小学数学运算经典题解

1、数学运算经典题解1】 剪绳子问题：例一：【息戎注：对折三次这条绳子就变成 2八3段，有7个拐点，对折n次就有2An段，拐点 有25-1个注意是对折，与平均折三次有本质区别】解析：切一刀变成25+1份，以后每多切一刀就增加 2An份，所以切了 6刀，就变成 2八3*6+仁49.因此针对【对折剪绳子问题】得到公式如下：对折n次，均匀剪了 m刀，共变成2An*m+1份，其中有25-1份【看拐点的个数】的长度是其他绳子长度的两倍。例二： 【变形题】将一根绳子连续对折三次，然后每隔一定长度剪一刀，共剪 6 刀。问这样操作后，剪成两种长度的绳子，较短的绳子比拟长的绳子多多少根？解析：一共剪成 49短，拐点

2、有 7个，因此有 7个长度是另一种长度两倍， 49-7*2=35例三：一根铁丝长2 0 0 0厘米，剪二种规格的小段，36厘米和19厘米的，不能有 剩余，问最少剪几次最多剪？【息戎解析】：200036=55.20200019=105 .5我们发现： 36n+19m=2000 n 和 m 都是整数。 从上面两个式子我们可以得到： 36 乘 以n小于55的数加上20是19的倍数。因为【余数的积】等于【积的余数】 17n+20是19可以看成【 19=17+2】的倍数 .n=10 符合条件的还有 29 48 【10 +19的倍数】 所以： 45+200019=45+20=65 . 最少要切成 65段需

3、要 64刀2】 不定值问题：例一：小明用 5天时间看完了一本 200页的故事书 .第二天看的页数比第一天多，第 三天看的页数是第一、二两天看的页数之和，第四天看的页数是第二、三两天看的页数 之和，第五天看的页数是第三、 四两天看的页数之和 .那么，小明第五天至少看了多少页 .？ 解析：设小明第一天看了 a页，第二天看了 b页，那么前五天看的页数依次为：a， b， a+b， a+2b，2a+3b.上面各个数的和是 200，得到5a+7b=200.因为5a与200都是5的倍数，所以b是5的倍数.因为 b>a ，所以上式只有两组解 ：b=20，a=12; b=25，a=5.将这两组解分别代入2

4、a+3b，得到第五天至少看了 84页.例二：国2007-51学校举办一次中国象棋比赛，有 10名同学参加，比赛采用单循环 赛制，每名同学都要与其他 9名同学比赛一局。比赛规那么，每局棋胜者得 2分，负者得 0 分，平局两人各得 1分，比赛结束后， 10名同学的得分各不相同，：1比赛第一名与第二名都是一局都没有输过；2前两名的得分总和比第三名多 20分；3第四名的得分与最后四名的得分和相等。那么，排名第五名的同学的得分是 。分分分分解析10名同学单循环比赛，共需比赛 C2io=45场，每人比赛9场。每场比赛无论 比赛结果如何，比照赛双方得分总奉献为 2 分假设双方打平的话，双方各得 1 分；假

5、设有一方获胜，那么胜方得2分，负方得0分，因此所有人总得分是 45X 2= 90分。根 据条件1，知道前两名之间的比赛是平局，第一名的成绩最多是2X 8+1 = 17分。因为他们得分各不相同，第二名的得分最多是 16分；根据条件 2，第三名的得分最多是 13分；那么第四名的得分最多是 12 分，第五名的得分最多是 11 分。根据条件 3，后 四名七至十名的得分和最多是 12 分。假设第五名得分缺乏 11 分，那么第五名得分最 多是10分，第六名的得分最多是9分，此时所有人的得分和W 17+16+13+12+10+9+12=89 V 90分，矛盾。假设不成立，即第五名的得分恰为11分。【息戎解析

6、】：设第三名为a,第四名为b，第五名为c第六名为d。10名同学单循环比赛就是每俩人干一场C21o=45,所以45场共90分。下面就是看看这个90分的分配。2a+20+2b+c+d=902(a+b)+c+d=70a+b 大于等于 c+d+4所以： 3(c+d)?62c>d， c=11 可以确定。因为考场上没有时间验证。只能直接去确定值。例三：【息戎解析】： 95*3-94*3 可以得到， A-D=3 可以排除 B 和 D 项例四 ：五个人的体重之和是 428 斤,他们的体重都是整数 ,并且各不相同 .那么体重最轻的人 , 最重可能是 ( ) 斤34解析：4235=84.3 抛开3，先看中间

