最优化方法和应用课后答案(郭科

1、最优化方法部分课后习题解答习题一1. 一直优化问题的数学模型为:2min f (x) = (x - 3) 2 +(x4)g (X) = x - x=-x - x?+5 > 0?ga(x) = x > 0?q(x)=为 > 0试用图解法求出：（1）无约束最优点，并求出最优值。（2）约束最优点，并求出其最优值。（3）如果加一个等式约束 h（x） -花=0 ,其约束最优解是什么？解：（1）在无约束条件下，f （x）的可行域在整个 x。为平面上，不难看出，当*x =（3, 4）* *时，f （为 取最小值，即，最优点为 x = （3， 4）：且最优值为： f（X ） =0（2）在约束

2、条件下，f（x）的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是在约束集合即可行域中找一点（为，冷），使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可155以看出，当x =（-）时，f（x）所在的圆的半径最小。4 4其中：点为?5g (x) = x - x -0 1g (x)和q(为的交点，？求解得到:?£2(x> =- x -花 +5 =?x=匹?x2即最优点为?x1 >0s.t. ? 1?x2 > 0该优化问题属于三维的优化问题?x3 > 03x=切，y 厉，z S2v= 3s = =?=?218 2? 3习题二3.计算一般二次函数1f (x) -= X

3、tAX +3x +c 的梯度。2,b=(b , D ,.r b )T, X 1= (X, X r，. X )T 则:f ( x) =-a xxrbX+ c,将它对变量x (i =1,2,. r)球偏导数得:XX ij2 i i =1 jj=1i=1? ?f? ? X?1(x) ?2?1r? ?f (x) ?_ ?f (X)= ?= ?2j=1?g? 1 ?2刀a jX + 刀aix +b ?Ma声?刀昭?2 i=11?j=1? ?b ? + Xa2 X +D ?2 i=1?j=12 ?jxj ?X ®2X? 1 ? + bi=1? ?b ?=1 (AX + A X) +b25.求下列

4、函数的梯度和71/Vf2X+4XX/VfX3Xr1 r? njXj +酬 +br ?'?ZajXj=12 i=i?j=ir?X arX?i=1? 3 ? ?'' ?Hesse矩阵3X+解一一29.29.?20d4?04040?9.9.9.X ?9.9.12 226x +ex 2x?+xx ex x6x +x2ex x1 16. 判断下列函数是凸函数，凹函数，还是既不凸也不凹函数：(1) f(1x ,2 x ) =1 - x2 +22x 2 1+23xx解： ?2 f (x) 不是半正定，即 f(x) 非凸，然后判断 - f (x) ，经验证： ?2(- f (x) 不是

5、半正定，由此可知： f ( x) 非凸非凹。(2) f ( 1x ,2 x ) =1 2x2 -1 24xx 2+3x 2 1- 5x - 6 解： ?2 f (x) 半正定，故 f(x) 为凸函数。2 2 2(3) f (x1 , x2 , x3 ) +2x2 - 3x3 - 4x1x2= x1解： ?2 f (x) 不是半正定，即 f(x) 非凸，然后判断 - f(x) ，经验证： ?2(- f(x) 不是半正定，由此可知： f ( x) 非凸非凹。7. 设约束优化问题的数学模型为：2 2min f (x) = 1x +41x +2x - 24x +10s.t.?g?1(x)?g2 (x)

6、=X - X> +2 >022= - 1x - 2 x - 1 2x+2 2x试用 K-T 条件判别点 x =- 1,1T 是否为最优点。 解：对于点 X =- 1,1T , g (X =0, g (x) >0 解。12点满足约束条件，故点 X 是可行且 g1 (X) 是起作用约束，?g(x) > 0条件下的I =1 ,?2 ?f(X) =?- 2 ?1?，由K-T条件得：？f (x) -入i?g( x = 0,入i0 ,得到入i = 2,点x满足K-T条=-1,1i I件。又因 ? 2 f (x) 正定,故 f ( x) 为严格凸函数,该最优化问题是凸规划问题,由TT

