第一部分第二章空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标空间两点间的距离

1、第二章第二章 解析几何初步解析几何初步3.1 空间直角坐标系的建立空间直角坐标系的建立3.2 空间直角坐标系中点的坐标空间直角坐标系中点的坐标3.3 空间两点间的距离3 空间直角坐标系空间直角坐标系理解教材新知把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三知识点三 我们知道，数轴我们知道，数轴Ox上的点上的点M，可用与它对应的实，可用与它对应的实数来确定其位置；平面直角坐标平面上的点数来确定其位置；平面直角坐标平面上的点M可以用一可以用一对有序实数对有序实数(x，y)来确定其位置那么，一架空中飞行来确定其位置那么，一架空中飞行的飞机的位置，该怎样确定呢？的飞机的位置，该怎样确定呢？

2、 问题问题1：只给出飞机所在位置的经度和纬度，能确：只给出飞机所在位置的经度和纬度，能确定飞机位置吗？定飞机位置吗？ 提示：提示：不能具体确定不能具体确定 问题问题2：如果不仅给出飞机位置的经度和纬度，再给：如果不仅给出飞机位置的经度和纬度，再给出高度，能确定飞机的位置吗？出高度，能确定飞机的位置吗？ 提示：提示：能确定能确定 问题问题3：在空间，为了确定空间任意点的位置，需要：在空间，为了确定空间任意点的位置，需要几个实数呢？几个实数呢？ 提示：提示：需要三个实数需要三个实数 1空间直角坐标系右手系的建立方法空间直角坐标系右手系的建立方法 (1)将将x轴和轴和y轴放置在水平面上，那么轴放置在

3、水平面上，那么z轴就轴就水平面水平面 (2)伸出伸出 手，让四指与手，让四指与 垂直，并使四指垂直，并使四指先指向先指向 ，然后让四指沿，然后让四指沿 方向旋转方向旋转90指向指向 ，此时，此时 指向即为指向即为z轴正轴正向，向， 这样的坐标系为右手系这样的坐标系为右手系垂直于垂直于右右大拇指大拇指x轴正方向轴正方向握拳握拳y轴正方向轴正方向大拇指大拇指 2空间直角坐标系中的有关名称空间直角坐标系中的有关名称 (1)在空间直角坐标系中，在空间直角坐标系中， 叫作原点，叫作原点， 轴统称为坐标轴轴统称为坐标轴 (2)由由 确定的平面叫坐标平面，确定的平面叫坐标平面，x、y轴确定轴确定的平面记作的

4、平面记作 平面，平面，y、z轴确定的平面记作轴确定的平面记作 平面，平面，x、z轴确定的平面记作轴确定的平面记作 平面平面坐标轴坐标轴Ox，y，zxOyyOzxOz 数轴上点的坐标可用一个实数表示，如数轴上点的坐标可用一个实数表示，如A(2)；平面；平面直角坐标系中点的坐标可用一个有序实数对表示，如直角坐标系中点的坐标可用一个有序实数对表示，如A(2,1)；在空间直角坐标系中，点的坐标可用有序实数组；在空间直角坐标系中，点的坐标可用有序实数组(x，y，z)表示表示 问题问题1：y轴上点的坐标有什么特点？轴上点的坐标有什么特点？ 提示：提示：可用可用(0，y,0)表示表示 问题问题2：点：点(2

5、,0，1)，(1,0,3)，(2,0,3)有什有什么特征？这些点的位置如何？么特征？这些点的位置如何？ 提示：提示：这些点纵坐标为零，都在这些点纵坐标为零，都在xOz平面上平面上 问题问题3：点：点(2,1,3)关于关于x轴和轴和xOy平面的对称点平面的对称点坐标各是什么？坐标各是什么？ 提示：提示：(2，1，3)，(2,1，3) 空间直角坐标系中点的坐标空间直角坐标系中点的坐标 (1)类似于平面直角坐标系中点的坐标表示，在空类似于平面直角坐标系中点的坐标表示，在空间直角坐标系中，用一个间直角坐标系中，用一个 来刻画空间点来刻画空间点的位置，任意一点的位置，任意一点P的坐标记为的坐标记为 第一