7、值是84的连续五个数82、83、84、85、86, 最轻的提高一斤，就需要 5 斤来提高整体 .3 可以忽略掉。例五： 现有鲜花 21 朵分给 5 人，假设每个人分得的鲜花数目各不相同，那么分得鲜花最多 的人至少分得朵鲜花。A7 B.8 C 、 9 D.103解析：215=41，展开23456看最高的，余数只能加到6上。余数、倍数、 约数问题：例一：【息戎解析】：先确定A的值，A是5、6、7的公倍数，其中最小公倍数是210，因为他 们的和不超过 400 只有 210符合。B:5X+5=210C:6x+6=210D:7X+7=210解出来加和便得到， 210+41+34+29=314例二：三个连

8、续自然数依次是 11、 9、 7的倍数，并且都在 500-1500之间，那么这三个数的和是？A 3129B 3132C 3135D 3140【息戎解析】：三个数的和一定 9的倍数，“弃九法各位数字加和看是否是 9 的倍数。例三：一个自然数 ,被7除余 2,被8除余3,被9除余 1,1000以内一共有多少个这样的自然 数有多少个？A 2B 3C 4D 5【息戎解析】：7n-5与8n-5的最小公倍数是56n-5可以化成56n+51,这个数与9n+1的最小公倍数可以写成： 504n+X ,在 1 000内只有 n=0、1 符合。所以有两个。【这里面X是一个大于51小于504的一个正整数，我们没有必要

9、求出这个 数来】例四： ？【息戎解析】：此题考查的是中国剩余定理。先找，7、8的最小公倍数，被 9除余 3；7、9的最小公倍数，被 8整出余 4；8、9的最小公倍数，被 7整出余 6的。569=6.2, 2*6=12 除以 9 余 3,56*6 符合同理可以找到：能被7, 8整除，被9除余3的数为566=336能被8, 9整除，被7除余6的数为72X3=216学习文档 仅供参考能被7, 9整除，被8除余4的数为63M=252804-504=300公式就是 :504n+300 最小值是 300.2 3 4 5 6 的最小公倍数是 60N=05 10 15 符合4】浓度问题例一：甲杯中有浓度为 1

10、7% 的溶液 400 克，乙杯中有浓度为 23% 的溶液 600 克。现在从 甲、乙两杯中取出相同总量的溶液，把从甲杯中取出的倒入乙杯中，把从乙杯中取出的 倒入甲杯中，使甲、乙两杯溶液的浓度相同。问现在两倍溶液的浓度是多少 ( )A.20% B.20.6% C.21.2% D.21.4% 解析：两杯混合后溶液是 1000，通过尾数法直接选 B。【转载天字一号】 盐水交换问题例二：有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重12 0克，乙杯盐水重8 0克.现在 从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中这样两杯新盐水的含盐率相同从每杯 中倒出的盐水是多少克？公式：交换量 =mn/(m+n)通过公式可以直

11、接得到例三： 某容器中装有盐水。老师让小李再倒入 5%的盐水 800 克，以配成 20%的盐水。 但小李却错误地倒入了 800 克水。老师发现后说，不要紧，你再将第三种盐水 400 克倒 入容器，就可以得到 20%的盐水了。那么第三种盐水的浓度时多少？A20% B、30% C、40% D、 50%【息戎解析】：拆补法解题。因为 800 清水与 400 克溶液混合，再把它们分成 800 克 5%的溶液和400克20%的溶液。800*5%+400*20%=120120400*100%=30%例四：有浓度为30%的溶液假设干，加了一定数量的水后稀释为 24%的溶液，如果再加 入同样多的水后，浓度将变

12、为多少？【息戎解析】：设中间量24%为100克。所以溶质为24克原有溶液：2430%=80克，所以加了 20克水，再加20克水溶液变成120克。例五【十字交叉法】：容器中有某种浓度的酒精，参加一杯水后，容器中的纯酒精含量为25%，再参加一杯纯酒精，容器中的纯酒精含量为 40%。问原来容器中有几杯酒精，浓度是多少？【息戎解析】：10015140=2560m得到：m=4 ,4-仁3有三杯，X25325=0X-251可以解出X的值&&&&&&&&&&&&&&&&&&

13、amp;&&&&&&&&&&&&&&&4】排列组合例一：用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的自然数，从小到大顺序排列： 1，2, 3, 4, 5, 12,，54321其中，第206个数是A. 313 B. 12345 C.325 D. 371解析：p5 1+P52 +P5 3+P54=205所以选B例二【变形题】：用1, 2, 3, 4, 5这五个数字组成没有重复数字的自然数，从小到大顺 序排列：1，2, 3, 4，5，12,解析：p5 1+P52*2 +P5 3

