高等数学同济版第一章培训资料

1、 上页 下页高等数学同济版第一章高等数学同济版第一章 上页 下页高等数学高等数学 研究对象为研究对象为变量变量, 运动运动和和辩证法辩证法进入了数学进入了数学.1. 分析基础分析基础: 函数函数 , 极限极限, 连续连续 2. 微积分学微积分学: 一元微积分一元微积分(上册上册)(下册下册)3. 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何4. 无穷级数无穷级数5. 常微分方程常微分方程主要内容：主要内容：多元微积分多元微积分二、什么是高等数学二、什么是高等数学 ?初等数学初等数学 研究对象为研究对象为常量常量, 以静止观点研究问题以静止观点研究问题.初等数学初等数学 代数、几何、三角、解析几

2、何代数、几何、三角、解析几何 上页 下页三、如何学习高等数学三、如何学习高等数学 ?学数学最好的方式是做数学学数学最好的方式是做数学预习预习 复习复习 作业作业 考勤考勤自我学习的能力自我学习的能力微信公众号微信公众号: 山东建大高等数学山东建大高等数学 上页 下页学而优则用学而优则用, 学而优则创学而优则创治学之道：治学之道： 宽宽, 专专, 漫漫 基础要宽基础要宽专业要专专业要专 要使自己的专业知识漫到其他领域要使自己的专业知识漫到其他领域厚厚 积积 薄薄 发发做做 好好 当当 下下 上页 下页第一章第一章分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象研究对象 研究方法研究方法

3、研究桥梁研究桥梁函数与极限函数与极限 上页 下页一、映射一、映射 二、函数的概念二、函数的概念 第一节映射与函数 第一章 三、函数的几种特性三、函数的几种特性四、反函数四、反函数 五、复合函数五、复合函数 六、初等函数六、初等函数 上页 下页一、一、 映射映射映射映射设设 X , , Y 是两个非空集合是两个非空集合, , 若存在一个对应规则若存在一个对应规则 f , ,使得使得,Xx 有唯一确定的有唯一确定的Yy 与之对应与之对应 , , 则称则称 f 为为从从 X 到到 Y 的的映射映射, ,记作记作.:YXf元素元素 y 称为元素称为元素 x 在映射在映射 f 下的下的 像像 , ,记作

4、记作).(xfy 元素元素 x 称为元素称为元素 y 在映射在映射 f 下的下的 原像原像 . .集合集合 X 称为映射称为映射 f 的的定义域定义域 ; ;Y 的子集的子集 )(Xf Xxxf )(称为称为 f 的的 值域值域 . .XYfxy 上页 下页注意注意: : 1)1)映射的三要素映射的三要素 定义域定义域 , , 对应规则对应规则 , , 值域值域 . . 2)2)元素元素 x 的像的像 y 是唯一的是唯一的, , 但但 y 的原像不一定唯一的原像不一定唯一 . . 对映射对映射YXf:若若YXf )(, , 则称则称 f 为为满射满射; ; XYf)(Xf若若,2121xxXx

5、x 有有 )()(21xfxf 则称则称 f 为为单射单射; ;若若 f 既是满射又是单射既是满射又是单射, ,则称则称 f 为为双射双射 或或一一映射一一映射. . XY)(Xff 上页 下页例如例如xxysin R xR yxysin xy oxy1x2xxxysin f 既是满射又是单射既是满射又是单射, ,故故 f 为为双射双射 或或一一映射一一映射. . 又如又如三角形三角形 )(三角形集合三角形集合 海伦公式海伦公式bcaS面面积积 ),0( ( (满射满射) ) 上页 下页X (数集数集 或点集或点集 ) 说明说明:在不同数学分支中有不同的惯用名称在不同数学分支中有不同的惯用名称

6、. X ( ) Y (数集数集)f f 称为称为X 上的上的泛函泛函X ( ) X f f 称为称为X 上的上的变换变换 R f f 称为定义在称为定义在 X 上的上的函数函数映射又称为映射又称为算子算子. 例如例如, 目录 上页 下页定义域定义域二、函数的概念二、函数的概念1. 函数的概念函数的概念 设数集设数集,R D则称映射则称映射R:Df为定义在为定义在 D 上的函数上的函数 ,记为记为Dxxfy , )(自变量自变量因变量因变量叫作函数在叫作函数在 x0 处的处的函数函数值值. 00 xfy DxxfyyW ,称为函数的称为函数的值域值域.函数图形函数图形: ),(yxC Dx ,

