高等数学-第二章导数与微分-第一节-导数的概念教学提纲

1、1高等数学高等数学-第二章导数与微分第二章导数与微分-第一节第一节-导数的概念导数的概念2此式既是它的定义式此式既是它的定义式,又指明了它的计算又指明了它的计算定义为定义为 )(0tv,)()(lim000ttsttst 并称之为并称之为t0时的时的瞬时速度瞬时速度v(t0).瞬时速度是路程对时间的变化率瞬时速度是路程对时间的变化率.若运动是若运动是非匀速非匀速的的,)( tv 平均速度平均速度是这段是这段时间内运动快慢的平均值时间内运动快慢的平均值,t 若若很很小小，因此因此, 人们把人们把 t0时的速度时的速度注注方法方法,ts 0limt 0()( ),vtv tt 越越小小, ,近近似

2、似程程度度越越高高, ,32.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放4 T0 xxoxy)(xfy CNM如图如图, 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的的斜斜率率为为割割线线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿沿曲曲线线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 5,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000

3、 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 记为记为处的导数处的导数在点在点数数并称这个极限为函并称这个极限为函处可导处可导在点在点则称函数则称函数时的极限存在时的极限存在之比当之比当与与如果如果得增量得增量取取相应地函数相应地函数时时仍在该邻域内仍在该邻域内点点处取得增量处取得增量在在当自变量当自变量有定义有定义的某个邻域内的某个邻域内在点在点设函数设函数二、导数的定义二、导数的定义1.函数在一点处的导数函数在一点处的导数定义定义6.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx

4、 )()(limlim00000,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或即即7处不可导或导数不存在处不可导或导数不存在.特别当特别当(1)式的极限为式的极限为有时也说在有时也说在x0处导数是正处导数是正(负负)无无当极限当极限(1)式不存在时式不存在时, 就说函数就说函数 f (x)在在x0正正(负负)无穷时无穷时,穷大穷大,但这时但这时导数不存在导数不存在.0000()()limlim(1)xxf xxf xyxx 8.,0慢程度慢程度而变化的快而变化的快因变量随自变量的变化因变量随自变量的变化反映了反映了它它处的变化率处的变化率点导数是因变量在点点导数是因变量在点 x.)(,)(内内可

5、可导导在在开开区区间间就就称称函函数数处处都都可可导导内内的的每每点点在在开开区区间间如如果果函函数数IxfIxfy 关于导数的说明：关于导数的说明：9,( ),( )( ),( ),.xIf xdydf xf xyfxdxdx 对对于于任任一一都都对对应应着着的的一一个个确确定定的的导导数数值值 这这样样就就构构成成了了一一个个新新函函数数，称称之之为为原原来来函函数数的的导导函函数数，记记作作或或xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :00()( ).xxfxfx 导函数导函数102.求导举例求导举例步骤步骤:(1)()( );yf

6、 xxf x 求求增增量量()( )(2);yf xxf xxx 算算比比值值0(3)lim.xyyx 求求极极限限例例1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即11例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设设函函数数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 12例例3 3(R).yx 求求函函数数的的导导数数解解0()()lim

7、hxhxxh 1x )(.)(1Rxx )( x如：如：12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 0()1limhxhxxh ln(1+ / )0(e1)limh xhxh 0ln(1/ )limhh xxh 0/limhh xxh 13例例4 4.)1, 0()(的的导导数数求求函函数数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 14例例5 5.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(ln

8、xx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa 15例例6 6.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 0(0)(0)lim,hfhfh 故故不不存存在在.0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy162.右导数右导数:1.左导数左导数:0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 0000000( )()()()()limli

9、m;xxxf xf xf xxf xfxxxx 函函数数)(xf在在点点0 x处处可可导导左左导导数数)(0 xf 和和右右导导数数)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.3.单侧导数单侧导数如如果果)(xf在在开开区区间间 ba,内内可可导导，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就说说)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上可可导导.1711,0,( )0.0,0 xxf xxxx 研研究究函函数数在在处处的的可可导导性性例（习题例（习题2-1 第第6题）题）18三、导数的几何意义与物理意义三、导数的几何意义与物理意义oxy)(xfy T0 xM1.几何意义几何意义)(,tan)(,)(

10、,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 19例例7 7.,)2 ,21(1方方程程和和法法线线方方程程并并写写出出在在该该点点处处的的切切线线斜斜率率处处的的切切线线的的在在点点求求等等边边双双曲曲线线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044

11、yx即即. 01582 yx即即20例例8 832(0,-4).yx 求求曲曲线线的的通通过过点点的的切切线线方方程程解解00033().22xxkfxxx 故所求切线方程为故所求切线方程为0003().2yyxxx00(,)xy设设切切点点坐坐标标为为，则则切切线线斜斜率率为为3200(,)(0,-4),xyyx 由由切切点点在在曲曲线线上上，切切线线过过点点故故3200yx 00034(0)2yxx 004,8,xy故所求切线方程为故所求切线方程为83(4),yx 340.xy 即即212.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动: :路程