14、*3 =225第226 一定是1.例三：五个人站成一排，甲乙站在一起最后的站法共有种.【息戎解析】：甲乙站到一起P2 2，然后全排P44 -捆绑法例四：五个人站成一排，甲乙不站在一起最后的站法共有种：【息戎解析】：三个人全排p3 3有四个空，p4 2-插孔法例四：三边长均为整数，且最大边长为100的三角形的个数为A2500 个B2550 个C2600 个D2650 个【息戎解析】：100以内共有100个数可以选择，以后每选择一边递减2,行程等差数列。100+2*502=2550例五：将14封信投入23个邮筒，有多少种不同的投法？【息戎解析】：每个封信有23中选择，共14封。所以是14个23相乘

15、23八14例六：8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？【息戎解析】：首先，C8 3然后p3 3【转载自天字一号】P33，我们来看第一个同学可以有 3种书选择，选择完成后，第2 个同学就只剩下2种选择的情况，最后一个同学没有选择。学习文档仅供参考【变形题】8本不同的书，任选3本分给3个同学，有多少种不同的分法?【息戎解析】：C8 3，然后3八3。例七：从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出 3台，其中至少要有甲型和乙型电视机 各1台，那么不同的取法共有(A)140 种(B)84 种(C)70 种(D)35 种解析：C9 3- C43 -C53=70错位排列：D仁0 D2

16、=1 D3=2D4=9 D5=44例八：五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，那么贴错的可能情况有几种？息戎解析：C5 3 *2例九：2名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，假设每个路口 4人，那么不同的分配方案共有C(4,12)C(4,8)C(4,4) _ 种【转自天字一号】【解析】每个路口都按次序考虑第一个路口是C12取4第二个路口是C8取4第三个路口是C4取4那么结果是C12取4XC8取4XC4取4可能到了这里有人会说 三条不同的路不是需要P33吗 其实不是这样的 在我们从12人 中任意抽取人数的时候，其实将这些分类情况已经包含了对不同路的情况的包含。如果再沖33那么是重复考虑了

17、如果这里不考虑路口的不同即都是相同路口 那么情况又不一样 因为我们在分配人数的时候考虑了路口的不同。所以最后要去除这种可能情况所以在上述结果的情况下要 ¥33 例十：在一张节目表中原有8个节目，假设保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个 节目，求共有多少种安排方法？【转自天字一号】 先用一个节目去插9个空位，有P(9,1)种方法；再用另一个节目去插 10个空位，有P(10,1)种方法；用最后一个节目去插11个空位，有P(11,1)方法，由乘法 原理得：所有不同的添加方法为 P(9,1) >P(10,1) >P(11,1)=990种例一 :从10双不同颜色的手套中任取3只，

18、颜色各不相同，问有多少种取法？【息戎解析】:C10 3 *2八3=120*8=960先取出、例十二：从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有 。(A)240(B)180(C)120(D)60【息戎解析】：先取颜色六种颜色先去一种，这种就是一双，在从剩下五种颜色中取出两种来，再从这两种颜色中各取一只与完整的一双来搭配。C61*C52*2八2=240【变形题】从6不同颜色各2双的手套中任取 4只，其中恰好有一双同色的取法有。六种颜色选一种，这一种颜色有两种选择，C61 *C21再选两种颜色C52 *4八212*10*16=1920例十三：用0, 2,3,4, 5这五个数字，组成没

19、有重复数字的三位数，其中偶数共有A . 24 个 B. 30 个 C. 40 个 D. 60 个【息戎解析】：此题我们先做出全部没有重复数字的来，减去奇数的就是偶数的。C41*C41*C31-C21*C31*C31=30.首先，全部：百位只能安排 2345,先安排一个，十位安排剩下的四个，个位安排剩下的 三个。奇数：先安排个位，3和5,剩下4个，在安排百位，百位上不能安排 0所以只 能安排3个，剩下3个，取一个安排到十位上。例十四：八位同学出去野营，晚上他们在沙滩上玩游戏，游戏需要这八个同学围成两个四人的圆圈，请问一共有多少种方法？A720B900C1080D1260【息戎解析】：此题考查分组