7、x* =- i,i 是 K-T 点,所以 x* =- i,i 也是该问题的全局最优点。8. 设约束优化问题：min f(x) =(x - 2)2 +x 21 2 ?g1(x) = - x1 <0 ?s.t.? 2g (x) = -2 x <0 ?2g (x) = - 1 +x +x < ? 3 0 1 2它的当前迭代点为 xk=1, 0T ,试用 K-T 条件判定它是不是约束最优解。解：对于点 x =1, 0T g (x ) = - 1 <0, g (x ) = 0,g (x ) =0 ,点 x =1, 0T是 可 行 点 , k1 k 2 k 3 k k且起作用的约束

8、条件是, ? g2 (xk ) =?- 2 ?0 ?g2 (x), g3 (x) , I =2, 3 , ?f(xk) =?,?0 ?- 1?g3 (人)=? ?，由约束条件为g(x) <0时的k-t条件得，应有：?1 ?X1? X 2 =1Tf(X) + 刀 Xi?g(x) = 0, X 解得：? 2 ，所以 x =1,为 K-T 点> 0i I0k?X3=1k现判断该问题是否为凸规划问题，因?2f (x)正定，故f(x)为凸函数,，g側，g化问题为凸规划问题，即点(x)为 线性函数，亦为凸函数，？2g (x)半正定，所以g (X为凸函数，所以该优33>k =1, 0T是该

9、问题的约束最优解。习题二1.对于下列线性规划问题找出所有基解，指出哪些是基可行解，并确定出最优解。max f (X) = 3X +% +2%?12x +3x? +6沟+人=9 ?(1)?8xi + x? - 4沟 + 2)5 =10s.t. ' ?3xj - x = 0?x >0, ( j =1, 2.6)?12 3 6 3 0 0? ?解：令 A=?81 -4 0?= (P, P, P, P, P, P)2 0?3 0 0 0 0?-1 ?167(1) 基解1 x = (0,- -, 0, 0, 0)不是基可行解，(2) 基解>2 = (0,100, 7, 0, 0)不是

10、基可行解，(3) 基解备=(0,3,0, 0,3.5,0)是基可行解，且 f(x) =3 ,7 21(4) 基解>4 = ( ,- 4, -21)不是基可行解，0, 0, 0, 445(5) 基解>5=(0,0三,8, 0, 0)不是基可行解，3(6) 基解6 x=(0,-G, 0,16, 0)是基可行解，且f(x> =3 ,1(7) 基解7 x = (1p,-, 0, 0, 3)不是基可行解，(8) 基解 >8 = (0,0,0,3,5,0)是基可行解，且 f(» = 0 ,515(9) 基解9 x = (, 0, 0, 2, 0,)不是基可行解。443 9

11、9(10) 基解 No = T , 0, 0,0, 4,)是基可行解，且一f ( x> =4 44167(11) 基解 冷=(0 t -, 0, 0, 0)不是基可行解。36(12) 基解& = (0,100, - 7, 0, 0)不是基可行解。(13)基解 N3 = (0,3,0, 070）是基可行解,f(X =3(14)基解X4(15)基解(16)5=(0,0, -, 8, 0, 0)不是基可行解。3=(0,0, 0, 8, 0)是基可行解，且f(x) =3。=(0,0, 0,3,5,0)是基可行解，且 f(x) =3。基解2.用单纯形法求解下列线性规划问题：max f (x

12、) =10x + 5%(1)?岁 +4为 < 9st.?5 / +2x <?8?x ,为0解：将现行规划问题化为标准形式如下：min( - f (x)= - 10x - 5y +0备 +0召?艮 +4x2 +x3 =9?st.?5 1 x +2x +x = ?8?N，冷,X，人> 0作初始单纯形表，并按单纯形表步骤进行迭代，如下:CXBb-10x-5%0x30>40i09341030x4852011.60-10-5000怡4.202.81-0.61.5-10x1.610.400.24160-102-51.5015143-14-10x110j-72717.500_5142

13、514此时，(T均为正，目标函数已不能再减小，于是得到最优解为：x* = (1, 3 , 0,0)目标函数值为： f ( x* ) =17.53. 分别用单纯形法中的大 M 法和两阶段法求解下列线性规划问题：min f (x) = 5x - 2x2 +3x3 - 6x4?捲 +2x2 +3x3 +4x4 = 7 (1) ?st?2xi +x2 +% +2x4 = 3?xi , >2 , x3, x4 > 0解：(1)大M法：把原问题化为标准形式，并加入人工变量如下：min f (x) =5x - 2y +3% - 6人 +M + Mj?xi +2x2 +3xs +4x4 +x5 =

