椭圆综合专题整理

1、椭圆专题总结、直线与椭圆问题的常规解题方法：1. 设直线与方程；（提醒：设直线时分斜率存在与不 -存在；设为y=kx+b与x=my+ n 的区别）2. 设交点坐标；（提醒：之所以要设是因为不去求出它 ，即“设而不求”）3. 联立方程组；4. 消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）5. 根据条件重转化； 常有以下类型： “以弦AB为直径的圆过点0”OA OB 心？心 “点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”xi X2 yi y200 ； “等角、角平分、角互补问题” “共线问题”uur uuu（如: AQ QB数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法

2、）；（如：A、0、B三点共线直线OA与OB斜率相等）； “点、线对称问题”坐标与斜率关系； “弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题 （提醒：注意两个面积公式 的合理选择）；（提醒：需讨论K是否存在）uur uuu OA?OB 0X1X2yy0“向量的数量积大于、等于、小于斜率关系（K1 K20或K10问题”K2）；6.化简与计算;7.细节问题不忽略;判别式是否已经考虑；抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想：1、“常规求值”问题： 需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题： 当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、 证明定值问题的方法： 常把

3、变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。4、处理定点问题的方法： 常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型：在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决

4、这类问题常通过取参数和特殊值 来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。（1）直线恒过定点问题21、已知点P（xo, y）是椭圆E : y2 1上任意一点，直线丨的方程为 赵 yy 1,直2 2线l0过P点与直线l垂直，点M (-1 , 0)关于直线|0的对称点为N，直线PN恒过一定点G,求点G的坐标。2、已知椭圆两焦点Fi、F2在y轴上，短轴长为2 2 ,离心率为,2umr uum(1 )求Fi P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于 A、B两点。求:P点坐标；(2 )求证直线3、已知动直线y k(x点,已知点M( 7,0)，3AB的斜率为定值;2

5、x1)与椭圆C : 一5uur uuir 求证：MA MB4、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2y53为定值22C:x-31如图所示，斜率为 k(k 0)且不P是椭圆在第一象限弧上一点，且 PF, PF2 1,过P作关于直线过原点的直线|交椭圆C于A , B两点，线段AB的中点为E ,射线OE交椭圆C于点G ,交直线x 3于点D( 3,m) . (I)求m2 k2的最小值；(n)若0G ? OD ? OE 求 证：直线l过定点;椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目

6、标函数，转化为函数的值域来解(1)从直线和二次曲线的位置关系出发，禾U用判别式的符号，确定参数的取值范围。2 25、已知直线|与y轴交于点P(0, m)，与椭圆C : 2x y1交于相异两点 A、B,且uuuuLinAP 3PB，求m的取值范围.(2) 利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式，确定参数的取值范围UULL ULLU UUU6、已知点 M (4, 0)，N(1, 0)，若动点 P 满足 MN MP 6| PN | (I)求动点P的轨迹C的方程；18 uuu uuu 12(H)设过点N的直线l交轨迹C于A , B两点，若 NA NB ，求直线l的75斜率的取值范围.

7、(3) 利用基本不等式求参数的取值范围2 2X2 V2UULL uulu7、已知点Q为椭圆E :1上的一动点，点 A的坐标为(3,1)，求AP AQ的取值18 2范围.8.已知椭圆的一个顶点为A(0, 1)，焦点在x轴上若右焦点到直线x V 2 20的距离为3.求：M _y(1 )求椭圆的方程ALc o(2)设直线y kx m(k 0)与椭圆相交于不同的两点M ,N 当M丿1| AM | |AN |时，求m的取值范围9.如图所示，已知圆C : (x 1)2 y2 8,定点A(1,0), M为圆上一动点，点P在AM上, 点N在CM上，且满足 AM 2AP, NP AM 0,点N的轨迹为曲线 E

