同济大学高等数学本科少学时第三版第一章

1、第一节 映射与函数 一、集合一、集合 二、映射二、映射 三、函数三、函数 四、小结四、小结一、集合一、集合二、映射二、映射三、函数三、函数一、集合1.1.集合集合: :具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集无限集无限集,Ma ,Ma .,的的子子集集是是就就说说则则必必若若BABxAx .BA 记作记作数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:.,RQQZZN .,相相等

2、等与与就就称称集集合合且且若若BAABBA )(BA ,2 , 1 A例如例如,0232 xxxC.CA 则则不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.)(记记作作例如例如,01,2 xRxx规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.集合的运算集合的运算（1）集合的并）集合的并|,BxAxxBABABABABA 或或即即的的并并，记记为为与与称称为为，的的所所有有元元素素构构成成的的集集合合和和，由由和和设设有有集集合合（2）集合的交）集合的交|,BxAxxBABABABABA 且且即即的的交交，记记为为与与集集合合，称称为为的的所所有有公公共共元元素素构构成成的的和和，

3、由由和和设设有有集集合合（3）集合的差）集合的差|,BxAxxBABABABABA 且且即即的的差差，记记为为与与的的集集合合，称称为为的的所所有有元元素素构构成成而而不不属属于于，属属于于和和设设有有集集合合（4）集合的补）集合的补|,AAxUxxAAAU 且且即即的的补补集集，记记为为为为的的元元素素构构成成的的集集合合，称称中中所所有有不不属属于于全全集集集合的运算律集合的运算律（1）交换律：）交换律：ABBAABBA （2）结合律：）结合律：)()()()(CBACBACBACBA （3）分配律：）分配律：)()()()()()(CBCACBACBCACBA （4）摩根律：）摩根律：)

4、()(BABABABA 2.2.区间区间: :是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,baRba 且且bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记作记作bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记记作作oxaboxabbxax bxax 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作,(ba记记作作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.3.3.邻域邻域

5、: :. 0, 且且是两个实数是两个实数与与设设a).(0aU 记记作作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫做这邻域的半径叫做这邻域的半径 . )( axaxaUxa a a ,邻域邻域的去心的的去心的点点 a. 0)( axxaU,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx 4.4.常量与变量常量与变量: : 在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量,注意注意常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a, b, c等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方

6、法：用字母用字母x, y, t等表示变量等表示变量.5.5.绝对值绝对值: : 00aaaaa)0( a运算性质运算性质:;baab ;baba .bababa )0( aax;axa )0( aax;axax 或或绝对值不等式绝对值不等式:二、映射1 1 映射概念映射概念 设设 是两个非空集合，如果存在一个法则是两个非空集合，如果存在一个法则 ,使得对于使得对于 中每个元素中每个元素 ，按法则，按法则 在在 中有唯中有唯一确定的元素一确定的元素 与之对应，则与之对应，则 称为从称为从 到到 的映射，的映射，记作记作 其中其中 称为元素称为元素 （在映射（在映射 下）的像，并记作下）的像，并记

7、作 ，即即 而元素而元素 称为元素称为元素 （在映射（在映射 下）的一个原像；集下）的一个原像；集合合 称为映射称为映射 的定义域，记作的定义域，记作 ，即，即 ；中所有元素的像所组成的集合称为映射中所有元素的像所组成的集合称为映射 的值域，的值域，记作记作 或或 ，即，即YX、fxfXYyfXYYXf:yxf)(xf)(xfy xyfXffDXDf XffR)(Xf| )()(XxxfXfRf 从上述映射的定义中，需要注意的是：从上述映射的定义中，需要注意的是： （1 1）构成一个映射必须具备以下三个要素：集）构成一个映射必须具备以下三个要素：集合合 ，即定义域，即定义域 ；集合；集合 ，即