14、 7 丄?s.t? px +於 +3x +2x h6x =3?x,xs , x3 , x4 , x5 , >6 > 0作初始单纯形表，并按单纯形表步骤进行迭代，如下：CBXbb5x-2x3x3-6>4-6>4-6>4QMx571234101.75Mx32112011.5-10M5-3M-2-3M3-4M-6-6M00Mx1-30101-21-6x41.510.50.5100.539-M11+3M16-M003M+33x31-30101-2-6x412.50.501-0.51.5329100M-6M+15因为M是一个很大的正数，此时(T j均为正，*T_*所以，得到

15、最优解：x* = (0,0,1,1) T，最优值为f(x ) = - 3(2)两阶段法首先，构造一个仅含人工变量的新的线性规划如下：min g(x) = 0x +0x2 +0x3 +0人 +X； +x6?X +2为 +3% +4人 +X5 = 7 ?s.t.?2x +X+?x +jX =3?c?X,W,心人,>5 , X> >0按单纯形法迭代如下：CXbb0x0禺0Xj0X41>41x0i1Xs71234101.751Xs32112011.5-10-3-3-4-6001Xs1-30101-210X41.510.50.5100.53-140-10030Xj1-30101-

16、20X412.50.501-0.51.5最优解为：X = (0,0,1,10,0)，最优值：g(X> = 0*T因人工变量 斥=x< = 0,则原问题的基可行解为：X = (0,0,1,1) T ,进入第二阶段计算 如下表所示：GXbb5>1-23>3-6x3>31-3010-6>412.50.501329100*T由上表可知，检验数均大于等于0,所以得到最优解：x = (0,0,1,1)最优值为f (x*) =- 3。4. 某糖果厂用原料A B, C加工成三中不同牌号的糖果，甲，乙，丙，已知各种牌号糖果中A,B,C含量，原料成本，各种原料的每月限用量，三中

17、牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示，问该厂每月应生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大？试建立这个问题的线性规划数学模型。甲乙丙原料成本（元/千克）每月限用量（千克）A> 60%> 15%2.002000B1.502500C< 20%< 60%< 50%1.001200加工费0.500.400.30售价3.402.852.25解：设x，y，召>0,i =1, 2, 3表示甲、乙、丙中分别含 A、B C的含量，构造此 问题的数学规划模型如下：max f (x) = 0.9x +1.4x, +1.9% +0.45% +0.95y2 +1.45% - 0.

18、5乙 +0.45勺 + 0.95 Zg仪 + y +z < 2000?为 + y2 +z2 <2500?x + y +Z3 <1200?0.4人-0.6x? - 0.6为 <0 ?st.? 0.85 y - 0.15 y - Q15y >0Q?0.2x +0.2x - 0.8x >0?0.6% - 0.6 y +0.4 y3 > 0?0.5Z| +0.5 Z2 - 0.5 Zj >0?x，y, z >0,i =1,2, 35. 求解下列线性规划问题的对偶问题min f (沟=2x +2为 +4x?2 +3x2 +5x$ >2(1) ?

19、3 x +为 +7 < 3st ?x +4x> +6为 < 5?x ,禺，为> 0max f(x> =5x +6为 +3%?x +2为 +2% =5?(2) ?_ x +5为-x$ > 3s.t. ?4为 +7为 +3% < 8?/无约束，2< > 03 x < 0解：(1)由表3.7可得该问题的对偶问题为：max g( y) = 2y +3% +5%?2y +3% +<2?3y + y 2 +4 y3 <2st ?5y +7 y2 +6 % w4?y > 0, y2, %< 0(2)该问题的对偶问题为：min

20、 g( y) = 5y +3% +8%?yi - 3+4 * =5?2% +5电 +7 56 >s. t.?'斜-力+3% <3?yi 无约束，2y w 03 y > 06用对偶单纯形法求解下列线性规划问题：min f (x) = 4x +12>2 +18&?x 1+3x 3 > 3(1)?st. ?2>2 +2Xj >?5?N,% , X3> 0解：(1)首先，将“约束条件两边反号，再加入松弛变量，得:min f (x) = 4x +12x? +18x3 +0& +为?- X - 3x> + x = - 3 ?st

