人教版高中数学选修（1-1）-3.3《函数的单调性与导数》教学课件1

1、3.3.1 3.3.1 函数的单调性与导数函数的单调性与导数图象是单调上升的图象是单调上升的01 y观察下列图象的单调区间观察下列图象的单调区间, ,并求单调区间相应的导数并求单调区间相应的导数. .02 xy02 xy在在x x(-,0)(-,0)内内图象是图象是单调下降的单调下降的. .在在x x( 0,+)( 0,+)内内图象是图象是单调上升的单调上升的. .图象是单调上升的图象是单调上升的. .)0(032时当 xxy012xy012xy在在x x(-,0)(-,0)内内图象是图象是单调下降的单调下降的. .在在x x( 0,+)( 0,+)内内图象是图象是单调下降的单调下降的. .函

2、数的单调性与其导函数正负的关系函数的单调性与其导函数正负的关系: :当函数当函数y y= =f f ( (x x) )在某个区间内可导时，在某个区间内可导时，如果如果 , , 则则f f ( (x x) )为增函数；为增函数；如果如果 , , 则则f f ( (x x) )为减函数。为减函数。0)( xf0)( xf例例1 1、已知导函数、已知导函数 的下列信息：的下列信息：当当11x x44,4,或或x x11时，时，当当x x=4,=4,或或x x=1=1时，时，试画出函数试画出函数f f( (x x) )图象的大致形状。图象的大致形状。)(xf 0)( xf0)( xf0)( xf4 4

3、1 1xyo)(xfy 解：由题意可知解：由题意可知当当1 1x x4 4时，时，f f( (x x) )为增函数为增函数当当x x4,4,或或 x x1 1时，时，f f( (x x) )为减函数为减函数当当x x4,4,或或x x1 1时，时，两点为两点为“临界点临界点”其图象的大致形状如图。其图象的大致形状如图。例例2 2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间：、判断下列函数的单调性，并求出单调区间：(1) f(x)(1) f(x)x x3 33x3x解：解： 3 3x x2 23 33(3(x x2 21)1)0 0)(xf从而函数从而函数f(x)f(x)x x3 33x3x在在x x

4、R R上上单调递增，见右图。单调递增，见右图。(2) f(x)(2) f(x)x x2 22x2x3 3 解：解： 2x2x2 22(x2(x1)1)0 0)(xf图象见右图。图象见右图。当当 0 0，即，即x x1 1时，函数单调递增；时，函数单调递增；)(xf当当 0 0，即，即x x1 1时，函数单调递减；时，函数单调递减；)(xf (3) f(x)(3) f(x)sinxsinxx x ，x(x(0,0,) )解：解： cosxcosx1 10 0)(xf从而函数从而函数f(x)f(x)sinxsinxx x 在在x(0,x(0, ) )单调递减，单调递减，见右图。见右图。(4) f(

5、x)(4) f(x)2x2x3 33x3x2 224x24x1 1解：解： 6x6x2 26x6x24246(6(x x2 2x x4)4)0 0)(xf当当 0 0，即即 时，函数时，函数单调递增；单调递增；)(xf21712171xx或图象见右图。图象见右图。当当 0 0，即即 时，函数单时，函数单调递减；调递减；21712171x)(xf (4) f(x)(4) f(x)2x2x3 33x3x2 224x24x1 1练习练习1:1:确定下列函数的单调区间确定下列函数的单调区间: :（1 1）f(x)f(x)x x2 22x2x4 4 （2 2） f(x) f(x)3x3xx x3 3x

6、x1 1时，函数单调递减，时，函数单调递减，x x1 1时，函数单调递增。时，函数单调递增。x x-1-1或或x x1 1时，函数单调递减，时，函数单调递减，-1-1x x1 1时，函数单调递增。时，函数单调递增。练习练习2 2：确定下面函数的单调区间：确定下面函数的单调区间：f(x)f(x)x/2x/2sinxsinx; ;解解: : 函数的定义域是函数的定义域是R,R,.cos21)(xxf 令令 , ,解得解得0cos21 x).(322322Zkkxk 令令 , ,解得解得0cos21 x).(342322Zkkxk 因此因此,f(x),f(x)的递增区间是的递增区间是: : 递减区间

7、是递减区间是: :);)(322 ,322(Zkkk ).)(342 ,322(Zkkk 解解: :函数的定义域是函数的定义域是(-1,+),(-1,+),.)1(211121)(xxxxf 练习练习3 3确定下面函数的单调区间：确定下面函数的单调区间：f(x)f(x)x/2x/2lnln(1(1x)x)1 1由由 即即 10( )02(1),101xfxxxx 10( )02(1),101xfxxxx 解得解得x x1.1.故故f f( (x x) )的递增区间是的递增区间是(1,+);(1,+);由由 解得解得-1-1x x1,1,故故f(x)f(x)的递减区间是的递减区间是(-1,1).

8、(-1,1).( )010fxx 求函数的单调区间的一般步骤求函数的单调区间的一般步骤: :(1) (1) 求出函数求出函数 f(x)f(x)的定义域的定义域 ；(2) (2) 求出函求出函f(x)f(x)数的导数数的导数 ；)(xf (3)(3)不等式组不等式组 的解集为的解集为f(x)f(x)的单调增区间；的单调增区间；()0 xAfx (4)(4)不等式组不等式组 的解集为的解集为f(x)f(x)的单调减区间；的单调减区间；()0 xAfx 例例3 3、如图，水以常速、如图，水以常速( (即单位时间内注入水即单位时间内注入水的体积相同的体积相同) )注入下面四种底面积相同的容器中，注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度请分别找出与各容器对应的水的高度h h与时间与时间t t的的函数关系图象。函数关系图象。练习练习4 4 如图，直线如图，直线l l和圆和圆c c，当，当l l从从l l0 0开始在平开始在平面上绕点面上绕点O O匀速旋转匀速旋转( (旋转角度不超过旋转角度不超过9090o o) )