8、.(I) 求曲线E的方程；(II) 若过定点F (0 , 2)的直线交曲线 E于不同的两点G, H (点G在点F , H之间),且满足FG FH ,求的取值范围.10、.已知椭圆E的中心在坐标原点 O，两个焦点分别为 A( 1,0)、B(1,0)，一个顶点为H(2,0) .求:(1) 求椭圆E的标准方程；(2) 对于X轴上的点P(t,O)，椭圆E上存在点 M，使得MP MH求t的取值范围X211.已知椭圆C: 2a；2 1(a b 0)的离心率为2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x y . 20相切.(I)求椭圆C的方程;(n)若过点 M (2, 0)的直线与椭圆 C相交于两点

9、代B，设P为椭圆上一点，且满 足OA OB tOP (O为坐标原点)，当PA PB v刃5时，求实数t取值范围.3椭圆中的最值问题一、常见基本题型：(1 )利用基本不等式求最值，12、已知椭圆两焦点F!、F2在y轴上，短轴长为2.2，离心率为一2 , P是椭圆在第一2 ujir unw厶象限弧上一点，且PF1 PF2 1，过P作关于直线FiP对称的两条直线PA、PB分别交 椭圆于A、B两点，求 PAB面积的最大值。(2 )利用函数求最值，2 213.如图，DP x轴，点M在DP的延长线上，且|DM| 2 | DP | .当点P在圆x y上运动时。(I)求点M的轨迹C的方程；2 2(n)过点T(

10、0,t)作圆x y 1的切线|交曲线C于a, B两点，求AOB面积S的最大值和相应的点 T的坐标。2x14、已知椭圆G:y1 过点(m,0)作圆x y 14的切线l交椭圆G于A,B两点将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值.思维拓展训练x2 y21、已知A、B、C是椭圆21(a b 0)上的三点，其中点 A的坐标为a b(2.3,0), BC 过椭圆 m 的中心，且 AC?BC 0,| BC | 2 | AC |.(1) 求椭圆m的方程；(2) 过点M (0,t)的直线I (斜率存在时)与椭圆 m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且| DP | | DQ |.求实数t的取

11、值范围.2 2 22.已知圆M : (X m) (y n) r及定点N(1,0)，点P是圆M上的动点，点 Q在NPuuuunrujur uuu上，点G在MP上，且满足NP = 2 NQ , GQ NP = 0 .(1 )若m 1,n0,r4，求点G的轨迹C的方程；(2)若动圆M和(1)中所求轨迹 C相交于不同两点 代B，是否存在一组正实数 m,n,r，使得直线MN垂直平分线段 AB，若存在，求出这组正实数；若不存在，说 明理由.3、已知椭圆C的中心在坐标原 点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为1 .(I)求椭圆C的标准方程；(n)若直线l : y kx m与椭圆

12、C相交于A , B两点(A, B不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆 C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.1)，平行于0M的直线I在y轴上的截距为 m (m丸)，1交椭圆于A、B两个不同点。(1 )求椭圆的方程；(2 )求m的取值范围；(3 )求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形参考答案1、解：直线10的方程为Xo(y yo)2y(x X0)，即 2yx xy xy0 0设M ( 1,0)关于直线10的对称点N的坐标为N (m, n)n则荷2y2y01 初解得322x) 3x0 4x0 4m2 2XoYox2 42x4 4x03 4x2 8x022y(4 x0

13、)直线PN的斜率为yx4x0_2y( x03 3x2 4)4x03 2x02 8x0 8从而直线PN的方程为:y。x04 4x3 2x2 8x0 8 z 2y0( x03 3x02 4) (x Xo)2y( x033x02 4)432x 4x 2x8x0 8y 1从而直线PN恒过定点G(1,0)2、解：(1)2设椭圆方程为%a2x21，由题意可得b22,b-2,c Z、2，所以椭圆的方程为2x-12则 F1(0,、.2),F2(0, .2)，设 P(X0,y)(x00, y0)umr 则PF1iuuu(X0, 2 y),PF2x0,y。),uuurPF1uuuu 22PF2 xo (2 y：)