21、? - 2x - 3 2x 5+x =?-5?N，为,>3 , >4 , >5> 0建立初始单纯形表如下图所示，所有cj0。则对应对偶问题解是可行的，则继续迭代：CBXbb4x12为180>40X0x-3-10-3100-50-2-201计算min - 3, - 5 = - 5，所以x为换出变量，0 = min 6, 9 = 6，确定为换 入变量 。继续迭代，得到如下单纯形表：CXbb4x12禺180>40为0x-3-10-3100-2.50110-0.540600min - 3 = - 3,人换出，mn 4, = 2,换入CXbb4121800禺禺>

22、4为0101 001.51101-0.520026此时，所有(T j > 0，故原问题的最优解为* x =0, T ,最优值为：f(*x ) =362,1其对偶问题得到最优解为：X =2, 6t，最优值为：f(x ) =36。7.已知线性规划问题min f (X) = 2x - x? +X$?X +x? +>3 <6s.t? -1 x +2x < 4?x , x? , x > 0先用单纯形法求出最优解，再分别就下列情况进行分析：(1)目标函数中变量x，% ,为的系数分别在什么围变化，问题的最优解不变;(2)两个约束条件的右端分别在什么围变化，问题的最优解不变。解：

23、将该规划问题化为标准型，引入松弛变量人,>5min f (x)=纠-x： +% +0人 +0%,?x +x2+xi+xl = 6?st. - x +2x +x =?14 25?x，冷,x ,人,>5用单纯形法求解，如下表:CBXb2X-11>30务0>50i0>411111060>51.5-1200122-11000>441.5011-0.5-1%2-0.51000.51.50100.5*T由上表可知，所有的检验数均大于等于零，得最优解：x = (0,2, 0,4, 0)T ,所以原问题的T最优解为：x = (0,2,0,)，最优值f(x ) = -

24、2(1)变量X, X?,沁中，X, >3为非基变量，X?为基变量。由c - 3 优解不变。31时,c =c +?c > ，所以，当c1 , +兀)，此时最由c3 =1,当？ G > - 1时=c3 +? (3 > 0,所以，当G 0, +),此时最优解不 变。? G (- 3,1 )，最优解不变。1综上，当c 扌，5, c - 4,3 0, c 0, +x),此时最优解不变。(2)? b的变化围?歹？Ob.? ?1? b ? ?4? ?B 1b+B1= ' * + *- 0.5? bl? ?4? ?1?0 ? ?2 ? ?0 0.5 ? ?0 ? ?2 ? ?0

25、 ?得到：4 +? bo ? ? b-4贝u b的变化围是b >2，最优解保持不变。c1 ?0? ?4? ?1B- 1b+B-1 = +? b3 妬?o-0.5?4?- 0.5?0?0=+? b >0.5 ?b?2?0.5 ?2 得到：-4 w? b w 8,则b的变化围是0,12，最优解保持不变。习题四3. 用Newt on法求解? (t) =t3 -2t+1用第1题求得的区间，按精度& = 0.01计算。解：?(t°)=?(o)=i,ti=t0+ho=1,?(ti)=o,?i = o,因为？(ti)<?(t0),则 h=h =2因为K=2工0,所以t2

26、=ti +h =1, ? (t2)= 22,? 2 = 22,? (ti ) <? (t2)，反向, a =0, b=3则搜索区间为t0, ? ' (3) =25沾 1=t 0=(5)(t) = 6,?(t 0,3 ?>0取：15 5(0) = - 2 <> 0.01，继续迭0 ,6t =t -丄( =49 , 则"-? / 0Z (t )1149> 0.01 令 t =，贝g "0.816560060 60I*t- t° =0.0005 < 0.0i所以=0.8i?,=? (t ) "- 0.088。4. 用

27、黄金分割法求解min? (t) =t(t +2)已知初始单谷区间a , b=-35，按精度£ = 0.001计算解：t1 = - 3 +0.382 X8 = 0., t2 = - 3 +5 - 0. =1.944 ,则新的搜索区间为? (ti ) = 0.115136, ? (t2 ) = 7.667136 ,因为？ (ti ) <? (t?)-3 , 1.944:t2 =ti = 0., ? (t2) = 0.115136, ti =- 1.11392, ? (ti) = - 0.987592 ,ti - |> & ,继续迭代，因为？(ti ) >? (t

