《二次根式》知识点总结-题型分类-复习专用

1、二次根式题型分类知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如 而Q2 0） 的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当口是一个非负数时， G才有意义.【典型例题】M- o二次第谶;细羯窟【例1】下列各式1）；,2)/,3) Jx2 +2,4)74,5) J( g)2,6) 71,7) Ja22a + 1 ,其中是二次根式的是 （填序号）1、下列各式中，一定是二次根式的是（A、品 B、J10C、Ja +12、在ja、Ja2b、jx：1、J1+x2、氏中是二次根式的个数有3-：二次根比福意义1.、,一一【例2】若式子有意义，则x的取值范围是x -3举一反三:1、使代数式 经二3有意义的

2、x的取值范围是（）x -4A、x>3B、x3C、 x>42、使代数式 Jx2 +2x1有意义的x的取值范围是3、如果代数式 mrn +有意义，那么，直角坐标系中点P （m,mnn）的位置在（A、第一象限B、第二象限 C、第三象限D、第四象限MH :二次置血的运用【例 3】若 y= Jx -5 + 7'5 - x +2009 ,贝U x+y=举一反三: 21、右 xx -1 -71 -x =(x + y),则 x y 的值为B. 1 C. 2 D. 32、若x、y都是实数，且3、当a取什么值时,代数式2a+1 +1取值最小,并求出这个最小值。y=2x -3 + J3 -2x

3、+4 ,求 xy 的值as:二次篡支的寓1崩踪号小船已知a是J5整数部分，b是，5的小数部分,3a - b =,1求a +的值。b 2若2 +日7的整数部分为x,小数部分为y,求若7- 33的整数部分是a，小数部分是b,则知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：用(a>0)是一个非负数.注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.2. (7a)2 =aa 之0).注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a =( .a)2(a _0)2fa(a 0)注意：(1)字母不一定是正数.3. . a =|a| 二-a(a

4、：二 0)(2)能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.(3)可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外.4.公式Va2 qa|=1a(a -0)与(m)2 =aa之0)的区别与联系-a(a < 0)(1) va7表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数.(2) (十£)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数.(3) 席和(<a)2的运算结果都是非负的.【典型例题】HS-：二次班式的双宣非徵僮【例 4若""73"。-4)=°，则 a-b + c= 举一反三：1、若 Jm

5、 -3 +(n +1)2 =0 ,则 m + n 的值为2_2、已知x,y为实数，且qx 1 +3（y 2 ） = 0 ,则x y的值为（A. 3B.- 3 C. 1D.T3、已知直角三角形两边 x、y的长满足| x2 4 | + Jy2 _5y+6 = 0,则第三边长为 20054、若ab+1与Ja+2b+4互为相反数，则（a b）=。£3=：三次贰岫性质2（公式（Ja）2 =a（a20）的运用）【例5】化简：21+（6二3）2的结果为（）A、4 2aB、0C、2a 4D、4举一反三：2421、 在头数氾围内分斛因式：x -3 = ； m -4m+4 =x4 -9 =, x2 -2

6、a/2x +2 -髓三：二次髓瞒m3（公式慧=a = >（a叫 的应用）-a（a <0）【例6】已知x <2，则化简7x2 -4x+4的结果是A、 x 2B、 x+2C、 x 2D、 2 x举一反三：1、根式J（3）2的值是（）A. -3B. 3 或-3C. 3D. 92、已知a<0 ,那么1 好一2a 可化简为（）A . aB . aC. 3aD. 3a3、若 2Ya43,则 7（2-a 2 -7（a-3 2 等于（）A. 5 -2a B. 1 -2aC. 2a -5 D. 2a-14、若a 3V0,则化简'a -6a +9 * 4-a的结果是()(A) -1

7、(B)1(C) 2a7(D) 7 2a5、化简"x2 -4x +1 -(J2x -3 )得()(A)2 (B) -4x+4(C) -2(D) 4x-42.a - 2a 126、当avlUa为时)化简 a -a =7、已知a <0 ,化简求值:4 - (a +1)2 ，4 +(a)2【例7】如果表示a, b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简I a-b + J(a + b)2的结果等于()«*ab a oA. 2b B. 2bC. 2a D. 2aa 举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示： 化简:a-1 +J(a_2)2 =.-1 012例8化简1 -x -