14、12X2y。2Q点P(X0,y)在曲线上，则沧2从而 J (2 y)1，得 y&， 则点P的坐标为(1,-3。(2 )由(1 )知PF1 /X轴，直线PA、PB斜率互为相反数,y 2 k(x 1)_由 x2y2得(2 k2)x2 2kC.2 k)x (、2 k)2 4 0乞124设 B(Xb”b),则 Xb2k (k . 2)2 k2k22、2k 2k2同理可得xAk22 2k 2，则2 k2XaXb4 2k2 k2所以直线yBABk(xA 1)k(xB 1)8k的斜率YaYbXaXb2xk(x 1)代入得(12 23k )x6k2x36k44(3k221)(3kX26k22 .,为X25)X

15、13k248k220uur 所以MAUUITMB (x1(X1(1(13k2 3k2 1, yJ(X27)(x2 7)33k2)x1X2(73y2) (X1k2(x11)(x22k )(x1 X2)ek2)(決勺y1y21)499k2氏)49 k29423k 16k5 49 , 2 42k-3k2 1994、解：(I)由题意：设直线l : y kx n(n 0),y kx n由 x2消 y 得：(1 3k2)x2 6knx 3n2 3 0,y 132 2 2 2 2 236k n 4(1 3k )x 3(n1)12(3k1 n )0设AyJ、B(X22),AB的中点E(Xo, yo),则由韦达

16、定理得x1迤=13kn3kn,y。 kx on2 k n1 3kO rr所以中点E的坐标为(,-2),1 3k2 1 3k2吧，即 x。3k1 3kn,1 3k因为0、E、D三点在同一直线上,所以1 mk0EKOD，即无3,解得mOD，所以m2 k22k2，当且仅当k 1时取等号,即2 2m k的最小值为2.(n)证明:由题意知：n。，因为直线0D的方程八和,y所以由 2x3得交点1G的纵坐标为y2mm2 3又因为,yDm,且 0GOD ? 0E，所以2m mm 3n2 ,1 3k又由(I)知：m 1，所以解得kkn,所以直线l的方程为丨：y kxk,即有丨：y k(x1),令x 1得,y=0

17、,与实数k无关,5、解：(1 )当直线斜率不存在时:(2 )当直线斜率存在时：设丨与椭圆C交点为A%, yj BE y2)y kx m22得2x2 y21(k22)x22kmxm2102 2(2 km) 4(k22)( m 1)4(k222m 2)0(*)kmm2112 k22,x1 x2 2k2uuu uuu AP 3PB，二 Xi 3x2 ,2.消去 x2，得 3（x1x1x23x2X2）24x1x20,2km、2m21c3（门）2 4;0k2 2k22整理得4k2m2 2m2 k22 021 , 亠21 ,.22 2m2m时，上式不成立；m-时，k2 ,444m 122 2m21亠1k2

18、 0 ,1 m-或m 14m 1222222m 八、11把kfm代入(* ）得1 m或m 14m 1221亠1 1 m或一m12 21亠1综上m的取值范围为1m或_m1。2 2UJITUUUUUUU6、解：(i)设动点 P(x, y)，则 MP (x 4, y) , MN ( 3, 0) , PN (1 x, y).由已知得 3(x 4)6 (1 x)2( y)2 ,2 2化简得3x2 4y212，得壬 1.432 2所以点P的轨迹C是椭圆，C的方程为 1.43(n)由题意知，直线1的斜率必存在，不妨设过N的直线1的方程为y k(x 1),设A , B两点的坐标分别为 A(X1,yJ , B(

