集合知识点总结

1、集合知识点总结: 一、集合1、集合的概念集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看出一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，通常用大写英文字母A, B,C表示。集合的元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)，通常用小写写英文字母a,b,c表示2、元素与集合的属于关系：w、正若a是集合A的元素，就说 a属于A,记作：aA,读作“a属于A”若a不是集合 A的元素，就说 a不属于A,记作：a皂A,读作“ a不属于A”。3、空集0 ：不含任何元素的集合叫做空集，记作 0。4、集合元素的基本性质：确定性、互异性、无序性。5、集合的分类：有限集：含有有限个元素的集合；无限集

2、：含有无限个元素的集合。6、常用数集的表示 牢记，熟记自然数集(非负整数集)N ;正整数集NN1*；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R；正实数集 R+,均是无限集。二、集合的表示法1、列举法：适用于有限集，且元素个数不多，或者是无限集，元素个数较多，但呈现一定规律，列出几个元素作为代表，其余用“，”代替。2、描述法：元素的特征性质：如果在集合I中，属于集合 A的任意一个元素都具有性质p(x ),而不属于 A的元素都不具有性质p(x，则p(x )叫做集合 A的一个特征性质。p(x诞集合A的一个特征性质，集合A可以表示为xw I |p(x),它表示的集合 A为在集合I中具有性质p (x )的所有元

3、素构成的。注意：若元素的范围为 R时，WR可以省略。经典例题：例一、现已知一个集合为 l,x,x2,则实数x满足的条件为 o【x=1,1,0】22解：由于兀素的互易性，因此得到关系x#1;x #1;x=x ,从而解得 x01,1,0。例二、用适当的符号填空：0_w_0； 0正 _0；0_N 十；0_#_0。例三、给定集合 A B ,定义Aw B =xx = m-n,m A,n bK 若 A =(4,5,61,【15】B =1,2,3 ,则集合 A* B的所有元素之和为 解：题意为从集合 A中任意选取一个元素，与集合 B中的任意一个元素作差，所得元素为集合A* B的元素，这里要注意元素的互异性。

4、故 x =4 -1,4 -2,4 -3,5 -1,5 -2,5 -3,6 -1,6 -2,6 一3=1,2,3,4,5即 A*B=1,2,3,4,5,元素之和为 15。例四、设集合 A=2,3,a2 +2a_3,B =a+3,2若已知5w A,且5正B ,求实数a。2解：由于5亡A,故有a +2a 3 = 5,解得a = 4或2。但题目要求5三B ,因此a+3#5,即a #2。因此a=4。例五、实数集 A满足条件：1更A,若aw A,则A。1 -a(1)若 2w A,求 A;(2)集合 A能否为单元素集合？若能，求出A；若不能，说明理由；,1(3)求证：1 一一 A A o a解：(1)由题意

5、知，若 a w A,则Ao因此2三A,则有= -1e A。1-a1-211,1.11由一1 u A,则=一三庆。由一亡人，则 一-=2W A。因此A =42,1,一 >1-(-1) 221,2212(2)若让集合 A为单元素集合，必须满足 a = 。整理得到a2 -a + 1 = 0,1 - a验证A=1 -4<0,因此没有a满足上述方程，即集合A不能为单元素集合。(3)由于题意有若 a w A ,则 A A。1 - a11a 11因此当 一A时，可有 !一 =9=1Ao1 - a11 a a1 -a例六、以下集合各代表什么：乂 =m m=2k,kwZ偶数 、X =(X x = 2

6、k +1,k w Z 奇数C这些均是数集，与代表元素的不同没有关系。丫 =y y =4k+1,kw Z 奇数)P = l(x, y) y = x , 1,x , RJ点集(有序数对集合)几何意义：满足直线 y = x , 1图像上所有的点;代数意义：满足二元一次方程y = x +1的解例七、若集合 A =x x2+(a-1)x+b =0中，仅有一个元素 2,则2=11】319解：题意可只两个条件，其一是仅有一个元素，即方程只有一个解。其二为单元素即为因此得到两个关系式：将 a代入方程有a2+(a+1La+b = 0和A =(a1)24b=0,11从中求出a =-，b =。 39例八、已知集合

7、A=xax2 3x + 2 =0,其中a为常数，且aR。(1)若A是空集，求a的范围；(2)若A中只有一个元素，求 a的范围；(3)若A中至多只有一个元素，求a的范围。解：(1)因为A是空集，则必须要求方程 ax23x+2 =0无实根，即A = 98a<0,9因此a > 一。 8(2)若A中只有一个元素，此时需要讨论a是否为0。2当a = 0时，方程为-3x +2=0,斛得x =,符合题意；329当a # 0时，万程为ax -3x + 2 = 0 ,要求区=9 -8a = 0 ,即a = 。8.一一,9综上所述，a = 0或。8(3)若A中至多只有一个元素，即有一个元素，或没有。只

8、要综合(1)(2)的答案即可。故 a的取值范围9 是a =0或a之一。8三、子集和真子集1、子集：集合 A中的任何一个元素都是集合B的元素，则集合 A叫做集合B的子集。记作：A±B或B 3 A读作“ A包含于B”或“ B包含A”若集合P中存在着不是集合 Q的元素，则集合 P不是集合Q的子集。记作：P即或Q/p注意：(1)自身性： A3 A,任何集合是它本身的子集。(2)规定：A ,空集是任何子集的真子集。(3) w与三区别：w是从属关系，表示元素与集合之间的关系，三是包含关系，表示集合与集合之间的关系。2、真子集：若集合 A是集合B的子集(简化：若 AJ B ,数学语言的简洁)，并且

