2016年高考理科数学全国3卷(附答案)

1、12B-SX-0000015-1 -3 -绝密启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国III卷(全卷共10页)(适用地区：广西、云南、四川 )(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。 图中A点表示十月的平均最高气温约为15°C, B点表示四月的平均最低气温约为 5°C。下面叙述不正确的是注意事项:1.2.3.4.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

2、擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在 答题卡上，写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。(A)各月的平均最低气温都在0°C以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均气温高于20°C的月份有5个平二睚地上垦(5)若 tana =-4,则 cos2 工3 2sin 2二二、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中, 有一项是符合题目要求的。(1)设集合 S =xP(x2)(x3)之0,T =xk0,则 SI T=(A) 2 ， 3(B) (-8，2 U 3,+ s )(噂

3、(B)4825(C) 1(C) 3,+)(D) (0,2 U 3,+ 8 )(2)若 z=1+2i ,则(A)1uiv4izz-1(B) -1(C) i(D) -i(3)已知向量0(A)30BA = (一,2uuv),BC =0(B) 45_4(6)已知a = 2号，(A) b : a :二 c (B) a :二 b :二 c (C) b :二 c ： a(7)执行下图的程序框图，如果输入的(A) 3(B) 4(C) 5(D) 6(D) c :二 a :二 ba =4, b=6,那么输出的n =窣/ 箪 *77(立1)2,20(C) 600(D)12012B-SX-00000151,粗实现画出

4、的是某多面体的三视图，则范01数列”共有(A) 18 个 (B) 16 个(C) 14 个(D) 12 个43(A)/(B)叵1010(C) - 亚10(D)-亚10(8)在4ABC中，B= - , BC边上的高等于1BC,则cosA =(9)如图，网格纸上小正方形的边长为 该多面体的表面积为(A)18+36/5(B)54+18/5(C) 90(D) 81(10)在封闭的直三棱柱ABCABG内有一个体积为V的球，若AB_LBC,AB =6, BC =8, AA=3,则V的最大值是(A) 4兀(B) 9(C) 6兀(D)深2 2x y(11)已知O为坐标原点，f是椭圆C：二十？2 = 1(aAb

5、>0)的左焦点，a, b a b分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且 PFx轴.过点A的直线l与线段 PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 (A) 1(B) (C) (D) 33 234(12)定义规范01数列" an如下：an共有2m项，其中m项为0, m项为1,且 对任意k W2m, 3启2,|,中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的 规第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)题为必考题，每个试题都必须作答。第(22)(24)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 3小题，每小题5分<x-y + 1

6、>0(13)若x,y满足约束条件x 2yE0 则2=乂+丫的最大值为 . x 2y-2 < 0(14)函数y = sinxJ3cosx的图像可由函数 y = sinx+J3cosx的图像至少向 右平移 个单位长度得到.(15)已知 f(x)为偶函数，当 x<0 时，f (x) =ln(x)+3x ,则曲线 y= f(x) 在点(1,-3)处的切线方程是 。(16)已知直线l ： mx+y+3mJ3= 0与圆x2 + y2 = 12交于a, b两点，过A,B分别做l的垂线与x轴交于C , D两点，若AB= 273,则|CD |=.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步

7、骤(17)(本小题满分12分)已知数列4的前n项和S = 1+ 7-an,其中九# 0 .(I)证明a是等比数列，并求其通项公式;(n)若S5 =如，求九.32-# -4 -12B-SX-0000015(18)(本小题满分12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.n(ti 一 t)(yi 一 y)凸 a b'=，a=y-bt."(ti-T)2i 1-5 -# -肝。一i467年份代码，注：年份代码1 - 7分别时宜年份2008-20M.y与t的关系，请用相关系数加0.01),预测2016年我国生活垃(I)由折线图看出，可用线性回归模型

