极值点偏移的好题

1、x的极小值点B .函数yx有且只有1个零点C .存在正实数 k,使得f xkx恒成立D .对任意两个正实数xi , X2 ,X2X1，若 fxif X2 ,则 X1X24(21)(本小题满分12分)已知函数 f ( x) (x 2)e xa( x 1) 2有两个零点.(I )求a的取值范围;(II )设X , X 是f ( x)的两个零点，证明：X1 X2 2 .1 2、，-121 .(本小题满分 12分)已知函数f ( X) = x ex.1 x2(1)求f ( x)的单调区间;证明：当 f ( xi) = f ( X2)( XiM X2)时，xi + X2 V 0.(1)解：函数f (x)

2、的定义域为(x,+x ).2f '(x) =1 x e +1 x2 e一2x2 2x 11 x1 X221 X2= x x 1 2 2 ex.1 X22当 x V 0 时，f '(X)> 0 ；当 x > 0 时，f '(X)V 0.所以f ( x)的单调递增区间为(x, 0)，单调递减区间为(0 ,+x ).1 x(2)证明：当Xv 1时，由于2 > 0, ex> 0,1 x故 f ( x) > 0 ； 同理，当x > 1时，f (x) V 0.当 f ( Xi) = f ( X2)( Xi 丰 X2)时，不妨设 XiV X2,由(

3、1)知 Xi ( 8,0) , X2 (0,1).F面证明：X (0,1) , f ( X) V f ( X)，即证“1 X X1 X2 ex2 e .1 X1 X此不等式等价于(1 x)e x 1 x v 0.exX 一 1 X令 g( X) = (1 X)e ，则exg，(x)=xe 一x(e 2x 1).当 x (0,1)时，g '(x) V 0, g( x)单调递减，从而 g( x) v g(0) = 0.即(1 x)e x 1 XV 0.ex所以x(0,1) , f ( X) V f ( X).而 X2 (0,1)，所以 f ( X2) V f ( X2), 从而 f ( X

4、1)V f ( X2).由于X1, X2 （汽 0） , f （ x）在（一8, 0）上单调递增，所以X1V X2，即X1+ X2 V 0.21.（本小题满分12分）已知函数f Xa ln xb a, b R的图象在点1, f 1处的切线方程为y x 1 .(I)求实数 a, b的值及函数 f x的单调区间;(H)当21.解：f' x因为ff所以f所以f所以f'令f ' x 当0 x 当x e所以函数(H)当f xiX2 xi X2时，比较 xi X2与2e ( e为自然对数的底数)的大小(I)函数 f x的定义域为 0,a 1 In xx2x的图象在点 1, f 1处

5、的切线方程为y x 1,i a 1,，解得 a 1 , b 0 .1 a In1 b 0,1In xx x1 In xx20，得 x e ,e时，f ' x 0 , f x单调递增;时，f ' x 0 , f x单调递减f x的单调递增区间为0,e，单调递减区间为e,f X1 f x2 x1 x2 时，X1 X2 2e .证明如下:因为x e时f x单调递减，且f xIn x05x又f 10,当1xe时，f x单调递增，且f x 0 .若f xfxxx ,则X1 , X2必都大于1，且必有一个小于e，一个大于 .1212不防设1X1eX2 ,当 X2 2e时，必有X1X22e .In X2In 2e X2当e X22e时，f X1f2e X2f X2f 2e X2X22e X2In xIn2eX设g xe X2e，x2eX1 In x1In2e x则g' xx22eX 22 2 24e e x 1 In xx In x 2ex 2x22 x22e x2224e e x 1 In xx 2 In x e e22x 2e x因为e x 2e ,2所以 e2x e0,e2 .2故 2 In x e e20 .又 4e e x 1 In x 0 ,所以g x所以fx在区间e,2 e内单调递增.所以g x所