第一章第一节11随机事件及其运算

1、第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.1 随机事件及其运算随机事件及其运算1.1.1 随机现象随机现象两类现象两类现象：确定现象确定现象:在一定条件下必然出现的现象在一定条件下必然出现的现象抛一石块,观察结果;导体通电,考察温度;异性电菏放置一起,观察其关系随机现象随机现象:我们事先无法准确预知其结果的现象我们事先无法准确预知其结果的现象某人射击一次,考察命中情况;某人射击一次,考察命中环数;掷一枚硬币,观察向上的面;从一批产品中抽取一件,考察其质量; 5.将来某日某种股票的价格是多少？将来某日某种股票的价格是多少？随机现象随机现象 在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不出现，

2、呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性在相同条件下多次重复某一试验或观察时，其各种结果会表现出一定的量的规律性，这种规律性称之为统计规律性。概率论与数理统计的研究对象概率论与数理统计的研究对象 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门科学。随机现象的普遍存在性决定了它的广泛应用性。概率论与数理统计称为随机数学概率论与数理统计称为随机数学 为了对随机现象的统计规律性进行研究，就需对为了对随机现象的统计规律性进行研究，就需对随机现象进行重复观察。我们把对随机现象的观察随机现象进行重复观察。我们把对随机现象的观

3、察称为称为随机试验随机试验，并简称为，并简称为试验试验，记为，记为E. 例如，观察某射手对固定目标进行射击；抛一枚硬币三次，观察出现正面的次数；记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验. 随机试验随机试验具有下列特点：具有下列特点：1、可观察性、可观察性：试验结果可观察，试验结果可观察，：试验结果可观察，试验结果可观察， 结果结果 是明确的；是明确的；2、不确定性、不确定性：每次试验出现的结果事先不能准确预：每次试验出现的结果事先不能准确预知知.样本点：样本点：随机试验的每一种可能的不能再分解的随机试验的每一种可能的不能再分解的结果常记为结果常记为. 样本空间：一个随机实验样本

4、点的全体样本空间：一个随机实验样本点的全体的全体，记为的全体，记为1.1.2 样本空间样本空间 例例1.随机试验E：10件产品8件正品2件次品，无放回的的任一抽取两件，一次取一件，观察正品、次品出现的情况，写出其样本空间及其样本点；若一次取两件结果又如何？1（ ）若若一一次次解解：取取一一件件无无放放回回1234样样本本点点为为：（正正，正正），（正正，次次），（次次，正正），（次次，次次），1234样本空间为：， 2（ ）若若一一次次取取两两件件123 样样本本点点为为：（正正，正正），（正正，次次），（次次，次次），123样本空间为：， 例例2.一次掷两颗骰子，（一次掷两颗骰子，（1）观察

5、两颗骰子）观察两颗骰子出现的点子搭配情况，写出样本点及样本空间；（出现的点子搭配情况，写出样本点及样本空间；（2）若观察两颗点子数之和，写出样本点及样本空间。若观察两颗点子数之和，写出样本点及样本空间。1267812313236123611 11 21 62 12 22 66 16 26 6（ ）样本点：（ ， ），（ ，）， ，（ ，），（ ， ），（ ，）， ，（ ，）， （ ， ），（ ，）， ，（ ，），样本空解间为：，：， 1211121122312 （ ）样本点为：， ，样本空间为：， ， ， 课堂练习：课堂练习：写出下列各随机事件的样本空间：写出下列各随机事件的样本空间：（1）记

6、录一个小班数学考试的平均分数；）记录一个小班数学考试的平均分数； （2）10只产品有只产品有3只次品，每次从中取只次品，每次从中取1只（不只（不放放 回抽样）直到把回抽样）直到把3只次品都取出，记录抽取的次数；只次品都取出，记录抽取的次数； （3）10只产品有只产品有3只次品，每次从中取只次品，每次从中取1只（有只（有放回抽样）直到把放回抽样）直到把3只次品都取出，记录抽取的次数；只次品都取出，记录抽取的次数； （4）生产产品直到）生产产品直到10件正品，记录生产产品的件正品，记录生产产品的次数；次数； （5）一个小组有）一个小组有A、B、C、D、E5人，要选正、人，要选正、副组长各一人（一个

7、人不能兼二职），观察选举结果；副组长各一人（一个人不能兼二职），观察选举结果；（6）甲乙二人下棋一局，观察棋局结果；）甲乙二人下棋一局，观察棋局结果；0 11001,(2)3,4,10,(3)3,4,(4)10,11,(5),(6)答案：（ ）甲胜乙负，甲负乙胜， 平局nn nnAB AC AD AE BABC BD BE CA CB CD CE DA DB DC DEEA EB EC ED 随机事件（偶然事件）随机事件（偶然事件）：随机事件总有多种可能的结果，我们将随机试验E的每一个可能出现的结果，称为随机事件，简称事件。常用A、B、C表示。 基本事件：基本事件：不能分解为其它事件的组合。复

