近世代数考试复习

1、V近世代数复习题>一、定义描述（8'1、 群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。如果满足以下条件：（1） 结合律成立，即对 G中任意元素a, b, c都有（a b） c = a （be）.（2） G中有元素e.叫做G的左单位元，它对 G中每个元素a都有e a = a .（3） 对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e . 则称G对代数运算 做成一个群。12、 正规子群：设N是群G的一个子群，如果对 G中每个元素a都有aN=Na，即aNa =N， 则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。3、 环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并

2、用加号+表示，另一个叫做乘法用 乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2） R对乘法满足结合律：（ab）e = a（ be）；（3） 乘法对加法满足左右分配率：a（ b+e）= ab + ae， （ b+e）a = ba + ea .其中a，b，e为R中任意元素，则称 R对这两个代数运算作成一个环。4、 极大理想：设N是环R的一个理想，且 NM R如果除R和N夕卜，R中没有包含N的其它 理想，则称 N为环R的一个极大理想。5、 惟一分解整环：设K是有单位元的整环。如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能 惟一分解，则称K为惟一分解整环。整数环Z及域F上多项式环F x 都是惟一分解整环。

3、6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1 ）有一个从K的非零元集K - 0到非负整数集的映射 “存在；（2）这个2对K中任意元素a及bM 0,在K中 有元素q, r使a=bq + r, r=0 或“ （r）< 2 （b）,则称R关于”作成一个欧氏环。 7、 素理想：设R是一个交换环，P ? R 如果ab P => a P或b P,其中a, b R,则 称P是R的一个素理想。显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想 0是R的素理想当且仅当 R无零因子， 亦即R是一个整环。& 主理想：设R是一个环，任取 a R, R中包含a的全部理想的交也是 R的一个理想，且 是R的包含

4、元素a的最小理想，并称其为 R的由a生成的主理想，记为 <a > .9、理想：设N是环R的一个子加群，即对N中任意元素a, b,差a-b仍属于N,如果又有r R, a N = ra N,则称N是环R的一个左理想；如果 r R, a N = ar N,则称N是环R的一个右理想；如果N既是R的左理想又是右理想，则称N是环R的一个双边理想，简称理想，并用符号N ? R表示。否则记为 N ? R .10、 商群：群G的正规子群N的全体陪集对于陪集的乘法作成一个群，称为G关于N的商 群，记为G/N .11、 主理想环：设K是一个有单位元的整环。如果K的每一个理想都是一个主理想，则称K是一个主

5、理想整环。整数环和域F上的多项式环F x都是主理想整环。但是，整数环Z上的多项式环 Z x不是一个主理想整环。二、填空(30'1、集合M的一个分类决定M的一个等价关系。2、集合M的一个等价关系决定 M的一个分类。3、 设G是一个半群，则 G作为成群的充要条件是，对G中任意元素a、b，方程ax=b , ya=b在G中都有解。4、群G的一个非空子集 H作成子群的充要条件是：(1) a, b H = ab H ;(2) a H = a-1 H.5、设H,k是群G的两个子群，则 HKW G HK=KH.6、整数加群Z是无限循环群。7、 无限循环群a有两个生成元，即a与a-1； n阶循环群有“(

6、n)个生成元，其中2 (n)为Euler函数。例如，4、5、6阶循环群分别有2 (4) =2 , 2 (5) =4 , 2 (6) =2个生成元。&设a是任意一个循环群。(1 )若|a|= 3 则a与整数加群Z同构；(2)若|a|=n，则a与 n次单位根群 Un同构。9、循环群的子群仍为循环群。10、不相连循环相乘时可以交换。11、k循环的阶为k；不相连循环乘积的阶为各因子的阶的最小公倍。12、(J丄丄agrange 17361813)设H是有限群G的一个子群，则|G|=|H|(G: H)从而任何子集的阶和指数都是群G的阶的因数。13、有限群中每个元素的阶都整除群的阶。14、左陪集的重

7、要性质(1) a aH .(2) a H aH=H .( 3) b aH aH=bH .-1-1(4) aH=bH,即a与b同在一个左陪集中a b H (或b a H)。(5) 若aHA bHM $ ,贝U aH=bH对任二陪集来说，要么相等要么无公共元素。15、循环群的商群也是循环群。16、 (第一同构定理)设”是群G到G的一个同态满射，又 Ker®N ? G, N=“ ( N),则 G/N 也 G/N .17、 (第二同构定理)设 G是群，又HW G, N ? G 则HA N ? H,并且HN/N也H/(H A N).18、(第三同构定理)设 G是群，又N ? G, H<