6、个是第一个是x坐标，第二个是坐标，第二个是 坐标，第三个是坐标，第三个是 坐标坐标三元有序数组三元有序数组(x，y，z)yz (2)如果如果P在在xOy平面上，则平面上，则P的坐标为的坐标为 如果如果P不在不在xOy平面上，过点平面上，过点P作作xOy平面的垂线垂足为平面的垂线垂足为P(x，y,0)，如果，如果P与与Z轴的正半轴在轴的正半轴在xOy平面的同侧，那么平面的同侧，那么Z ；否则；否则Z ，则，则P在空间直角坐标系中的坐标为在空间直角坐标系中的坐标为(x，y，z).(x，y,0)|PP|PP| 问题问题1：在空间直角坐标系中，点：在空间直角坐标系中，点M(0,0,3)到原点的到原点的

7、距离多少？距离多少？ 提示：提示：|OM|3. 问题问题2：点：点N(3,0,4)到原点的距离为多少？到原点的距离为多少？问题问题3：点：点A(3，1,0)与点与点B(1,2,0)的距离为多少？的距离为多少？ 问题问题4：如果：如果|OP|的长为的长为r，那么，那么x2y2z2r2表表示什么图形？示什么图形？ 提示：提示：表示以表示以O为球心，以为球心，以r为半径的球面为半径的球面 1空间直角坐标系的建立解决了空间点的位置，要空间直角坐标系的建立解决了空间点的位置，要和建立平面直角坐标系一样，强调和建立平面直角坐标系一样，强调“三要素三要素”，即原点、坐，即原点、坐标轴方向和单位长度标轴方向和

8、单位长度 2在空间直角坐标系中，给出具体的点写出它的在空间直角坐标系中，给出具体的点写出它的坐标和根据坐标画出点的位置是重要的两个方面在这个坐标和根据坐标画出点的位置是重要的两个方面在这个过程中，可以借助于长方体加以联想和理解过程中，可以借助于长方体加以联想和理解 3在空间直角坐标系中，对于空间任意点在空间直角坐标系中，对于空间任意点P，都可，都可以用一个三元有序数组以用一个三元有序数组(x，y，z)来表示；反之，任何一个来表示；反之，任何一个三元有序数组三元有序数组(x，y，z)，都可以确定空间中的一个点，都可以确定空间中的一个点P.这这样，点与三元有序数组之间建立了一一对应的关系样，点与三

9、元有序数组之间建立了一一对应的关系 4根据空间两点间距离公式，已知空间两点坐标，根据空间两点间距离公式，已知空间两点坐标，就可以代入公式求出距离就可以代入公式求出距离 5对于已知距离求字母值的问题，要使用方程的思对于已知距离求字母值的问题，要使用方程的思想，通过距离公式解方程求得想，通过距离公式解方程求得 例例1如图，棱长为如图，棱长为1的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E是是AB的中点，的中点，F是是BB1的中点，的中点，G是是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐三点的坐标标. 思路点拨思路点拨取取D为空间坐标系的原点，过

10、为空间坐标系的原点，过D点的三点的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，按定义确定条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，按定义确定E，F，G坐标坐标答案：答案：B答案：答案：D3在空间直角坐标系中标出下列各点：在空间直角坐标系中标出下列各点： A(0,2,4)，B(1,0,5)，C(0,2,0)，D(1,3,4)， 解：先根据解：先根据x，y确定各点在确定各点在xOy平面上相应点的位置，平面上相应点的位置， 再根据它们的再根据它们的z坐标来确定出在空间直角坐标系的位坐标来确定出在空间直角坐标系的位置置 (如图如图) 例例2求点求点M(a，b，c)关于坐标平面，坐标轴及关于坐标平面，坐标轴

11、及坐标原点的对称点的坐标坐标原点的对称点的坐标. 思路点拨思路点拨类比平面直角坐标系中点的对称问题，类比平面直角坐标系中点的对称问题，确定坐标和位置即可确定坐标和位置即可 精解详析精解详析点点M关于关于xOy平面的对称点平面的对称点M1的坐标为的坐标为(a，b，c)，关于，关于xOz平面的对称点平面的对称点M2的坐标为的坐标为(a，b，c)，关于，关于yOz平面的对称点平面的对称点M3的坐标为的坐标为(a，b，c) 关于关于x轴的对称点轴的对称点M4的坐标为的坐标为(a，b，c)， 关于关于y轴的对称点轴的对称点M5的坐标为的坐标为(a，b，c)， 关于关于z轴的对称点轴的对称点M6的坐标为的