8、合事件：复合事件：由基本事件组合而成的事件。必然事件：必然事件：每次试验必然出现的事件不可能事件：不可能事件：每次试验必然不出现的事件。记为 记记为为1.1.3 随机事件随机事件 引例引例在检验一批圆柱形产品时，需要产品的长度和直径都合格才算合格，于是考察以下事件：“产品合格”，“产品不合格”，“长度合格”，“长度不合格”，“直径合格”，“直径不合格”，“长度合格而直径不合格”，“长度不合格而直径合格”1.1.5 事件间的关系事件间的关系一一、包包含含关关系系：ABABABBA 如如果果事事件件 发发生生必必然然导导致致 发发生生即即属属于于 的的每每一一个个样样本本点点一一定定属属于于 ，则

9、则称称事事件件 包包含含与与事事件件 ，或或称称事事件件 包包含含事事件件 ， ABBA记记为为或或 有有“长长度度不不合合格格” “产产品品显显然然不不合合格格”ABABABABAB 如如果果且且，则则称称试试验验 与与试试验验 相相等等，记记作作二二、事事件件的的相相等等ABAB 三三、事事件件与与 不不能能同同时时发发生生互互不不相相容容事事件件（或或称称互互斥斥事事），即即件件、 ABP5例例1.1.6P5例例1.1.7事事件件的的并并一一、（或或和和）ABABAB 事事件件 与与 至至少少有有一一个个发发生生，记记作作或或 “长长度度不不合合格格”“直直径径不不合合格格”“产产品品显

10、显然然有有不不合合格格”AB1.1.6 事件的运算事件的运算事事件件的的积积二二、（或或交交）ABABAB 事事件件 和和 都都发发生生，记记作作或或AB “直直径径合合格格”“长长显显然然度度合合格格”“：产产品品合合格格”AB,A-B 三三、事事件件 发发生生而而事事件件 不不发发生生 记记作作事事件件的的差差ABAAAA四四、事事件件 不不发发生生，立立事事件件记记为为 对对有有限限个个或或可可列列（数数）个个事事件件的的并并与与交交（五五、或或和和与与积积） 112121122.nnnnninn 设设有有 个个事事件件，则则称称“，至至少少有有一一个个发发生生”这这一一事事件件为为事事

11、件件，作作，的的并并，记记或或1212112.nnninn 记记作作 则则称称“，都都发发生生”这这一一事事件件为为事事件件的的交交或或， n 若若可可列列个个就就把把 改改为为 。事件的运算规律事件的运算规律由集合的运算律，由集合的运算律，易给出事件间的运算律易给出事件间的运算律. 设设CBA,为同一随机试验为同一随机试验E中的事件，中的事件，则有则有(1) 交换律交换律(),ABBAABBA或();ABBAABBA或(2) 结合律结合律()(),()(),ABCABCABCABC 或()()();ABCABCAB CA BC 或（(3)分配律分配律()()()()()(),ABCACBCA

12、B CACBC 或()()()()()();ABCACBCABCACBC (4) 自反自反律律;AA (5)对偶律对偶律().ABABABAB或注注上述各运算律可推广到有限个或可数个事件的情形上述各运算律可推广到有限个或可数个事件的情形.(AB)ABA+BAB, 或 事件之间的关系与运算完全和集合之间的关事件之间的关系与运算完全和集合之间的关系与运算一致，只是术语不同而已。系与运算一致，只是术语不同而已。记号记号 概率论概率论 集合论集合论 样本空间样本空间, 必然事件必然事件 空间空间 不可能事件不可能事件 空集空集 样本点样本点 元素元素 A B A发生必然导致发生必然导致B发生发生 A是

13、是B的子集的子集 AB= A与与B互不相容互不相容 A与与B无相同元素无相同元素 A B A与与B至少有一发生至少有一发生 A与与B的并集的并集 AB A与与B同时发生同时发生 A与与B的交集的交集 A B A发生且发生且B不发生不发生 A与与B的差集的差集 A不发生、对立事件不发生、对立事件 A的余集的余集A.AB5C5CABA-BABACC-A AB.3 掷一枚骰子的试验，观察出现的点数， 事件 表示取到的是奇数点，事件 表示点数小于 ， 表示小于的偶数点，用集合的方法表示下列事件 ， ， ， ，例S1 2 3 4 5 6，解，： A1 3 5 ，B1 2 3 4 ，C2 4 ，AB1 2

14、 3 4 5，A-B5 AB1 3 ， ，AC ，C-A2 4 ，B1 2 3 4 6，例例4甲甲, , 乙乙, , 丙三人各射一次靶丙三人各射一次靶, , 记记A “甲种甲种靶靶”, ,B “乙中靶乙中靶”, ,“丙中靶丙中靶”, ,C 则可用上述则可用上述三个事件的运算三个事件的运算(1)(3)(4)(2)“甲未中靶甲未中靶”: :;A;AB“甲中靶而乙未中靶甲中靶而乙未中靶”: :“三人中只有丙未中靶三人中只有丙未中靶”: :;ABC;ABCABCABC“三人中恰好有一人中靶三人中恰好有一人中靶”: :(6)(7)(5)“三人中至少有一人中靶三人中至少有一人中靶”: :“三人中至少有一人