20、问题，分成两组就是C84A22 ,再就是圆圈全排列，A33A33， 答案选D例十五：4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，那么恰有一个空盒的放法有 _ 种【息戎解析】：C42,把其中俩球捆到一起，放到4个盒子里面P43, C42*P43=6*4*3*2=144例十六：8块奶糖和另外3个不同品牌的水果糖要放到编号为 1 11的盒子里面，每个盒 子至少放1个，有多少种方法？【息戎解析】：方法一：先挑出8个空来安排八块奶糖，C11 8,剩下三个全排列P3 3. 方法二：直接安排3种奶糖，剩下的8个自然放到剩下的盒子里。就是 P11 3 两种方法都得990.伎球问题核心公式的方法徽为w回I自

21、己的方法数为60珅,向传给乙或者为方法数，与X第二讓近的整数仕是传绪门已的方法数丽个人传N次球，记X色匕1L,型与x愎接近的整数为传给6非自己的某人円的M 如上圖之中.沁最按近伸数®第二接近的整数是娥朋处例十七：某人去A BCDE五个城市旅游，第一天去 A城市，第七天到E城市。如果他今 天在某个城市，那么他第二天肯定会离开这个城市去另一个城市，那么他一共有多少种 旅游行程安排？A204B205C819D820【息戎解析】：首先确定，从第一天开始到第七天，有 6次转移，因为5个城市，因此， 底数是5-1，所以是4八6=4096,40965=819.2在这里我们想到“公务员精神第一选择给

22、 别人，题目去的不是 A城市，最接近819,因此选C,如果回到A城市就选820。【变形题】：某人去A BCDE五个城市旅游，第一天去 A城市，第七天到E城市。那么他 一共有多少种旅游行程安排？A204B3125C819D820解析：此题从底数入手，第二天有 5种选择，所以不需要减1【变形题】：某人去A BCDE五个城市旅游。如果他今天在某个城市，那么他第二天肯定会离开这个城市去另一个城市，共旅游七天。那么他一共有多少种旅游行程安排？【息戎解析】：答案是：5*4096。先设定其中一个城市，共有4八6种选择。共有5个城市。 要乘以5.【变形题】：某人去A BCDE五个城市旅游，第一天去 A城市，第

23、二天到只能去CDE城 市，第三天去A城市，第七天回到A城市。如果他今天在某个城市，那么他第二天肯定会 离开这个城市去另一个城市，那么他一共有多少种旅游行程安排？【息戎解析】：3*1*4*4*4*4第一接近给别人154不给A, 153给A.5】行程问题例一：甲乙两人同时从 A、B两地出发相向而行，甲到达 B地后立即往回走，回到 A 地后，又立即向B地走去；已到达A地后立即往回走，回到B地后，又立即向A地走去。 如此往复，行走的速度不变，假设两人第二次迎面相遇，地点距 A地500米，第四次迎 面相遇地点距B地700米，那么A、B两地的距离是多少？【息戎解析】：这是典型的两岸型相遇问题。 如果这个题

24、是第一次是距 A地500米，第二 次距B地700米我们可以用两岸型公式得出500*3-700=800,但是这里问的是 第二次和第四次，这个公式就不实用了。需要我们继 续推导。*条件：甲、乙两车分别同时从 A、B两地出发，各自到头即返回。假设其m小于n第m次相遇距A点是a千米，第n次相遇距B点式b千米，全程为s 那么甲乙两车两次分别共走了 2m-1和2n-1个全程，甲走了(m-1)s +a,乙走了 ms-a，同样 甲走了 ns-b，乙走了 (n-1)s+b，由于分别走的时间相同可以根据等量列等式：(m-1)s +a ms-a = ns -b(n-1)s+b化简可以得到：S= (2n-1)a +

25、2m-1b m+n-1同样我们来推导单岸型。条件：甲、乙两车分别同时从 A、B两地出发，各自到头即返回假设其m小于n，第m次相遇距A点是a千米，第n次相遇距A点式b千米，全程为s 那么甲乙两车两次分别共走了 2m-1和2n-1个全程，第一次甲走了(m-1)s +a,乙走了 ms-a, 同样甲走了 (n-1)s+b，乙走了 ns-b，由于分别走的时间相同m-1s+a ms-a =(n-1)s+b ns-b化简得到：s=(2n-1)a - 2m-1)b n-m因此此题我们代入已经推导出来的公式：7*500+3*7002+4-仁1120通过推导出来的公式我们还可以发现：(2n-1)a -2m-1)b