8、值域的范，即值域的范围：围： ；对应法则；对应法则 ，使对每个，使对每个 ，有唯，有唯一确定的一确定的 与之对应与之对应. .XXDf YYRf fXx )(xfy （2 2）对每个）对每个 ，元素，元素 的像的像 是唯一的；而对是唯一的；而对于每个于每个 ，元素，元素 的原像不一定是唯一的；映射的原像不一定是唯一的；映射 的值域的值域 是是 的一个子集，即的一个子集，即 ，不一定，不一定 . .Xx xyfRy yffRYYRf YRf 满射、单射与双射满射、单射与双射 设设 是从集合是从集合 到集合到集合 的映射，若的映射，若 ，即，即 中中任一元素任一元素 都是都是 中某元素的像，则称中

9、某元素的像，则称 为为 到到 上的上的映射或满射；若对映射或满射；若对 中任意两个不同元素中任意两个不同元素 ，它们的像它们的像 ，则称，则称 为为 到到 的单射；若的单射；若映射映射 既是单射又是满射，则称既是单射又是满射，则称 为一一映射（或双射）为一一映射（或双射）fXYYRf YyXYfffYXXXf21xx )()(21xfxf 2.2.逆映射与复合映射逆映射与复合映射 设设 是从集合是从集合 到集合到集合 的映射，则由定义，对每个的映射，则由定义，对每个 有唯一的有唯一的 ，适合，适合 .于是，可以定于是，可以定义一个从义一个从 到到 的新映射的新映射 ，即，即 对每个对每个 ，规

10、定，规定 ，这，这 满足满足 . 这个这个映射映射 称为称为 的逆映射，记作的逆映射，记作 ，其定义域，其定义域 ，值域值域 fXYfRy Xx yxf )(fRXgXRgf:fRy xyg )(xyxf )(f1 fgffRD 1XRf 1注意：注意：只有单射才存在逆映射只有单射才存在逆映射.复合映射：复合映射：设有两个映射设有两个映射 其中其中 .则有映射则有映射 可以定义一个从可以定义一个从 的对应法则，它将每个的对应法则，它将每个 映成映成 . 显然，显然，这个对应法则确定了一个从这个对应法则确定了一个从 的映射，这个映射的映射，这个映射称为映射称为映射 构成的复合映射，记作构成的复合

11、映射，记作 ，即，即 ZYfYXg21:,:21YY fg和和ZX到到Xx Zxgf )(ZX到到fg和和gf ,:ZXgf注意：注意： 的值域的值域 必须包含在必须包含在 的定义域内，即的定义域内，即 ggRffgDR 因变量因变量自变量自变量.)(,000处处的的函函数数值值为为函函数数在在点点称称时时当当xxfDx .),(称为函数的值域称为函数的值域函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集DxxfyyW 数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域)(xfy 变变量量y按按照照一一定定法法则则总总有有确确定定的的数数值值和和它它对对应应，则则称称y是是x的的函函数数，记记作作定定

12、义义 设设数数集集DR ，则则称称映映射射RDf:为为定定义义在在D上上的的函函数数. . 即即对对于于每每个个数数Dx , 三、函数三、函数()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素: : 定义域定义域与与对应法则对应法则.xyDW约定约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.21xy 例例如如， 1 , 1 : D211xy 例例如如，)1 , 1(: D定义定义: :.)(),(),(的图形的图形函数函数称为称为点集点集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxyWD 如果自变量在定

13、如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫与多值函数则叫与多值函数例例如如，222ayx (1) 符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyoxxx sgn(2) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点

14、无理数点无理数点1xyo(3) 狄利克雷函数狄利克雷函数(4) 取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg 0, 10, 12)(,2xxxxxf例例如如12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.例例1 1.)3(,212101)(的的定定义义域域求求函函数数设设 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故M-Myxoy=f(

15、x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDX （1）函数的有界性）函数的有界性:.)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数Xxf2 2、函数的特性、函数的特性（2）函数的单调性）函数的单调性:,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI ;)(上上是是单单调调增增加加的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有o)(xfy )(1xf)(2xfxyI)(xfy )(1xf)(2xfxyoI;)(上是单调减少的上是单