8、G/N .则(1) 存在G的惟一子群 H N,且H=H/N ;(2) 又当 H ? G/N 时，有惟一的 H ? G 使 H=H/N 且 G/H也 G/N/ H/N .19、设G是一个群，a G,贝U1(1) b a： x > axa(x G)是G的一个自同构，称为 G的一个内自同构；(2) G的全体内自同构作成一个群，称为群G的内自同构群，记为Inn G;(3) Inn G ? Aut G .20、环R的非空子集S作成子环的充要条件是：a, b S => a - b S , a, b S => ab S .21、 如果p是素数，则环Zp是一个域；如果n是合数，则环Zn有零因

9、子，从而不是域。22、 (环同态基本定理)设R与R是两个环，且 R R .则(1) 这个同态核N,即零元的全体逆象，是R的一个理想；(2) R/N 也 R.23、 设P是交换环R的一个理想。则 P是R的素理想的充分与必要条件是，商环R/P无 零因子，即为整环。24、 整数环Z的理想N是Z的极大理想，当且仅当N是由素数生成的理想。25、整环K中的元素一定是不可约元。26、 设K是任意一个惟一分解整环。则p是K的元素当且仅当p是K的不可约元。27、设K是有单位元的整环。如果(1) K中每个既不是零又不是单位的元素都可分为不可约元的乘积；(2) K中的不可约元都是素元；则K是一个惟一分解整环。28、

10、Gauss整环Z i是主理想整环。29、整数环Z是欧氏环。30、域F上多项式环F x是一个欧氏环。32、主理想整环是惟一分解整环。(反之不成立)33、 群G中关于子群H的互异的左(或右)陪集的个数，叫做H在G里的指数，记(G: H).34、设p K .pz 0,且p不是单位。如果 p|ab就必有p|a或p|b，则称p是K的一个元素。35、 同态：反身、传递(不满足对称)；同构：反身、传递、对称。例一、设 d = (14) (235), T =(153) (24).求 d T d 1 =?解：由定理可知：-1d T d :=(d (1) d(5) d (3) ( d (2) d (4)=(425

11、) (24)例二、证明：K= (1), ( 12) (34), (13) (24), (14) (23) 作成交代群 A4 的一个交换子 群。这个群(以及与其同构的群)称为 Klein ( C丄.Klein, 1849-1925)四元群。证显然K4中的置换全为偶置换，而且除恒等置换外其余三个置换的阶都是2,而且其中任二个相乘等于第三个，即 Ki对置换的乘法封闭。从而 &是A4的一个子群，且 显然是一个交换子群。(证毕)例三、证明：Z i=a + bi|a , b Z 作成一个有单位元的整环(这个环称为Gauss整环)，并且其单位群是± 1，土 i .证 Z i 作成有单位元的

12、整环显然。又显然土1，土 i均为其单位。下证：Z i 没有别的单位。2 2设& =a + bi 是 Z i的任一单位，则有 n Z i 使 £ n =1,1 & II n | =1 .2 ,这只有 | £ | =a2 + b2=1，从而只有 a=± 1, b=0;或 a=0, b= ± 1 .即£只能是土 1及土 i .因此，土 1和土 i是环Z i 的全部单位。故U( Z i ) =± 1,± i .例四、在模8剩余类环Z8中，令< 4 >= 0,4 , < 2 >=0,2 ,4,6

13、 ，则< 4 >不是Z&的素理想(因为2 2=4 < 4 >，但是2 < 4 >)，也不是Z8的极大理想(因为< 4 > < 2 > Z&). 但是，易知< 2 >既是Z8的素理想也是 Zs的极大理想。例五、设G=< a >为6阶循环群。给出 G的一切生成元和 G的所有子群。5解：a, a ;"(6) =2 .例六、试求下列各置换的阶：t 1= (1378)T 3=123456641523T 4=123456576314(24);【4】 t 2= (1372) (234);【6】;【3】72 ；【6】例七、设 t = ( 327) (26) (14) , d = (134) ( 57).则-1(T T d =(13) (2654)d -1T d = (265) ( 34)三、判断(10'1、 在环R中，当a不是左零因子时，则 ab =ac ,0 => b=c ;(1)当a不是右零因子时，则 ba= ca , a* 0=> b