15、未中靶三人中至少有一人未中靶”: :“三人中恰有两人中靶三人中恰有两人中靶”: :ABC或或;ABCABC或或;ABC;ABCABCABC来分别表示下列各事件来分别表示下列各事件: :(10)(9)(8) “三人中至少有两人中靶三人中至少有两人中靶”: :;ABACBC“三人中均未中靶三人中均未中靶”: :;ABCABC或或;ABCABCABC“三人中至多一人中靶三人中至多一人中靶”: :(11)“三人中至多两人中靶三人中至多两人中靶”: :.ABCABC或或注注: : 用其它事件的运算来表示一个事件用其它事件的运算来表示一个事件, , 方法往往方法往往不唯一不唯一, , 如本例中的如本例中的

16、 (6)和和 (11)实际上是同一事件实际上是同一事件, ,读者应学会读者应学会特别在解决特别在解决具体问题时具体问题时, , 往往要更具需要往往要更具需要方法方法. .用不同方法表达同一事件用不同方法表达同一事件, ,选择一种恰当的表示选择一种恰当的表示例例5.设设A、B、C为三个随机事件，试用事件的运为三个随机事件，试用事件的运算表示下列事件：算表示下列事件：1）A、B、C中至少有一个发生；中至少有一个发生；2）A、B、C都发生都发生;3）只有事件）只有事件A发生；发生；4）A、B都发生，都发生，C不发生；不发生；5）A、B、C中恰有一个发生；中恰有一个发生；6）A、B、C都不发生；都不发

17、生；7）A、B、C不都发生；不都发生；8）A、B、C中恰有两个事件发生；中恰有两个事件发生；9）A、B、C中至少有两个事件发生；中至少有两个事件发生；10）不多于一个事件发生；）不多于一个事件发生；11）不多于两个事件发生；）不多于两个事件发生；1BC解解）：，2ABC），3)ABCABC,4)C,5)ABCABCABC,6)ABCABC,7)ABCABC，8)ABCABCABC9),ABCABCABCABCABBCCA10),ABCABCABCABCABBCCA11)7ABCABCABCABCABCABCABCABC （与与第第 小小题题一一样样）ABA(B-A)AABABBABABAAB6

18、ABAB证证明明：例例 ：AABB解：解：1.设事件设事件A=A=甲种产品畅销，乙种产品滞销甲种产品畅销，乙种产品滞销 ， 则则A A的对立事件为（的对立事件为（ ） 甲种产品滞销，乙种产品畅销；甲种产品滞销，乙种产品畅销； 甲、乙两种产品均畅销；甲、乙两种产品均畅销； 甲种产品滞销；甲种产品滞销； 甲种产品滞销或者乙种产品畅销。甲种产品滞销或者乙种产品畅销。2.2.设设x x表示一个沿数轴做随机运动的质点位表示一个沿数轴做随机运动的质点位 置，试说明下列各对事件间的关系置，试说明下列各对事件间的关系 A=|x-a|A=|x-a|,B=x-a,B=x-a(0(0） A=xA=x2020，B=x

19、20B=x20 A=xA=x2222，B=xB=x1919课堂练习课堂练习A与与B对立对立A与与B互斥互斥BA 3.3.已知事件已知事件A A与与B B是对立事件，求证与也是对立事件是对立事件，求证与也是对立事件AB分析：分析：由A与B是对立事件，有 AB AB ABAB ABAB 4.对对立立事事件件与与互互不不相相容容事事件件的的区区别别？联联系系？ABABAB 事事件件 与与 不不能能同同时时发发生生，即即互互不不相相容容事事件件: :、 AAAA事件 不发生，记作 ,显对立事然件: AA对对立立事事件件一一定定是是互互不不相相容容事事件件，互互不不相相容容事事件件不不一一定定是是对对立

20、立事事件件，,ABAB 、 互互不不相相容容，只只有有,、 对立，不但有还有ABABAB 注意点注意点(1)基本事件互不相容，基本事件之并基本事件互不相容，基本事件之并=AAAAAAAAAAAABABB 注意点注意点(2),()()ABABBABAABAABABABAABABAABAB 设为样本空间，F 是由的子集组成的集合 类，若F 满足以下三点,则称 F 为事件域1. F ;2. 若 AF ，则 F ; A3. 若 F ，n=1, 2, , 则 F .nA1nnA注：事件域又称注：事件域又称 域或域或 代数代数教材教材P9例例1.1.101.1.7 事件域事件域121121, ,1,2,;2),设 ， ， 是有限个或可列个事件，如果其满足：）则称 ， 样本空间的样本空间的一个分一个分割。割nijiiAAAA Aij i jAAA 1A2AnA教材教材P10例例1.1.11内容小结内容