28、2 )，则新的搜索区间为-3 , 0.:t2ti = - 1.832608, ? (tj = - 0.306764, t? = - 1.111392, ?)=-0.987592,ti -> &，继续迭代，因为？(匕)>?住2)，所以新的搜索区间为-1.832608 ,t?0.:t1 = - 1.111292, ? (t1) = - 0.987592, t2 = - 0.665448, ? (t2) = - 0.888075,t1 - | > & ,继续，？)>? (t2 )，所以新的搜索区间为-1.832608 ,-t20.665448:t1 = - 1

29、.386753, ? (t1) = - 0.854402, t2 = - 1.111392, ? (t2) = - 0.987592 ,ti - | > & ,继续，因为？ (t1 ) >? (t2 )，所以新的搜索区间为-1.386753 ,- t20.665448t2 = - 0.940987, ? (t2)= - 0.996518,匕=-1.111392, ?(匕)=-0.987592,t1 - | > & ,继续，因为？(t>? (t2 )，所以新的搜索区间为-1.111392 ,- t20.665448:t1 = - 0.940987, ? (

30、tj =- 0.996518, t2 = - 0.835799, ?)=-0.973038,t1 - | > & ,继续，因为？(t>? (t2 )，所以新的搜索区间为-1.111392 ,- t20.835799:t2 = - 0.940987, ?傀)=-0.996518,匕=-1.006115, ?(匕)=-0.999962,t1 - | > & ,继续，因为？(t>?(t2)，所以新的搜索区间为-1.111392 ,-t20.940987:t1 = - 1.046295, ? (t1) = - 0.997857, t2 = - 1.006115,

31、 ? (t2) = - 0.999962,t1 - | > & ,继续，因为？ (t1 ) >? (t2 )，所以新的搜索区间为-1.046295 ,-t20.940987:t2 = - - 0.981215, ? (t2 ) = - 0.999647, = - 1.006115, ?(匕)=-0.999962,t1 - | > & ,继续，因为？ (t1 ) >? (t2 )，所以新的搜索区间为-1.046295 ,-t20.981215:t1 = - 1.021434, ? (t1) = - 0.999540, t2 = - 1.006115, ?

32、(t2) = - 0.999962,t1 - | > & ,继续，因为？缶)>?处)，所以新的搜索区间为-1.021434 ,-t20.981215:t2 = - 0.996579, ? (t2)= - 0.999987,匕=-1.006115, ?(匕)=-0.999962 ,t1 - | > & ,继续，因为？ (t1 ) >? (t2 )，所以新的搜索区间为-1.006115 ,-t20.981215:t1 = - 0.996579, ? (t1) = - 0.999987, t2 = - 0.990727, ? (t2) = - 0.999914

33、,t1 - | > & ,继续，因为？ (t1 ) <? (t2 )，所以新的搜索区间为-1.006115 ,-t20.990727:t2 = - 0.996579, ?代)=-0.999987, ti =- 1.000237, ? ©) = - 1.00000016,ti - | > & ,继续，因为？缶)<?处)，所以新的搜索区间为-1.006115 ,- t20.996579:t1 = - 1.000237, ? (tj = - 0.99999364, t? = - 1.000237, ? (t?) = - 1.00000016,t1 -

34、 | > & ,继续，因为？ (t1 ) >? (t2 )，所以新的搜索区间为-1.002472 ,-t20.996579:t2 = - 0.998830, ? (t2) = - 0.999998505, t1 = - 1.000237, ? (t1) = - 1.00000016,ti -> & ,继续，因为？(鮎)<? & )，新的搜索区间为-1.002472 , -0.998830t2J = - 1.001081, ? (tj = - 0.999999075, t? = - 1.000237, ? (t?) = - 1.00000016,因

35、为t1 -< £ ，停止迭代。所以：t2|* t +t*t =丄 2 = - 1.000659, ?=? (t ) = - 0.9999999565。25. 用抛物线插值法求解min f (x) =8X5 - 2x2 - 7x+3已知初始单谷区间a , b=0 , 2 , c = - 0.001。解:t1= 0,t2 = 2,取 t0=1,t0.5227,t0 ><t0 7?(t ) = -0. <?(t0) = 2-t-新搜索区间为0 , 1 , t1 = 0, t2 = 1, t0 0.5227 , t 0.5704,> c , t >t0 ,