12、坐标为(a，b，c)， 关于原点对称的点关于原点对称的点M7的坐标为的坐标为(a，b，c) 一点通一点通空间对称点的坐标规律空间对称点的坐标规律 空间对称问题要比平面上的对称问题复杂，除了关空间对称问题要比平面上的对称问题复杂，除了关于点对称，直线对称，还有关于平面对称，在解决这一类于点对称，直线对称，还有关于平面对称，在解决这一类问题时，注意依靠问题时，注意依靠x轴、轴、y轴、轴、z轴作为参照直线，坐标平轴作为参照直线，坐标平面为参照面，通过平行、垂直确定出对称点的位置空间面为参照面，通过平行、垂直确定出对称点的位置空间点关于坐标轴、坐标平面的对称问题，可以参照如下口诀点关于坐标轴、坐标平面

13、的对称问题，可以参照如下口诀记忆：记忆：“关于谁谁不变，其余的相反关于谁谁不变，其余的相反”如关于如关于x轴对称的轴对称的点点x坐标不变，坐标不变，y坐标、坐标、z坐标变为原来的相反数；关于坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面对称的点坐标平面对称的点x、y不变，不变，z坐标相反特别注意坐标相反特别注意关于原点对称时三个坐标均变为原来的相反数关于原点对称时三个坐标均变为原来的相反数5在空间直角坐标系中，在空间直角坐标系中，P(2,3,4)、Q(2，3，4)两两 点的位置关系是点的位置关系是 () A关于关于x轴对称轴对称 B关于关于yOz平面对称平面对称 C关于坐标原点对称关于坐标原点对称

14、D以上都不对以上都不对 答案：答案：C6已知点已知点A(2,3，1v)关于关于x轴的对称点为轴的对称点为 A(，7，6)，则，则，v的值为的值为 () A2，4，v5 B2，4，v5 C2，10，v8 D2，10，v7答案：答案：D7点点(3，2,1)关于关于yOz平面的对称点是平面的对称点是_，关于，关于 x轴的对称点是轴的对称点是_，关于，关于z轴的对称点是轴的对称点是_ 答案：答案：(3，2,1)(3,2，1)(3,2,1) 例例3在空间直角坐标系中，解答下列各题：在空间直角坐标系中，解答下列各题： (1)在在x轴上求一点轴上求一点P，使它与点，使它与点P0(4,1,2)的距离为；的距离

15、为； (2)在在xOy平面内的直线平面内的直线xy1上确定一点上确定一点M，使它到，使它到点点N(6,5,1)的距离最小的距离最小 思路点拨思路点拨(1)可设点可设点P(x,0,0)后，利用距离公式解决；后，利用距离公式解决； (2)可根据点可根据点M在在xy1上设点上设点M，再由距离公式构建，再由距离公式构建函数，求出函数，求出|MN|的最小值的最小值 一点通一点通解决该类问题的关键是应用两点间的解决该类问题的关键是应用两点间的距离公式，根据点的特征，合理地设出所求点的坐标，距离公式，根据点的特征，合理地设出所求点的坐标，这样不但减少了参数，还可简化计算，避免出错这样不但减少了参数，还可简化

16、计算，避免出错答案：答案：A9已知点已知点A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则，则ABC 的形状是的形状是 () A等腰三角形等腰三角形 B等边三角形等边三角形 C直角三角形直角三角形 D等腰直角三角形等腰直角三角形答案：答案：C答案：答案：(1,0,0)或或(1,0,0) 1确定空间定点确定空间定点M的坐标的步骤的坐标的步骤 (1)过点过点M分别作垂直于分别作垂直于x轴、轴、y轴和轴和z轴的平面，依次轴的平面，依次交交x轴、轴、y轴和轴和z轴于轴于P、Q和和R. (2)确定确定P、Q和和R在在x轴、轴、y轴和轴和z轴上的坐标轴上的坐标x，y和和z. (3)得出点得出点M的坐标为的