19、X2,y2).y k(x 1),2 2 2 2由 x2 必 消去 y 得(4 k 3)x 8k x 4k 120.43因为N在椭圆内，所以0.所以uju uun因为 NA NB (x1XiX-|X2X28k23 4k24k2 123 4k21)(X2 1) y2(1 k2)(X1 1)(X2 1)2(1 k ) X1X2(X1 X2)1(1k2)玄2 212 8k 3 4k3 4k229(1 k )3 4k22所以18 v空事 12 解得1 k2 2|x| |3y| 186xy18 .则(x 3y)22 2x (3y) 6xy 18 6xy 的取值范围是0, 36.x 3y的取值范围是6, 6

20、.uuu uur AP AQ x 3y 6 的取值范围是12 , 0.2 i8、解：(1 )依题意可设椭圆方程为爲 y2 1，则右焦点F . a2 1,0a由题设丨力一! 2 2|3，解得a23,2 故所求椭圆的方程为 y21.3(2)设 P(Xp,yp)、M(XM,yM)、N(Xnn),y kx mP为弦MN的中点，由x2得(3k21)x2 6mkx 3(m21) 0Q直线与椭圆相交，3k21,(6mk)2 4(3k2 1) 3(m2 1) 0m2xm xn3mk 由 .xp2 ，从而 y kxp m3k 1yP 1 m 3k21kAP -，又 |AM |3k2 m 3 k2 3mk2则：m

21、 3k 13mkm3k2Xp-，即 2mk把代入得m22m，解 0| AN I，3k2APMN ,1，由得k2也13 -，解得1综上求得m的取值范围是129、解:I) AM 2AP,NP AM 0.NP为AM 的垂直平分线， |NA|=|NM|2.又 |CN |NM | 22, |CN |AN| 2 2动点N的轨迹是以点 C (- 1 , 0 ), r A (1 , 0)为焦点的椭圆且椭圆长轴长为2a 22,焦距2c=2. a . 2,c 1,b2 1.2曲线E的方程为y21.2(n当直线GH斜率存在时，2设直线GH方程为y kx 2,代入椭圆方程y21,2Xi1 22得( k )x 4kx

22、30.2设 G(X1,yJ,H(X2,y2),则兀 x?又 FG FH,(X1,%X2,X1 X2 (1)X2,X1X2由0得k2324k,X1X231 , 21 , 2kk222)(X222)2X-1x(-2、2 2X1 X2)X2X2 .1k210、解：（1）(占21 k2)216又当直线,整理得1631,GH斜率不存在,方程为163(丄2k210,FG1)1.1,即所求的取值范围是由题意可得，c 1 , a 2 , b所求的椭圆的标准方程为:(1 )21 3fh， ,1)32y32 2(2 )设 M(X。，y) (Xo2)，则 X1 .43且 MP (t Xo, yo) , MH (2

23、x, y),由MP MH可得MP MH 0 ,即(t x)(2和 y。0.由、消去y0整理得t(2 x)1x0242xo 3 -X021 13t-(2X。）1X0442 2 x 2,2 t1.t的取值范围为（2,1).c解：（i）由题意知e a即a2 2b2.又因为b2所以e22.:；2 21，所以a1 12 c 2 ab22a2 , b2x2故椭圆C的方程为一2(n)由题意知直线 AB的斜率存在.设 AB : y k(x 2) , A(Xi, yj ,B(X2, y2),P(x,y),k(x2),得(1 2k2)x2 1.8k2x8k22 0.464k42 24(2k21)(8k22) 0,

24、k2x-1x28k21 2k2，XigX28k21222k2vOA OB tOP ,X2, yiy2)t(x,y)X2t8k22_t(1 2k )yiy2t1k(xi X2)4k4kt(1 2k2)/ PA PB v2 2点p在椭圆上=T)2k2)22(4k)2 22k2)225k216k22 2t (1 2k ). 1 k225“T，-(12k )(xiX2)2 4XigX2209209，(4k2,v16k21)(14k2 13)0,t2(1 2k2) t2丄2用亠2；6t或 一33 k216k22k282 ，1 2k213、2 212、解、设椭圆方程为爲笃a ba 2,b2, c1，由题意

