高中排列组合经典例题

1、运用两个基本原理例1 n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？例 2同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）（ A） 6种 （ B） 9种 （ C） 11 种 （ D） 23种解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。其次， 我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。一特殊元素（位置）的“优先安排法”： 对于特殊元素

2、（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。例1用 0 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。A24 个 B.30 个 C.40 个D.60 个30。例 2（1995 年上海 ） 1 名老师和4 名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法（）种72例 3 （ 2000 年全国）乒乓球队的10 名队员中有3 名主力队员，派5 名队员参加比赛，3 名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7 名队员选2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有（）种 .A33 - A72 = 252例4.从0, 1,9这10个数字中选

3、取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？例5 8 人站成两排，每排4 人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？特殊优先，一般在后对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先 ”，有时 “位置优先 ”。练习 1 （ 89 年全国）由数字1 、 2、 3、 4、 5 组成没有重复数字的五位数，其中小于50000 的偶数共有个（用数字作答）。363 合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题， 按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。4 相邻问题用捆绑法：在解决对于某几个元素要求相邻的

4、问题时，先整体考虑，将相邻的元素“捆绑 ”起来，看作一 “大 ”元素与其余元素排列，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法例7 有 8 本不同的书；其中数学书3 本， 外语书 2 本， 其它学科书3 本 若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有 （ ）种（结果用数值表示）A55 A33 A22=1440（ 种 ）.例 8 7 名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑 ”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。例 9 8 人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站

5、在丙的两旁，有多少种排法？例 105个男生 3 个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？练习 3 四对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种？答案：A44 24=3845 不相邻问题用“插空法 ”： 不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开解决此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法例 11 用 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8 组成没有重复数字的八位数，要求1与 2 相邻， 2 与 4 相邻， 5 与 6 相邻，而7 与 8 不相邻。这样的八位数共有（ ）个（用数字作答）例 127 名学生站成一排，甲乙互

6、不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空 ”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .例 13 排一张有8 个节目的演出表，其中有 3 个小品， 既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？例 145 个男生 3 个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？练习44 男 4 女站成一行，男女相间的站法有多少种？答案：2A44 A44例15.马路上有编号为1、2、3、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏， 但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？练习5从1、2、10这十个数中任选三个互不相邻的自然数，有几种不

7、同的取法？答案： C83。6 顺序固定用“除法 ”： 对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。例 16 6 个人排队，甲、乙、丙三人按“甲 -乙 -丙 ”顺序排的排队方法有多少种？例 17 4个男生和3 个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。A74 种排法元素定序，先排后除或选位不排或先定后插对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。也可先放好定序的元素，再一一插入其它元素。例

8、 18 5 人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？练习6要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺序，要插入 5个歌 唱节目，则共有几种插入方法？七.分排问题用 直排法”：把几个元素排成若干排的问题， 可采用统一排成 一排的排法来处理。例19. 7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐 法有多少种？A77八.逐个试验法：题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规例20.将数字1, 2, 3, 4填入标号为1, 2, 3, 4的方格中，每方格填1 个，方格标号与所填数字均不相同的填法种数有（）A. 6B.9C.11D.23B九、构造模型隔板法”对

9、于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问 题。例21 .方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？例10.把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅 览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方 法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？15例22. 20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多 少种分法？C21 =210相同元素进盒，用档板分隔例23. 10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？C94注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。练习9 从全校10个班中选12人组成排球队，

10、每班至少一人，有多少种 选法？C119十.正难则反一一排除法对于含至多”或至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论，可 以考虑总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符 合条件的排列组合数的方法.例24.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与 乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）种.A. 140 种B. 80 种 C. 70 种D. 35 种C.注：这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的习题.例25.求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。C84 -12 =58个。例26.100件产品中有3件是次品，其余都是正品。现在从中取出5件产品，

11、其中含有次品，有多少种取法？C500 C；5 =17347001 种。例27. 8个人站成一排，其中A与B、A与C都不能站在一起，一共有多 少种排法？P88 -2 P2 P77 + P2 P66=21600 种排法。十二. 一一对应法：例29.在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场失败要退出比赛）最 后产生一名冠军，要比赛几场？99场。十三、多元问题分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。例30.（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单， 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法 的种数为（A ）A. 42B.

12、30C. 20D. 12Ao例31. （2003年全国高考试题）如图， 一个地区分为5个行政区域，现 给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色， 现有4种颜色可供选择，则不同 的着色方法共有多少种？（以数字作答）72.多类元素组合，分类取出例32. 车间有11名工人，其中4名车工，5名钳工，AB二人能兼做车 钳工。今需调4名车工和4名钳工完成某一任务，问有多少种不同调法？十四、混合问题 先选后排法对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略.例33. （2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的 调查，若每个路口 4人，则不同的分配方案共有（）A.种B.种

13、C.种D.种例34. （2003年北京图考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4种蔬菜品种 中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上， 其中黄瓜必须种植，不同的种植 方法共有（）A. 24 种B. 18 种C. 12 种D. 6 种排列与组合配合练习一.填空题:（用直接填空法解下列排列组合问题）1.7个人并排站成一排（1）如果甲必须站在中间，有种排法.（2）如果甲、乙两人必须站在两端，有种排法.2 .用0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字的四位偶数个.用集团法 若千元素要相邻时,或要按顺序3 .四男三女排成一排,(1)三个女的要相邻,有 种排法 ;(2)女同学必须按从高到矮的顺序(可不相邻)

14、有 种 .用插空位的方法若千元素互不相邻时.4 .四男三女排成一排,(1)女同学互不相邻,有 种排法 .(2)男同学互不相邻,女同学也互不相邻,有 种排法 .用间接法 .5 .8人排成一排,其中甲、乙两人不排在一起,有 种排法.6 .平面内有8 个点,其中有4个点共线,另外还有三点共线,此外再无三点共线.则 (1)过这 8个点中的任何两点可和条直线.(2)由这8 个点可以组成个不同的三角形 .分组分配问题:7 .18名同学,(1)平均分成三组,有 种分法.(2)平均分给数、理、 化小 组有 种分法.(3)分配给化学小组7 人 ,物理小组6 人 ,数学小组5人 ,有 种分法.(4)分给数、理、

15、化小组,其中一个组为5 人 ,一个组为6人 , 一 个组为 7 人 ,有 种分法 .二 .填空题(用多种方法解)1 .某班上午要上语文、数学、体育和英语,又体育教师因故不能上第一节和第四节, 则不同的排课方案有种 .2 .从 5 位女同学,6 位男同学中选出3 位女同学和2 位男同学担任五种不同的职务,有 种选法 .3 .从甲、乙 ,等6 人中选出4名代表,那么(1)甲一定当选,共有 种选法.(2)甲一定不入选,共有 种选法 .(3)甲、乙二人至少有一人当选,共有 种选法 .4 .将 5 本不同的数学书,4本不同的物理,3本不同的化学书排成一排,(1)各类书必须排成一起,问有 种排法.(2)化学书不全排在一起,问有 种排法.(3)化学书每两本都不相邻,问有 种排法 .5 .有男女售票员各4 人 ,被分配在四辆公共汽车上,要求每辆车上男、女各1人 ,则有种分法 .6 .四个男孩和三个女孩站成一列,男孩甲前面至少有一个女孩站着,并且站在这 个 男 孩 前 面 的 女 孩 个 数 必 少 于 站 在 他 后 面 的 男 孩 的 个 数 ,则 有 种站法 .配合练习 解答一 .填空题 :1. (1). P66=720(2). P22P55=2402. 156 个 3. (1) 720(2) 8404. (1) P44P35=1440 (2) 1445.