16、调减少的在区间在区间则称函数则称函数Ixf,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI ),()()2(21xfxf 恒恒有有（3）函数的奇偶性）函数的奇偶性:偶函数偶函数有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD )()(xfxf xyx)( xf )(xfy o-x)(xf;)(为为偶偶函函数数称称xf有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf ;)(为为奇奇函函数数称称xf奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy （4）函数的周期性）函数的周期性:（通常说

17、周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如如果果存存在在一一个个不不为为零零的的)()(xflxf 且且为周为周则称则称)(xf.)( ,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl.恒成立恒成立例例2 2解解,01)( QxQxxD设设.)().21(),57(的的性性质质并并讨讨论论求求xDDDD , 1)57( D, 0)21( D, 1)( xDDoxy1单值函数单值函数, 有界函数有界函数,偶函数偶函数,周期函数周期函数(无最小正周期无最小正

18、周期)不是单调函数不是单调函数,0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函函数数oxyDW)(yx 反反函函数数o3 3、反函数与复合函数、反函数与复合函数(1) 反函数反函数设函数设函数射射是单射，则它存在逆映是单射，则它存在逆映)(:DfDf的逆映射的逆映射为函数为函数则称此映射则称此映射ffDDff11,)(: )(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy （2）、复合函数）、复合函数,uy 设设,12xu 21xy 定义定义: 设设函函数数)(ufy 的的定定义义域域fD,

19、 而而函函数数)(xu 的的值值域域为为 Z, 若若 ZDf, 则则称称函函数数)(xfy 为为x的的复复合合函函数数. ,自变量自变量x,中间变量中间变量u,因变量因变量y注意注意: :1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.,2cotxy 例例如如,uy ,cotvu .2xv (1) 幂函数幂函数)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 4. 4. 初等函

20、数初等函数(2)、指数函数、指数函数)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey (3)、对数函数、对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( (4)、三角函数、三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin xycos xycos 余弦函数余弦函数正切函数正切函数xytan xytan xycot 余切函数余切函数xycot 正割函数正割函数xysec xysec xycsc 余割函数余割函数xycsc (5)、反三角函数、反三角函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数xyarc

21、cos xyarccos 反反余余弦弦函函数数xyarctan xyarctan 反反正正切切函函数数 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.xycot 反反余余切切函函数数arcxycot arc初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子一个式子表示表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.例例3 3).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求

22、求设设解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10时时当当 x, 0 x或或, 12)( xx;20 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 1 x,1)(20时时当当 x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01 x综上所述综上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx 2sinhxxeex 双双曲曲正正弦弦xycosh xysinh ),(: D奇函数奇函数.2coshxxeex 双曲余弦双曲余弦),(: D偶函数偶函数.双曲函数双曲函数xey21 xey 21xxxxeeeexxx coshsinhtan

23、h双双曲曲正正切切奇函数奇函数,),(:D有界函数有界函数,双曲函数常用公式双曲函数常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx 反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,),(:D.),(内单调增加内单调增加在在;sinh xy 反双曲正弦反双曲正弦ar).1ln(sinh2 xxxyarsinhar xy.), 1内单调增加内单调增加在在), 1 : D y反反双双曲曲余余弦弦coshar).1ln(cosh2 xxxyarxcosharx y.11ln21xx )1 , 1(: D奇函数奇函数,.)1 , 1(内单调增加内单调增加在在 y反双曲正切反双曲正切tanharxytanh arxtanharx y四、小结基本概念基本概念集合集合, 区间区间, 邻域邻域, 常量与变量常量与变量, 绝对值绝对值.函数的概念函数的概念函数的特性函数的特性有界性有界性, ,单调性单调性, ,奇偶性奇偶性, ,周期性周期性. .反函数、复合函数、初等函数反函数、复合函数、初等函数思考题思