25、可得设AB的直线方程：y , 2xm .y 、2x m由 x2 y2得 4x21242 2mx2 m4 0,由(2、2m)2 16(m24)0，得2 2m 2 2P到AB的距离为d|m|f ?2故椭圆方程为4当且仅当m解:设点M的坐标为则 xXo, y11 川 12| m |PAB 2 | AB | d 2(42 m ) 3；m2( m28)1m2m28 8(2 )22 2,2 2取等号,三角形PAB面积的最大值为 2 。x, y，点P的坐标为X。，y ，2y0，所以 x0 x，yo 2，2 2 2因为P X。，y在圆x y 1上，所以x。2yo将代入，得点 M的轨迹方程C的方程为（n）由题意

26、知，|t | 1 .当t 1时，切线丨的方程为y 1，点A、B的坐标分别为（一扌,1）,（扌,1）,此时| AB |,3，当t1时，同理可得| AB |. 3；y kX t,由 2 y2 得(4 k2)X2 2ktX t240X21,4设A、B两点的坐标分别为(Xi, yd, 丫2)，则由得:X1X22 kt4 k2 ,X1X2t244 k2又由丨与圆x22y 1相切,得 |t L 1,即 t2 k21.* 1X1)2(y2 %)2j(1 k2)上二 i(4 k )4(t24)24 k4 3|t|因为|AB |4 3|t |4 3 c是1 3 2,且当 t 3|t|t|3 时，|AB|=2，所

27、以|AB|的最大值为依题意，圆心O到直线AB的距离为圆X21的半径,所以 AOB面积S !|ab2当且仅当t -3时,AOB面积S的最大值为1，相应的T的坐标为14、解：由题意知，|m| 1.1时，切线丨的方程为x1，点A,B的坐标分别为(1,(1,2此时|AB| 3;1时，同理可得|AB| 3 ;y k(x m)由 x22 得(1 4k2)x2 8k2mx 4k2m2 4 0.7 y 1设A,B两点的坐标分别为(xi, yi),( X2, y2).又由丨与圆x2 y2 1相切得|km| 1，即m2k2 k2 1.Vk7所以 | AB| , (x2 xj2 (y2 yj2、(1 k2)(X2

28、x)2 4x1X2(1 k*4(4k2m21 4k24)4、3|m|m2 3由于当m 1时，|AB| 3，|AB| m 34 33|m|m|当且当m.3时,| AB | 2 所以|AB|的最大值为2.x2解(1)椭圆m :126ktx 3t2120t24 12k2设 P(X1, ydQ(X2 ,y2 ),PQ 中点 H (x。, y。)x1 x23kt221 3k则Xoy。kx。t3k2选做24(2)由条件 D( 0，- 2)1当k=0时，显然2ti将代入得化简得t 1 3k21t4t的范围是(1 , 4)综上 t ( 2 , 4)ujuujir2、解：(1) Q NP 2NQ, 点Q 为 P

29、N 的中点，uui uu又QGQ NP 0, GQ PN 或 G 点与 Q 点重合 |PG|GN|.又 |GM | GN | | GM | |GP | | PM | 4.点G的轨迹是以M , N为焦点的椭圆， 2 2且a 2,c 1 , b - a2 c23, G的轨迹方程是-y 1.43(2)解：不存在这样一组正实数，下面证明：由题意，若存在这样的一组正实数，当直线MN的斜率存在时，设之为 k ,故直线 MN 的方程为：y k(x 1)，设 A(X1,yJ, B(X2,y2), AB 中点 D(x,y),2 2 里 1则4232，两式相减得：X2y2143(X1 X2)(xX2)(y1丫2)(力y2)430 X1X2y1y2注意到7121，且X023x01，则-,x1x2k*y24*0 ky02又点D在直线MN上，y。k(Xo1),代入式得：x。4 因为弦AB的中点D在所给椭圆C内,Xo2 ,这与x04矛盾，所以所求这组正实数不存在.当直线MN的斜率不存在时,直线MN的方程