指数函数与对数函数关系的典型例题

1、经典例题透析类型一、求函数的反函数例 1 f(x)= .25 x2 (0 x 4),求 f(x)的反函数.思路点拨：这里要先求f(x)的范围(值域).f22解： ow x 4,.0w x w 16, 9 W 25-x 25,. 3 y 0 时，y=x+1 1 , y 1 , +8) , f -1 (x)=x-1 (x 1)；当 x0 时，y=1-x 21 , y (- 8, 1)，反解 x 2=1-y , x=-1 y (y1) , f -1(x)=- 、1 x (x 3), 求 f-1(5).x 1所求的反函数的函数值就是原思路点拨：这里应充分理解和运用反函数的自变量就是原函数的函数值, 函

2、数的自变量这一事实，转化成方程问题.解：设 f-1(5)=x 0,那么 f(x0)=5，即处!=5 (x 0 3) x 02+1=5x0-5 ,1x 02-5x 0+6=0.解得X0=3或X0=2(舍)，二举一反三：-1f (5)=3.【变式1】记函数y=1+3-x的反函数为yg(x)，那么 g(10)=()A. 2B. -2 C. 3 D . -1(法一)依题意，函数 y 13 x的反函数y=-log 3(x-1)，因此g(10)=-2.(法二)依题意，由互为反函数的两个函数的关系，得方程1+3-x=10,解得x=-2，即g(10)=-2.答案B.例4.设点(4 , 1)既在f(x)=ax

3、2+b (a0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式.思路点拨：由前面总结的性质我们知道，点(4 , 1)在反函数的图象上，贝惊(1 , 4)必在原函数的图象上这样就有了两个用来确定a, b的点，也就有了两个求解a, b的方程.21 a 4b.(1)1.21121解：解得.a=-, b= ，f(x)=- x+ .4 a 12 b.(2)5555另：这个题告诉我们，函数的图象假设与其反函数的图象相交，交点不一定都在直线y=x 上.例5.f(x)= ax_b的反函数为厂1(x)= 2x_5，求a, b, c的值.x cx 32x 5思路点拨：注意二者互为反函数，也就是说函数f-1 (x

4、)=的反函数就是函数f(x).x 3-12x5-1解：求 f- (x)=的反函数，令 f- (x)=y 有 yx-3y=2x+5.- (y-2)x=3y+5x 3.x= 空_5 (y 丰 2), f-1 (x)的反函数为 y= 3x_5 .即 axb = 3x_5 , a=3 , b=5 , c=-2.类型三、互为反函数图象间关系例6.将y=2x的图象先 ，再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log 2(x + 1)的图象()A.先向上平行移动一个单位B.先向右平行移动一个单位C.先向左平行移动一个单位D.先向下平行移动一个单位解析：此题是关于图象的平移变换和对称变换，可求出解析式或利

5、用几何直观推断.答案：D总结升华：此题主要考查互为反函数的两个函数的图象的对称关系与函数图象的平移变换等根本知识,以及根本计算技能和几何直观思维能力.举一反三： _1【变式1】函数y=f(x+1)与函数y=f (x+1)的图象()A.关于直线y=x对称 B.关于直线y=x+1对称C.关于直线y=x_1对称D.关于直线y=_x对称解：y=f(x+1)与y=f _1 (x+1)图象是分别将y=f(x) , y=f _1(x)的图象向左平移一个单位所得，t y=f(x) 与y=f _1 (x)的图象关于直线 y=x对称，y=x向左平移一个单位而得y=x+1.应选B.【变式2】函数y=log 2x的反

6、函数是y=f 1(x)，那么函数y= f 1(1_x)的图象是()x11 1，那么 f(x)的2【答案】由 y=log 2x 得 f 1(x) = 2：所以 y=f 1(1_x) = 21-x,选择 C.解:当x【变式3】(2022四川理7)假设f(x)是R上的奇函数，且当x 0时，f(x)y11 2*1-2V1U 1 2 Xr0尊 1-0-2 -1411BCTfcD反函数的图象大致是()0时，函数f (x)单调递减，值域为1,2 ,此时，其反函数单调递减且图象在之间，应选A.类型四、指数函数和对数函数的综合问题例 7.函数 f (x)= log 1 (x22x).(1) 求函数的单调增区间；(2) 求其单调增区间内的反函数.解：复合函数y=fg(x)的单调性与y=f(t) , t=g(x)的单调性的关系：同增异减.(1)函数的定义域x|x2，又 t=x 2-2x=(x-1) 2-1 .,0)为增函数. x (- a, 0), t是x的减函数.而y= log 1 t(t0)是减函数，函数 f(x)在(-2函数f(x)的增区间为(-a, 0),令 y