9、集合B中至少含有一个元素读作“ A真包含于B或“ B真包含A”不属于集合 A,则集合A是集合B的真子集。注意：(1)空集0是任何非空集合的真子集。(2) A J BA = B3、韦恩图：包含关系的传递性A J B,B1 C ,则A三C ；维恩图表示Au B,BcC ,则 AuC集合N干N,Z,Q,R之间的关系，用维恩图表示4、个数规律：(card (A)表示集合 A的元素个数)元素子集真子集非空子集非空真子集5、集合相等:AB, B A 则 A = B经典例题：例一、判断下列集合是否为同一个集合A =1,2 ,B =(1,2 ) 不是，一个是点集，一个是数集 A = xw N |0<xW

10、5,B=xW R|0<xE5 不是，元素范围不同A = 1 y | y = 2x 1 /,B x, y | y = 2x 1 不是，一个是点集，一个是数集A=x|x >5,B =y| y >5 是，元素相同，均是实数，与代表元素无关例二、用适当的符号填空：0 一三一 a； a_u 一 (a,b；匕一工一 a； 0 一二一 a；1,2,3_u_1, 2,31；40_三_。 ¥例三、若集合 A=1,3,x,B ="2,1,且BE A,则x=【0或土J3】解：依题B三A ,则x2 = x ,或x2 =3 ,解出x = 0,1，土J3 ；由于元素具有互异性，故舍去

11、1。例四、已知集合 A=1x1 Mx<4,B=xx<a,若A= B,则实数a的取值集合为丰【。a之4h解：步骤：在数轴上画出已知集合；由x Ma确定，应往左画(若为 x>a,则往右画)，进而开始实验；得到初步试验结果；验证端点。试验得到：a >4,当a =4时，由于 A集合也不含有4,故满足 AuB。丰综上所述，a a >4）o例五、满足1土 M ,1,2,3的集合M为【1,乜2,1,3】解：因为1£ M ,因此M中必须含有1这个元素。又知道 M u1,2,3手故得到1, 1,2, 1,3。（1,2,3不满足真子集的要求）四、集合的运算1、交集：一般地，

12、对于两个给定集合A, B ,由属于 A又属于B的所有元素构成的集合，叫做 A, B的交集。核心词汇：共有。记作：AQ B读作“ A交B”A = 1,2,3,4,5 ,B =匕,4,5,6,8 , AR B = 3,4,5交集为在画数轴时，要注意层次感和端点的虚实！2、交集的性质：aAa=a；如果 A=B ,则 A0|B =A。3、并集：一般地，对于两个给定集合A, B ,由两个集合的所有元素构成的集合，叫做 A,B的并集。核心词汇：全部。记作：AU B读作“ A并B”只要是线下面的部分都要！4、并集的性质：aUa=a；如果AB ,则aUb =B5、补集：如果给定的集合A是全集U的一个子集，由

13、U中不属于 A的所有元素构成的集合，叫做 A在U中的补集。核心词汇：剩余。记作“0A ”读作：“A在U中的补集”6、补集的性质：经典例题：例一、已知集合 M =0,1,2,4,5,7 ,N =1,4,6,8,9,P =4,7,9,则（M HN ）U（M O ）等于【1,4,7】解：M CN =1,4,M cP =4,7,故（M AN ）U（M HP ）=1,4,7例二、设集合 M =mw Z |3<m<2, N=n Z | -1< n < 3,则M仆=【101 】解：首先观察，两个集合均为数集，代表元素的不同不影响集合本身。其次范围均为整数，故M =2,1,0,1,N

14、=1,0,1,2,3,因此取交集后，得到的结果应为101。例三、A=x|1 wx<3, B = x|x士a,若 AB =0，则实数a的取值范围是【a >31解：步骤：在数轴上画出已知集合；由x <a确定，应往左画(若为 x>a,则往右画)，进而开始实验；得到初步试验结果；验证端点。试验得到的结果为 a>3,验证端点，当 a = 3时，由于 A集合不含有3,满足交集为 0。综上所述，a的取值范围是 a >3o例四、求满足 M 三值，a2, a3, a4,且 M Hia1, a2, a3 = a, a2的集合 M。【4,a2或a1,a2,a4 】解：由于 MI

15、la1, a2, 出 = 2, a2, 则可以推得 M中必有a1，a2,没有a3。又有 M £ Q, a2, a3, a4,则 M =a1,a2或 M =a1,a2,a4例五、集合 A=0,2,a,B =1,a2,若 AlJ B = 0,1,2,4,16,则 a 的值为【4】a2 =16解： A=0,2,a,B=1,a2,AljB=0,1,2,4,16 . « a = 4a = 4例六、设集合 U =(x, y) y =x1? A = (x, y,y1 =1,则 CU A = (0,-1 ) 1 x一.y 1y 1一解：A =4(x, y/一=1、表示平面上满足直线 y- = 1的无数点，其中 x#0, y#1。 xx又U =(x, y) y = x1表示平面上满足直线 y=x1上的全部点，故补集为 (0,1，这组有序数对。例七、已知集合 A=1xx2 +px2=0,B=xx2 x + q=0,且 Aj B = _2,0,1,求实数p, q的值。q = 0, p =1解：观察A集合，可知0正A,又有Au B =2,0,1,则0亡B。将o代入x2 x +q = 0 ,得到q = 0 ,反解x2 一x = 0 ,得到x = 0或1。由于 A= B=2,0,1)， B = 0,1,则2乏