8、拟合以说明；(n)建立y关于t的回归方程(系数精确到圾无害化处理量附注:参考数据:77Z Vi =9.32, Z tiV =40.17, i =1i 1nx (ti -T)(yi - y)参考公式：r = y,nn(ti -t)" (yi -y)2 i 1i 丑一。回归方程y=a+bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:12B-SX-0000015(19)(本小题满分12分)如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA，地面 ABCD, AD /BC, AB=AD=AC =3, PA=BC =4, M为线段 AD上一点，AM=2MD , N为PC的中点.(I)证明MN /平面PAB;(II

9、)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.(20)(本小题满分12分)-2已知抛物线C : y =2x的焦点为F ,平行于送由的两条直线112分别交C 于A, B两点，交C的准线于P, Q两点.(I )若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARL； FQ ;(n)若APQF的面积是AABF的面积的两倍，求 AB中点的轨迹方程.-7 -# -12B-SX-0000015(21)(本小题满分12分)设函数 f (x) = a cos 2x + (a 1)(cos x +1),其中 a a 0 ,记 | f( X| 的最大值为A .(I)求 f '(x);(n)求 A ；(m)证明 | f (

10、x)52A .请考生在（22）、（23）、（24）题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。（22）（本小题满分10分）选彳4-1 :几何证明选讲如图，。中AB的中点为P,弦PC, PD分别交AB于E, F两点.（I）若/ PFB=2/ PCD,求/ PCD 的大小；（II）若EC的垂直平分线与 FD的垂直平分线交于点 G,证明OGLCD.-9 -# -12B-SX-0000015(23)(本小题满分10分)选彳4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中, 曲线a的参数方程为!x=cos%为参数)，以坐标 y =sin1原点为极点

11、，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程(24)(本小题满分10分)选彳4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x_a| a(I)当a=2时，求不等式f(x)E6的解集；(n)设函数g(x)=|2x1|，当xw R时，f(x)+g(x)之3,求a的取值范围-11 -# -为：:sin(1)=2 2 . 4(I )写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(n)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时 P的直角坐标12B-SX-00000152016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 全国III卷 答案(18)(本小题满分12分)解:一、选择题：本大题共 12

12、小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。(1) D(2) C (3) A (4) D (5) A(6) A B (8)C(9) B(10) B (11) A (12) C二、填空题：本大题共 3小题，每小题5分 3(13) 3 (14) (15) y = 2x1 (16)4 23三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)解：1(I)由题息得 a1 = 8 =1 + )回，故九 *1 , a1 = , a1 #0 .1 - ,由s =1 +7句，s由=1十引得an书=书-九斗，即斗书(九-1)=抽.(I)由折线图这数据和附注中

13、参考数据得72t =4 ,工(ti-t)2=28,i 1庐(yi - y)777二(ti - t)( yi - y)，二 ti yi -匕.yii 1: i Ti 12.890.55 2 2.646:0.99 .()(H)2 = 0.55 ,=40.17 4x 9.32= 2.89 ,因为y与t的相关系数近似为 0.99,说明y与t的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.由刀=旦丝之1.331及(I)得1?=77_v (ti -t)(yi - y) 289i t2.897_'' (ti-t)2i=128由a1 #0,九¥0得4#0,所以因此an是首项

14、为公比为1 - A、anan 1 _，an 一1二一的等比数列，于是-1由(I)得 Sn =1 -(上)n，由 S5 = 31 得1 -(上)5 =2 ,即(上)5 = - -132 -132 -1,解得九=T . 32?= y-l3 1.331-0.103 4 0.92.所以，y关于t的回归方程为：？=0.92+0.10t.将2016年对应的t = 9代入回归方程得：？= 0.92 + 0.10M 9= 1.82 .所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.(19)(本小题满分12分)解：2(I )由已知得AM = ad = 2 ,取BP的中点T ,连接AT ,TN，由N为

15、PC 3中点知 TNBC, TN=BC=2.2又ADBC ,故TN平行且等于 AM,四边形AMNT为平行四边形，于-13 -14 -12B-SX-0000015是 MNAT .因为ATu平面PAB, MN0平面PAB ,所以MN平面PAB.(n )取BC的中点E ,连结AE ,由AB = AC得AE _L BC ,从而AE_L AD, 且 AE = . AB2 - BE2 - AB2 -(BC)2 = - 5.2以A为坐标原点，AE.的方向为 冲由正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系A-xyz,由题意知，P(0,0,4), M (0,2,0) , C(V5,Z0), N(1,1,2),55

