-1)n Þ y(n) = 0故a=c, k=1= h(0) + h(1)z-1 + h(2)z-2¥¥y(n) = å h(k )

22、x(n - k ) = å h(k )(-1)(n-k )k =-¥k =-¥¥= (-1)n å h(k )(-1)-k = (-1)n (a - b + a)k =-¥a - b + a = 02a = b28电子工程系习题二x(n) =(1)nu(n) Þ y(2) = 922¥åy(n) =x(k )h(n - k ) Þ y(2) = x(0)h(2) + x(1)h(1) + x(2)h(0)k =-¥y(2) = 1 a + 1 b + 1 a = 9 a = 92b =

23、 44c = 242a = 2H (z) = 2 + 4z-1 + 2z-2 , X (z) = z-1 - 2z-2 + 2z-3Y (z) = H (z) X (z) = (2 + 4z-1 + 2z-2 )( z-1 - 2z-2= 2z-1 - 2z-3 + 4z-4 + 4z-544+ 2z-3 ) 20123 45 6y(n) = 2d (n -1) - 2d (n - 3) + 4d (n - 4) + 4d (n - 5)-229电子工程系主要内容一、数字滤波器的设计二、z变换及离散时间系统的z域分析三、实验电子工程系实验练习练习一：请利用偶对称周期方波信号验证“吉布斯现象”。

24、（提示：1、方波幅度𝐸𝐸 = 1，周期𝑇𝑇 = 1;2、吉布斯现象详见3.2节。）傅里叶级数（一）周期全波余弦T=0.01;w=200*pi;N=10;t=linspace(-T/2,T/2);dt=T/99; f=abs(cos(w*t);subplot(2,1,1); plot(t,f,'m'),grid on; for k=0:Na(k+1)=trapz(f.*cos(k*w*t)*dt/T*2; b(k+1)=trapz(f.*sin(k*w*t)*dt/T*2; A(k+1)=sqrt(a(k+1).2+

25、b(k+1).2);end subplot(2,1,2),stem(0:N,A(1)/2,A(2:end),'m'),grid on实验练习注意1.所需验证的9% 的幅度差是叠加后波形的起伏相对于方波幅度而言；2.求叠加后波形最大中max 函数； 值用3.对于其他波形的傅里叶级数展开，可以利中的int 函数。用拓展验证周角波的“吉布斯现象”。实验练习练习二：某数字通信系统输入序列为：10110010， 请画出该序列经过滚降系数𝛼𝛼 = 0.5的升余弦滤波器后的时域波形。（提示：该升余弦滤波器频域表达式如下）实验练习升余弦滤波器频域表示：相应的时域表示：实验练习不同滚降系数所对应的时域波形：0.60.50.40.30.20.10-0.1-0.2-3-2-10123 t/Ta=0.5a=0a=1实验练习时域波形：1.510.50-0.5-1-1.5-4-2024681012实验练习注意1.利用ifourier函数作逆傅里叶变换时对应的频域波形应该同时包括正频率和负频率；滤波器通过时域卷积实现，不要手动相加；符号函数中不要引入多个变量，时域只使用t，频域只使用w，