36、t0 - t? (t ) = - 0.1588 <? (to ) = - 0.,所以，新的搜索区间为0.5227 , 1,t1 = 0.5227, t2 =1,t0 0.5704，-1 0.6146, | > c ；t >t0？(t ) = - 0.2004 <? (t0) = - 0.1588t0 - t所以，新的搜索区间为：0.5704 , 1 , t1 = 0.5704, t2 =1,t。0.6146, t 06232,t0-|> c ,_t >t0,3(t ) = - 0.2029 <? (t0 ) = - 0.2004 ,所以新的搜索区间为：

37、t 0.6146 , 1,t1 = 0.6146, t2 =1,t° 0.6232 , t 0.626Q,> c , t >t。，t0 - t? (t ) = - 0.2032 <? (t0 ) = - 0.2029 ,新的搜索区间为：0.6232 , 1,鮎=0.6232, t2 =1,to 0.6260，-1 0.6284, _| > &t >t°,?(t ) = - 0.2034 v? (t。) = - 0.2032 to - t-新的搜索区间为0.6260 , 1=0.6260, t? =1,t° 0.6284, t

38、0.6276,t°-1< & , t是？(t)在区间上的近似最优解，二r =0.6276 ,*t t? * =? (t*) = - 0.2034。习题五1.用最速下降法求解min f (x) - x2 +25x 2, -2 ,2T,£ - 0.01.x1、解：？f (M - 2x , 50)x> Hse矩阵 A=? ?刃 5090x g1=?f(x) = 4,100 g =100.07997北0 0 = ?2?-? ?-gr/g 0 0f (x )-? 4 ?0.02003 ? ?71.91988 ?_ ?= ?100? - 0.003 ?3.68655

39、g - ?f (x ) -3.83976 0.15 ,|g II >x2= x1 - SATgg 1?1.91988 ? =? ?- 0.003 - ?3.8976 ? ?0.07348 ?0.48089?S5 ?=?0.06913?f (冷)0.124872同理继续迭代,最后至?0?x = ? ?,此时最优解?0?Tx = ? , f (x) = 02.用Newt on法求解min f (x) - 60 10x - 4% 卡+冷2 -xx：,初始点 x0 -0 , 0 , £ - 0.01.x解：g(x) -?f (x) - - 10 +12x 2- x , - 4 +2x

40、- x T? 2-1?Gx)-? Gx)-?- 12 ?2-3 尘 3 ? ? ? ? ? or.1 3 2 3?2?o?o? ? ? ?1 2? 4 ? ?3 3 ?f(x) =0, T |?f(x)|二 0 <0.010,? x = Xo -Gx)-1 ax)1 ?3? 3?- 10? = 8, 6tf (x* ) = 83. 用修正 Newton 法求解= 0.01.min f (X = 4(x+1 +2( %-2 1) +x + 为 +10,初始点 X)=0, T0,解：g(x) =?f (x)-3= 8x +9,4x2 T x1=Xo+t°? 9 ?-8t 0? ?&

41、#39;3 ? t?4t0?1Gx) =?00?4?，Gx)-?0? 0 ? =?>， 4 ?g（x。）= 9,- 3T则 p = -(Gx>-1g(x?1?8?0 ?9 ?= -_， 令1 弼3? 84 ?Xi = x +to P0=? c? 3?4t。t =1时，f （X）最小 x =-9, 0, 1 0T，84 x* =-9,843 T, ?f (x)=1?f (x 尸01<0.013 T *T，還)=1574.用共轭梯度法求解 min(x2+4x 2),取初始点0=1, 1T,& = 0.01.x解：令8x T,f (x> = x2 +4x2 , ?f

42、(x) =2x ,P 1 1 1 2=-?f(x ) = - 2, 8T0 0?1?- 2? rTx= x0 +10 p0 = ? ? +t0 ? ? = 1 - 2t° ,1 -1，8t0 8'?1? ?- 8?令 nin(12t0 )+ 4(1 - 8t )2 = min? (t)pl则?(t) = 520t - 68 =0 ? t = 0.130969 dt£ =0.738062,-0.047752 T, ?f (x ) =1.476124, - 0.382016 T则=2.324878 ccccc =0.034189|?f (X0 )268新搜索方向为p=