12、对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.lim)(0dtdststvt 交流电路交流电路: :电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.lim)(0dtdqtqtit 非均匀的物体非均匀的物体: :质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导的导数为物体的线数为物体的线(面面,体体)密度密度.22四、可导与连续的关系四、可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数. .证证,)(0可可导导在在点点设设函函数数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0连连续

13、续在在点点函函数数xxf)0(0 x 23连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例000( ),()()( ),.f xfxfxxf x 一一般般地地， 函函数数连连续续 若若则则称称点点为为函函数数的的函函数数在在角角点点点点不不可可导导角角xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf0.x 在在处处不不可可导导24x3yx y0再如再如,3( ),f xx .1处不可导处不可导在在 x2/300(0)(0)1limlim,hhfhfhh 25又如又如,2( )0.f xxxx在在处处不不可可导导xy xyo小结小结: : 连续必可导，反之未必；连续是可导连续必可导，反之

14、未必；连续是可导 的必要非充分条件的必要非充分条件.26例例9 9.0,0, 00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,1sin是是有有界界函函数数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处处有有但但在在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx271sin,0,( )0.0,0 xxf xxxx 研研究究函函数数在在处处的的连连续续性性和和可可导导性性练习：练习：28五、经济

15、学中的变化率问题五、经济学中的变化率问题自己看书！( )fx 边边际际：( )( )xfxf x 弹弹性性： = =29六、小结六、小结1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数;6. 判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.30 函

16、数函数)(xf在某点在某点0 x处的导数处的导数)(0 xf 与导函数与导函数)(xf 有什么区别与联系？有什么区别与联系？思考题思考题31思考题解答思考题解答 由导数的定义知，由导数的定义知，)(0 xf 是一个具体的是一个具体的数值，数值，)(xf 是由于是由于)(xf在某区间在某区间I上每一上每一点都可导而定义在点都可导而定义在I上的一个新函数，即上的一个新函数，即Ix ，有唯一值，有唯一值)(xf 与之对应，所以两与之对应，所以两者的者的区别区别是：一个是数值，另一个是函数两是：一个是数值，另一个是函数两者的者的联系联系是：在某点是：在某点0 x处的导数处的导数)(0 xf 即是导即是

17、导函数函数)(xf 在在0 x处的函数值处的函数值32一一、 填填空空题题：1 1、 设设)(xf在在0 xx 处处可可导导，即即)(0 xf 存存在在，则则 _)()(lim000 xxfxxfx , , _)()(lim000 xxfxxfx . .2 2、 已已知知物物体体的的运运动动规规律律为为2ts ( (米米) )，则则该该物物体体在在 2 t秒秒时时的的速速度度为为_ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 设设321)(xxy , ,221)(xxy , ,53223)(xxxxy , , 则则它它们们的的导导数数分分别别为为dxdy1= =_ _ _ _ _ _ _ _

18、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，dxdy2= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，dxdy3= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .练练习习题题334 4、 设设2)(xxf , ,则则 )(xff_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； )(xff_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .5 5、 曲曲 线线xey 在在 点点)1,0(处处 的的 切切 线线 方方 程程 为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、

19、 在在下下列列各各题题中中均均假假定定)(0 xf 存存在在，按按照照导导数数的的定定义义观观察察下下列列极极限限，分分析析并并指指出出A表表示示什什么么？ 1 1、Axxxfxfxx 00)()(lim0； 2 2、Ahhfh )(lim0，其其中中)0(0)0(ff 且且存存在在； 3 3、Ahhxfhxfh )()(lim000. .三三、证证明明：若若)(xf为为偶偶函函数数且且)0(f 存存在在，则则0)0( f. .34四、四、 设函数设函数 0,00,1sin)(xxxxxfk问问k满足什么条满足什么条件，件，)(xf在在0 x处处 (1)(1)连续；连续； （2 2）可导；）可

20、导；（3 3）导数连续）导数连续. .五、五、 设函数设函数 1,1,)(2xbaxxxxf, ,为了使函数为了使函数)(xf在在1 x处连续且可导，处连续且可导，ba ,应取什么值应取什么值. .六、六、 已知已知 0,0,sin)(xxxxxf, ,求求)(xf. .七、七、 证明：双曲线证明：双曲线2axy 上任一点处的切线与两上任一点处的切线与两 坐标轴构成的三角形的面积都等于坐标轴构成的三角形的面积都等于22a. .35八、八、 设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为的坐标为x，于是分布在区间，于是分布在区间1,0上细棒的质上细棒的质量量m是是x的函数的函数)(xmm 应怎样确定细棒在点应怎样确定细棒在点0 x处的线密度处的线密度（对于均匀细棒来说，单位长度细棒（对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫作这细棒的线密度）？的质量叫作这细棒的线密度）？36一、一、1 1、)(0 xf ； 2 2、)(0 xf ； 3 3、6533161,2,32 xxx； 3 3、24x, ,22x； 5 5、01 yx. .二、二、1 1、)(0 xf ； 2 2、)0(f ； 3 3、)(20 xf . .