16、-PM=(02Y), PN=(y,1,-2), AN =(万,1,2).I-，、n PM =0设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量，则. 一 ，即n PN =02x -4z = 0芯，可取 n=(021),x y-2z =0 2| n AN |8.5于| cos : n, AN | n| AN |25(20)(本小题满分12分)解：由题设 F (1 ,0).设 1i : y = a,l 2 : y = b ,则 ab ¥ 0 ,且a2b21-11 a bA(-,0),B(-,b),P(-,a),Q(-,b),R(-).22222 2记过A,B两点的直线为l ,则l的方程为2x(a

17、 + b)y + ab = 03分(I)由于F在线段AB上，故1 + ab = 0 .记AR的斜率为七，fq的斜率为k2 ,则a -b a -b 1-abk =2 = - = 一 = = b = k2 .1 a a -ab a a所以AR / FQ5分(n)设l与冲由的交点为d (x0),_1 I 111ca-b则 S&BF ="2|ba FD =2|ba Xi 3 ,S在QF =-2.，口 1 .1 a-b 一由题设可信 b-a xi -2 =-2,所以Xi = 0 (舍去)，Xi = 1.设满足条件的 AB的中点为E(x,y).当AB与片由不垂直时，由kAB =kDE可得

18、 二一=且他第1). a bx-1而-=y,所以 y2=x - 1(x#1). 2当AB与x轴垂直时，E与D重合.所以，所求轨迹方程为y2 = x -112 分-15 -17 -12B-SX-0000015(21)(本小题满分12分)解：(I ) f (x) = -2a sin 2x -(a -1) sin x .(n)当 a ±1 时，| f (x) | =| a sin 2 x (a -1)(cos x 1) | _ a 2(a -1) = 3a - 2 = f (0)因此，A=3a2.4 分当0 <a <1时，将f (x)变形为f (x) =2acos 2 x +

19、(a -1) cos x -1 2令g(t)=2at +(a-1)t-1,则 A是|g(t)|在1,1上的最大值，.1 a .g(-1) =a , g(1) =3a 2 ,且当t =/a时，g(t)取得极小值，极小值4a/1-a、(a -1)2 ,为gGi三.1a2 6a 18a令-1 <上亘<1 ,解得4a1.a < (舍去)，3g(t)在(1,1)内无极值点，|g(1)|=a ,|g(1)|=2 -3a , |g(-1)Hg(1)| ,所以 A = 2-3a.(ii)当 1<a<1 时，由 g(-1)-g(1)=2(1-a)>0,知 51 - ag(T)

20、 >g(1) >g(-) -4a又只(口)|一|g(T)尸(1-a)(1 =a) >0,所以1 -a aTM%'1 二a2 6a 18a4a8ac c c12 一 3a,0 < a <521c 4综上，A =a-6a,1<a<1.9 分8a 53a-2,a>1(田)由(I )得 f (x) |=| -2asin 2 x (a -1)sin x|三2 a | a 1| .1 当 0 < a M 一 时，| f (x)区1 + a W 2 4a < 2(2 -3a)= 2 A .5当<a<1 时，A = a+ + &g

21、t; 1 ,所以 | f'(x)区 1+ac2A.58 8a 4'当 a21 时，|f(x)区 3a1M6a_4=2A,所以 1f (x) F 2A.请考生在22、23、24题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。22 .(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 解：(I)连结 PB,BC ,贝U/BFD =NPBA+/BPD/PCD =/PCB + N BCD . 因为 AP= BP,所以 /PBA = /PCB,又/BPD = /BCD ,所以 BFD"PCD.又/PFD +/BFD =180 PFB = 2/PCD，所以立 PCD=180, 因 此 PCD =60 .(n)因为/PCD