用二分法求方程的近似解

1、 用二分法求方程的近似解【选题明细表】知识点、方法题号二分法的概念1,2,3二分法的步骤4,5,6二分法求方程的近似解或函数零点7,8,9,10,111.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是(C)(A)x1(B)x2(C)x3(D)x4解析:观察图象可知,零点x3的附近两边的函数值都为负值,所以零点x3不能用二分法求.2.用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算得f (0)<0,f(0.5)>0,则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为(D)(A)(0,0.5),f(0.125)(B)(0.5,1),f(0.875)(C)

2、(0.5,1),f(0.75)(D)(0,0.5),f(0.25)解析:因为f(x)=x5+8x3-1,f(0)<0,f(0.5)>0,所以f(0)f(0.5)<0,所以其中一个零点所在的区间为(0,0.5),第二次应计算的函数值应为f(0.25),故选D.3.设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,f(2)>0,则方程的根应落在区间(B)(A)(1,1.25)(B)(1.25,1.5)(C)(1.5,2)(D)不能确定解析:因为f(1.5)>

3、0,f(1.25)<0,所以在区间(1.25,1.5)内函数f(x) =3x+3x-8存在一个零点,由此可得方程3x+3x-8=0的根落在区间(1.25,1.5)内.4.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为(B)(A)3(B)4(C)5(D)6解析:由<0.01,得2n>10,所以n的最小值为4.故选B.5.用二分法求方程x2-5=0在区间(2,3)内的近似解,经过次二分后精确度能达到0.01. 解析:因为初始区间的长度为1,精确度要求是0.

4、01,所以0.01,化为2n100,解得n7.答案:76.在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,最多称次就可以发现这枚假币. 解析:将26枚金币平均分成两份,放在天平上,则假币一定在质量小的那13枚金币里面;从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,放在天平上,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚;若不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面;将这6枚金币平均分成两份,放在天平上,则假币一定在质量小的那3枚金币里面;从这3枚金币中任拿出2枚放在天平上,若天平平衡,则剩下的那一枚即是假币;若不平衡

5、,则质量小的那一枚即是假币.综上可知,最多称4次就可以发现这枚假币.答案:47.利用计算器,求方程2x+x=4的近似解(精确度0.1).解:方程2x+x=4可以化为2x=4-x.分别画函数y=2x与y=4-x的图象,如图所示,由图象可以知道,方程2x+x=4的解在区间(1,2)内,那么对于区间(1,2),利用二分法就可以求得它的近似解.设f(x)=2x+x-4,利用计算器计算得,f(1)<0,f(2)>0x1(1,2),f(1)<0,f(1.5)>0x1(1,1.5), f(1.25)<0,f(1.5)>0x1(1.25,1.5),f(1.375)<0

6、,f(1.5)>0x1(1.375,1.5),f(1.437 5)>0,f(1.375)<0x1(1.375,1.437 5).由于|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1,所以原方程的近似解可取为1.437 5.8.借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解.(精确度0.1)解:原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7,用计算器或计算机作出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表如下:x012345678f(x)=2x+3x-7-6-2310214075142273观察表可知f(1)·f(2)<0,说明这个函数在区

7、间(1,2)内有零点x0.取区间(1,2)的中点x1=1.5,用计算器算得f(1.5)0.33.因为f(1)·f(1.5)<0,所以x0(1,1.5).再取区间(1,1.5)的中点x2=1.25,用计算器算得f(1.25)-0.87.因为f(1.25)·f(1.5)<0,所以x0(1.25,1.5).同理可得,x0(1.375,1.5),x0(1.375,1.437 5).由于|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1,所以原方程的近似解可取为1.437 5.9.利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:x-1.6-1.4-1.2-1-0.

8、8-0.6-0.4-0.20y=2x0.329 90.378 90.435 30.50.574 30.659 80.757 90.870 61y=x22.561.961.4410.640.360.160.040若方程2x=x2有一个根位于区间(a,a+0.4)(a在表格中第一栏里的数据中取值),则a的值为 .  解析:令f(x)=2x-x2,由表中的数据可得f(-1)<0,f(-0.6)>0;f(-0.8)<0,f(-0.4)>0,所以根在区间(-1,-0.6)与(-0.8,-0.4)内,所以a=-1或a=-0.8.答案:-1或-0.810.已知函数f(x)=

9、x3-x2+1.(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;(2)使用二分法,取区间的中点三次,指出方程f(x)=0(x0,2)的实数解x0在哪个较小的区间内.(1)证明:因为f(0)=1>0,f(2)=-<0,所以f(0)·f(2)<0,由函数的零点存在性定理可得方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解.(2)解:取x1=(0+2)=1,得f(1)=>0,由此可得f(1)·f(2)<0,下一个有解区间为(1,2).再取x2=(1+2)=,得f()=-<0,所以f(1)·f()<0,下一个有解区间为(1,).再

10、取x3=(1+)=,得f()=>0,所以f()·f()<0,下一个有解区间为(,).综上所述,得所求的实数解x0在区间(,)内.11.下面是函数f(x)在区间1,2上的一些点的函数值.x11.251.3751.406 51.4381.51.611.8752f(x)-2-0.9840.260-0.0520.1650.625-0.3154.356由此可判断:方程f(x)=0在1,2上解的个数(A)(A)至少5个 (B)5个(C)至多5个 (D)4个解析:由所给的函数值的表格可以看出,在x=1.25与x=1.375这两个数字对应的函数值的符号不同,即f(1.25)f(1.375)