7、)(xfy xy) ,(baD abxy)(DfD 上页 下页（1）单值函数）单值函数多值函数多值函数没有特别说明，没有特别说明， 均指单值函数均指单值函数.说明：说明：例如例如222ryx 在在 (-r, r) 内为多值函数内为多值函数.rx 为单值函数为单值函数,在在（2）函数相等）函数相等例如：例如：xy xy 和和是不同的函数是不同的函数（对应关系不同）（对应关系不同）xylg2 和和2lg xy 是不同的函数是不同的函数（定义域不同）（定义域不同）xy 和和2xy 是相同的函数是相同的函数. 上页 下页例例1 1 已知函数已知函数 1,110,2)(xxxxxfy解解及及写出写出 f

8、( (x) ) 的定义域及值域的定义域及值域, , 并求并求f( (x) )的定义域的定义域 ),0 D值域值域 ),0)( Df21221 f2 tf110 t,11t 1 t,2txyOxy2xy11 21f.1 tf 上页 下页例例22 yxyo函数函数2 y例例3 绝对值函数绝对值函数 0 ,0 ,xxxxxyxy oxy例例4 符号函数符号函数 0 , 10 , 00 , 1x x xyxxx sgn Sign sain1xo y1 显然：显然：定义域为定义域为 , x 1 , 0 , 1 y值域为值域为 x sgn 上页 下页 xy 例例545 . 3 , 3 取整函数：取整函数：

9、如如3yx1123-1-2-3-2-1-3o 2不超过不超过x 的最大整数，的最大整数，记做：记做： 14 . 0, 22 目录除例除例2外都是分段函数外都是分段函数 上页 下页1. 函数的有界性函数的有界性上界上界:1K 为一个上界为一个上界.称称 f(x) 在在 X 上有上有上界上界.,)(1Kxf 下界下界:,)(2Kxf 称称 f(x) 在在 X 上有上有下界下界.2K 为一个下界为一个下界.有界有界:| f (x)| M. M为正数为正数无界无界:xxf1)( 在在 (0, 1) 内有下界内有下界, 但没有上界但没有上界, 所以无界所以无界.例如例如f (x) =sin x, 1si

10、n x有界有界.结论结论 f (x) 在在X上上有界有界f (x) 在在X上上既有上界又有下界既有上界又有下界.,00XxM 使得使得 .0Mxf 三、函数的几种特性三、函数的几种特性 上页 下页2. 函数的单调性函数的单调性 设设 f (x) 的定义域为的定义域为 D， 区间区间I D , 对于对于 I 上任意两点上任意两点, 21xx 若恒有若恒有 f (x1) f (x2) ,单调增加或单调减少的函数统称为单调增加或单调减少的函数统称为单调函数单调函数 .图象：图象：)(1xf)(2xf1x2x)( xfy xyoI)( xfy )(1xf)(2xfIxyo1x2x 上页 下页3. 函数

11、的奇偶性函数的奇偶性设设f (x)的定义域的定义域 D 关于原点对称关于原点对称 （即（即x D， x D），），偶函数的图形关于偶函数的图形关于y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称轴对称，奇函数的图形关于原点对称.xyo若恒有若恒有 ， 则称则称f (x) 在在 D 内为内为偶函数偶函数 . xfxf 若恒有若恒有 ，则称则称 f (x) 在在 D 内为内为奇函数奇函数 ; xfxf 3xy oxy说明说明 若若)(xf在在 x = 0 有定义有定义 ,. 0)0( f)(xf为奇函数时为奇函数时,则当则当必有必有 上页 下页例如例如,2ee)(xxxfy xch 偶函数偶函数xyOxexe

12、xych双曲余弦双曲余弦 记记又如又如, ,奇函数奇函数xsh 双曲正弦双曲正弦 记记xyOxexexysh2ee)(xxxfy P13 P13 ： 上页 下页再如再如,xxychsh 奇函数奇函数xth 双曲正切双曲正切 记记说明说明 给定给定 ),(),(llxxf 则则 2)()(2)()()(xfxfxfxfxf 偶函数偶函数 奇函数奇函数 Oyx11xythxxxx eeeeP11 例例11自学：自学：P11 函数的运算函数的运算 上页 下页4. 函数的周期性函数的周期性都有都有(x l) D， 且且 f (x l) = f (x) 恒成立，恒成立， 则称则称 f (x)为为周期函数

13、周期函数，设设 f (x)的定义域为的定义域为 D， 如果如果存在存在 l 0,使得对于任意使得对于任意 x D,l 称为称为 f (x) 的的周期周期. 通常，周期是指通常，周期是指最小正最小正周期周期.xO2y2周期为周期为 周期为周期为 2注注 周期函数不一定存在最小正周期周期函数不一定存在最小正周期 . .例如例如 常量函数常量函数Cxf )(狄利克雷函数狄利克雷函数 )(xfx 为有理数为有理数x 为无理数为无理数,1,0t)(tf22O目录 上页 下页1. 反函数的概念反函数的概念若函数若函数)(:DfDf为单射为单射,则存在逆映射则存在逆映射DDff )(:1习惯上习惯上,Dxx