26、中2n-1、2m-1为全程的个数。追击问题：例二：一条街上，一个骑车人和一个步行人相向而行，骑车人的速度是步行人的3倍，每个隔10分钟有一辆公交车超过一个行人。每个隔 20分钟有一辆公交车超过一个骑车人，如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔几分钟发一辆公交车？A 10 B 8 C 6 D 4解析：这到题的本质不是人与骑车人的相遇问题 ，而是公交车与人，公交车与骑车人的追 赶问题.因为发车间隔相同，公交车车速一样，所以两辆公交车的间距也一样.我们不妨 设两公交车的间距是 S,人的速度是V1,骑车人的速度是3V1,公交车的速度是V.假设第 一辆公交车超过人，那么据题意第二辆公交车超过

27、人是 10分钟后,而此时人与第二辆距离 就是S,所以的得到S=10(V-V1),同理依据骑车人与公交车的关系可得S=20(V-3V1),两个方程得V=5V1，间隔时间即T=S/V=40V1/5V1=8分钟例三：某人沿电车线路行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面 而来.2个起点站的发车间隔相同，那么这个间隔是多少？【息戎解析】：此题直接套公式。时间间隔t=2*t1*t2 t1+t22*12*412+4 =6我们来推导下这个公式：根据路程差 二速度差*时间条件：每t1分钟有一辆电车从后面追上，每t2分钟有一辆电车迎面而来，路程间隔为S设速度电车为V1人的速度为V2，S=t1

28、(v1-v2)S=t2(v1+v2)两式合并得到：得到 V仁t1+t2v2 (t1-t2) t1+t2时间间隔 T=Sv=t1(v1-v2)v1代入化简得到 T=2t1t2t1+t2例四：从甲、乙两车站相对同时开出公车，此后两站每隔 8分钟再开出一辆，依次类推， 每辆车的车速相同且匀速，每辆车到达对方站都需 45分钟，现 有一乘客坐甲站开 出的第一辆车去乙站，问他在路上会遇到几辆从乙站开出的公共汽车？【息戎解析】：这个题我们要从总体上去考虑，假设路上有车那么每4分钟遇到一辆，454=111共遇到11两，但是因为乘客坐的是第一辆，所以要减去路程中的车。458=55,途中有5辆，11-5=6例五：

29、100名学生要到离校33千米处的少年宫活动.只有一辆能载 25人的汽车，为了 使全体学生尽快地到达目的地，他们决定采取步行与乘车相结合的方法.学生步行 速度为每小时5千米，汽车速度为每小时55千米.要保证全体学生都尽快到达目的地， 所需时间最少是？【息戎解析】：把100名学生分成4组，每组25人，每组步行3份路程，汽车代步一份。 将第一批人放到离终点3分路程，在离起点1份路程处接到第二那批人。此时汽车共行 走11份路程555=11，(11-1)2=5 总路程为1+5+3=9分路程。33/9=11/3(千米(11/3)*6/55=04(小时)(11/3)*3/5=2.2(小时)0.4+2.2=2

30、.6小时总结：汽车：人-12就是汽车占路程的分数。【变形题】：甲乙两个班从A地到B地，A、B两地相距100千米，甲班乘车先行，余下 的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那局部人，全部人员 同时到达。甲班速度为8千米/小时，乙班速度为5,汽车速度为40千米/小时。问使 团体全部成员同时到达,B地需要多少时间？【息戎解析】：首先，甲a/./b乙设甲班步行为a,乙班步行为b,当接甲班时，汽车走的路程为 408=5 故为5a,同理为 8b 。所以 4a=7b,a=7b4所以甲班：汽车(空车)：乙班=7b4:7b2:b=7:14:4此时我们总结出公式：甲班占路程份数 =汽车速度 乙

31、班-1 *2乙班占路程份数 =汽车速度甲班-1 *2空车占路程份数 =汽车速度甲班-1 *汽车速度 乙班 -13.5+1.8=5.3【变形题】：甲乙丙三个班从A地到B地，A、B两地相距100千米，甲班乘车先行，余 下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那局部人，全部人 员同时到达。甲班速度为 8 千米/小时，乙班速度为 5，丙班速度为 10，汽车速度为 40千米/小时。问使团体全部成员同时到达 ,B 地需要多少时间？B 4.43 D5【息戎解析】：我们先推导下。分别设甲乙丙分别走了a b c段距离，接甲乙丙空车汽车走的路程是 S1 S2 S3量：速度是v1 v2 v3,，汽车的速度为V，总路程为S,可以求出汽车与他们的速度 比： n1 n2 n3所以：当甲班走a时，汽车就走n1 *a，S1空车路程就是：(n 1-1)a2同理得出，乙班、丙班的 S2 S3空车路程为，n2-1b2和(n3-1)c2我们知道：总路程S=a+b+c+空车所以： S1=S2=S3(n1-1)a2=n2-1 b2