函数的凸性与拐点

1、 函数的凸性与拐点教学目的：熟练掌握函数凸性的相关定义定理以及判别函数凸性与拐点的方法。重点难点：重点为对函数凸性概念的理解，难点为函数凸性相关命题的证明。教学方法：讲练结合。 考察函数和的图象它们不同的特点是：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线那么相反，任意两点间的弧段总在这两点连线的上方我们把具有前一种特性的曲线称为凸的，相应的函数称为凸函数；后一种曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数一、函数的凸性 1定义设为定义在区间上的函数，假设对上的任意两点和任意实数总有 ，那么称为上的凸函数反之，如果总有 那么称为的凹函数 如果不等式改为严格不等式，那么相应的函数称为严格凸函数和严格

2、凹函数 易证：假设为区间上的凸函数，那么为区间上的凹函数故只需讨论凸性即可 2引理 为上的凸函数的充要条件是：对于上的任意三点总有 。证 必要性 记由 的凸性知道 从而有 ，整理后即得(3)式· 充分性 在上任取两点，<，在上任取一点，由必要性的推导逆过程，可证得故为I上的凸函数 同理可证，为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上任意三点，有 3可导函数凸性的等价命题 定理6.13 设为区间I上的可导函数，那么下述论断互相等价： 为I上凸函数； 为I上的增函数； 对I上的任意两点，有 (5) 证 () 任取I上两点 ()及充分小的正数由于，根据的凸性及引理有 由是可导函数，令时

3、可得 ，所以为I上的递增函数 () 在以为端点的区间上，由拉格朗日中值定理和递增，有 移项后即得(5)式成立，且当时仍可得到相同结论 () 设以为上任意两点， 0<<1由，并利用， 分别用和乘上列两式并相加，便得 从而为上的凸函数 口 注:论断几何意义：曲线总在它任一切线之上这是可导凸函数的几何特征4二阶可导函数凸性的充要条件定理614 设为区间上的二阶可导函数，那么在上为凸(凹)函数的充要条件是 例1讨论函数的凸(凹)性区间。 解 由于，因而当时，时从而在(上为凸函数，在)上为凹函数口例2 假设函数为定义在开区间()内的可导的凸(凹)函数，那么,为的极小(大)值点的充要条件是为的

4、稳定点，即 证 下面只证明为凸函数的情形 必要性已由费马定理可出，现在证明充分性 由定理613，任取()内的一点，它与一起有 因，故有，即为的极小值点(且为最小值点)例3(詹森(Jensen)不等式) 假设为上凸函数，那么对任意，有 6 证 应用数学归纳法当时，命题显然成立设时命题成立即对任意及 都有现设及令由数学归纳法假设可推得 这就证明了对任何正整数，凸函数总有不等式(8)成立 例4 证明不等式，其中均为正数 证 设由的一阶和二阶导数 可见，在时为严格凸函数，依詹森不等式有从而 。又因所以 例 设为开区间内的凸(凹)函数，证明在内任一点都存在左、右导数。 证 下面只证凸函数在存在右导数. 设<那么对这里取充分小的，使+由引理中的(4)式有 令故由上式可见为增函数，任取且那么对任何只要也有 因而函数F()在>0上有下界故极限F()存在，即存在。二、函数的拐点 定义2 设曲线在点处有穿过曲线的切线且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点为曲线的拐点 由定义可见，拐点正是凸和凹曲线的分界点 例l中的点(0，0)为=arctan的拐点正弦曲线=sin有拐点为整数1 拐点存在的必要条件 定理615 假设在二阶可导，那么为曲线的拐点的必要条件是2 拐点存在的充分条件 定理616 设在可导，在某邻域内二阶可导假设在和上的符