43、-?f(x) +入0 R)=?-1476124?+0.034189?-?2t )pl则一?=016t - 5 = 0 ? t = 0.125 dt x =0.3125,- 0.375 T, ?f (x ) =0.875,0.4375f)=宁0.191406新搜索方向为p =-?f(X)+ MR)?- 0.875 ? 1 ? ?- 0.683594?=? +0.191406 ? ? = ?2 0.4375 ?- 2? ? - 0.82012'?= 1.544502? 0.382016 ?- 8'? ? 0.108504?因此有 = X +t R =0.738062 - 1.544

44、502t , - 0.047752 +0.1108504t T0.477127pl由 dtf (1X +t p) = 0 1?因而得下一迭代点 = X +t1?0.738062 ?R =?- 0.047752?- 1.544502?T7 ? 0.108504 ?=盹007?f(xJ = 0 W0.0停止迭代二 x*=0, 0 , f (x )5.用共轭梯度法求解 min f (X) =2x2 + x 21-很，自定初始点,£ =0.01.解：？f(x) =4x! - x? , 2>x> -T，取初始点 X =0可，Xp = - ?f(x ) = - 1, - 2t?0?

45、?1 ?_“ 50 5 =鮎吃彩认1令 min2t 2 +(1 -0to(1 - 2t° ) =mn? (t)因而得下一迭代点 $ = x +t P1 = - 0.3125 - 0.683594t , 0.375 - 0t820312t d由 _ f (1x + t p ) = 0 1? t = 0.456927 ,dt则 >2 =0.000,0.000 T, ?f (x ) =?f(y) = 0 <0.01 停止迭代0, 0T,则x* = x =0, 0T，综上所述，原问题的最优解x* =0, 0T，最优值为f(x*)=06.用DFP法求解 min f (x)5)+(x

46、 - 6)，初始点x =8 , 9T, & = 0.01.4(6、解：取 H0 = I,A ?8?0? 9?. o 2Tg(x) =8x - 40, 2为-12x = 8,19, g =24, 6第一步迭代得:x =4.86154,8.21538g =- 1.10768, 4.43076 用DFP法第二次迭代:= - 3.13846, - 0.78462= - 25.10768, - 1.56924则 h1 =H0 +SH yTy0H0 0So y 0yg H y 0因：S y° = 80.03071, % T H % = y°T% = 632.85811T ?9.

47、84993 2.46250? T = ?9.84993 2.46250?S0 '=2.46250 0.61563?，S S =?2.46250 0.61563?-0 ? ?10? ?0.123080.03077? ?0.996110.06226 ? _? 0.12697- 0.03149?H =? + ? - ? ? = ?01? '0.030770.00770?'0.062260.00390 ?- 0.031491.0 038则搜索方向 p1 = - H1g1 =- 0.28017, 4.48248T从x出发沿p进行直线搜索，即:x = x +tp =4.86154

48、- 0.28017t, 8.21538 +4.48248tpl由 一 f (衫 +tp ) = 0,得t 二-0.48674dt所以 x> = x +tp6.000 T5.000, ，由于 g(x )0T= 0,，所以x =5,是极小6T点。习题六1.用外点罚函数法求解:min f (x> = x( + x?g (x> =-空 + xst. ? 10?Q (x) = x0解：利用外点罚函数法构造增广目标函数,如下:F(X,卩）M(-1X2+x )2+ x2 (x对于x? D的情况:? F ? F由=0, =得:（卩）?«? 2 + 2 卩 4(1 + 卩)当卩r條时

49、，x (卩)f (0, 0)oo即：x = (0, 0)，且 f (x ) = 02.用外点罚函数法求解:min f ( x) = x1 + x2st. g(x) =1 - x w0解：构造增广目标函数:?x2 2 + x2F(x,卩)=?22小+卷+ 卩(1 -(x? D1(x D对于x? D的情况：? F ? F由 =0=得:0?M?x>推出：x?(卩)=卩?1 +卩?2x - ?2(1 - x ) = 0?2>2=0?0 '? ?当卩f +X时，x (卩)f (1, 0)。即：x? = (1, 0)f(x?)=1。且4.用点罚函数法求解:min1 3f (x) =!(X +1)x - 1 花 2+xst.?g(x)= x -1>0?Q(x> = % > 0解：利用点罚函数法构造如下增广目标函数:1 11)=(x +1)3 +x k + -)7 xk/V* X +O-F为? ?O-F%? ?当匸-0 时，x (x ) - (1, 0)x = (1,