14、fy , )(的反函数记成的反函数记成)(,)(1Dfxxfy 称此映射称此映射1 f为为 f 的的反函数反函数 .其反函数其反函数(减减)(减减) .(1) yf (x) 单调递增单调递增,)(1存存在在xfy 且也单调递增且也单调递增 2. 反函数的性质反函数的性质 四、反函数四、反函数相对而言，相对而言，y = f (x) 称为称为直接函数直接函数. 上页 下页(2) 函数函数)(xfy 与其反函数与其反函数)(1xfy 的图形关于直线的图形关于直线xy 对称对称 .例如例如 ,),(,e xyx对数函数对数函数),0(,ln xxy互为反函数互为反函数 ,它们都单调递增它们都单调递增,

15、其图形关于直线其图形关于直线xy 对称对称 .指数函数指数函数xyO)(xfy )(1xfyxy ),(abQ),(baP 上页 下页xyoxysin 2 2 11xycos xy02 2322 231125考虑正弦函数、余弦函数考虑正弦函数、余弦函数: 上页 下页得到反正弦函数、反余弦函数得到反正弦函数、反余弦函数:反三角函数都是多值函数，可选取其单值支作为主值反三角函数都是多值函数，可选取其单值支作为主值.xyarcsin xy11022xyarccos xy1102 上页 下页x0223223yxytan 考虑正切函数考虑正切函数:xyarctan xy022得到反正切函数得到反正切函数

16、: 上页 下页x2232y20 xycot 考虑余切函数考虑余切函数:得到反余切函数得到反余切函数:yx02xycotarc 目录 上页 下页gRfDuufy ),(,),(Dxxgu fgDR 且且则则Dxxgfy , )(设有函数链设有函数链称为由称为由, , 确定的确定的复合函数复合函数 , , u称为称为中间变量中间变量. . 注意注意 构成复合函数的条件构成复合函数的条件 fgDR 不可少不可少. . 例如例如, , 函数链函数链 : :,arcsinuy ,cos xu Rxxy ,cosarcsin21xu 可定义复合函数可定义复合函数2, 2, )1arcsin(2 xxyDg

17、fDfyux五、复合函数五、复合函数但函数链但函数链22,arcsinxuuy 不能构成复合函数不能构成复合函数 . . 上页 下页两个以上函数也可构成复合函数两个以上函数也可构成复合函数. .例如例如, , 0, uuy可定义复合函数可定义复合函数: :,2cotxy ,)12( ,2( kkxZ k02cot,22 xkxk时时),2,1, 0(,cot kkvvu),(,2 xxv约定约定: : 为简单计为简单计, , 书写复合函数时不一定写出其定义域书写复合函数时不一定写出其定义域, , 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件. .目录 上

18、页 下页六、六、 初等函数初等函数1. 基本初等函数基本初等函数幂函数、幂函数、 指数函数、指数函数、 对数函数、对数函数、 三角函数、三角函数、 反三角函数反三角函数2. 初等函数初等函数由常数及基本初等函数由常数及基本初等函数否则称为否则称为非初等函数非初等函数 . . 例如例如 , ,2xy y0, xx0, xx并可用并可用一个式子一个式子表示的函数表示的函数 , ,经过经过有限次有限次四则运算和复合步四则运算和复合步骤所骤所构成构成 , ,称为称为初等函数初等函数 . .可表为可表为故为初等函数故为初等函数. .又如又如 , , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数双曲函数与反双曲函数也

19、是初等函数 . .( ( 自学自学, P13 P15 ), P13 P15 )xysgn xy 如如 上页 下页 设函数设函数,1,1,13)( xxxxxf )(xff1)(,1)(3 xfxf x 换为换为 f ( (x) )1)(, )( xfxf0 x 0,49 xx1)13(3 x10,13 xx1, xx例例6.)(xff求求解解 上页 下页例例7 求求 y的反函数及其定义域的反函数及其定义域. .解解01 x当当时时, ,2xy 则则1,0(, yyx10 x当当时时, ,xyln 则则0,(,e yxy21 x当当时时, ,1e2 xy则则e2,2(,2ln1 yyx反函数反函

20、数 y1,0(, xx0,(,e xxe2,2(,2ln1 xx定义域为定义域为e2,2(1,( 21,e210 ,ln01, 12 xxxxxx212e211, 1,0( , 0,( , e2,2( yOx 上页 下页内容小结内容小结1. 映射的概念映射的概念定义域定义域对应规律对应规律3. 函数的特性函数的特性有界性有界性, 单调性单调性,奇偶性奇偶性, 周期性周期性4. 初等函数的结构初等函数的结构2. 函数的定义及函数的二要素函数的定义及函数的二要素 第一章第一节第一章第一节 作业：作业：16结束 上页 下页且且备用题备用题0)0( f,)()(1xcxfbxfa ,ba 证明证明)(xf证证: 令令,1xt 则则,1tx t ct