8、Jx2 -8x+16的结果是2x-5,则x的取值范围是()(A) x为任意实数(B) 1今9(C) x/(D) xW举一反三：若代数式J(2 -a)2 +J(a-4)2的值是常数2 ,则a的取值范围是()A. a> 4 b. a< 2 c. 2<a<4 d. a = 2 或 a = 4【例9】如果a +Ja2 -2a+1 =1，那么a的取值范围是()A. a=0 B. a=1 C. a=0 或 a=1 D. a<11、如果a+Ja2_6a+9=3成立,那么实数a的取值范围是()A.a < 0B.a < 3;C.a - -3;D.a .32、若V(x-3

9、)2 +x-3 = 0,则x的取值范围是()(A) x>3(B) x <3。x>3(D) x<3a 一 2【例10】化简二次根式a l广的结果是()(A)a 2(B) J - a - 2(C) Ja - 2(D) - Ja - 21、把二次根式a，化简，正确的结果是()A. , -aB. -. -aC. -. aD. . a2、把根号外的因式移到根号内：当 b >0时，v1x =； (a-1)J/一=知识点三：最简二次根式和同类二次根式知识要点1、最简二次根式：(1)最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或 因式；分母中不含根

10、号.2、同类二次根式(可合并根式)：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可 以合并的两个根式。【典型例题】11 M【例11】在根式1) Ja2 +b2;2)x52 一 xy;4) J27abe ,最简二次根式是()A. 1) 2)B. 3) 4) C. 1) 3) D. 1) 4)解题思路：掌握最简二次根式的条件。举一反三1、两a,画同皿2,阿 ：17（a2 +b2）中的最简二次根式是 。2、下列根式中，不是 最简二次根式的是（）A. J7B. J3C. . F D. 223、下列根式不是最简二次根式的是（）A. . a2 1B. . 2x 1

11、CC.4D.、0.1y4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？3ab （1）.一3a2b（2）2 x y （4） a -b（a b） 55、把下列各式化为最简二次根式：2.12,45a b【例12】下列根式中能与 J3是合并的是（）(6)、8xyA. <8 B. 27D.举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（）A、屿和718C、 Ja2b和Jab2D、 Ja +1和Ja-1在二次根式：V12 ;小质中,能与内合并的二次根式3、如果最简二次根式 J3a- 8与J17-2a能够合并为一个二次根式，则a=知识点四：二次根式计算一一分母有理化【知识要点】1 .分母有理化定

12、义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2 .有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用 JI，ja = a来确定，如： 4a与ja, Ja +b与Ja + b , Ja-b与Ja-b等分 别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a+J6与a-Jb, ja + Jb与声- bb , a x x b . y与ax -b, y分别互为有理化因式。3 .分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二

13、次根式或有理式。【典型例题】【例13】把下列各式分母有理化口 挈483.7【例14】把下列各式分母有理化【例15】把下列各式分母有理化:(1)22 -1(3)_3上3_3.2-2，3举一反三：1、已知x = 2-避,y=2及，求下列各式的值：(1) xy (2) x2-3xy+y2 2 .32 - .3x- y2、把下列各式分母有理化:(1)a - bJa；b(3)b - a2 b2b v a2 b2小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类:石+也与石一小； 洲石+冏心 与冽/一月忑.知识点五：二次根式计算一一二次根式的乘除【知识要点】1 .积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式

14、的算术平方根的积。1b" = Oa Vb (a曲，b0)2 .二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。7a Jb = Vab . (a 涮，b 可)3 .商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根(a肛 b>0)4.二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。(a肛 b>0)注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式.【典型例题】【例16】化简(1) J9M16 (2) J1

15、6M81(3) 卮2屈 (4) J9x2y2 (x 之 0,y 之 0)(5)1 x捉乂 23【例17】计算（1）*6乂256-/12a x3y/3a(3)4(4)4.(5)4 + 22个骏+ 2(8)【例18】化简:(a 0,b - 0)9x5x,.64/ (x-0,y 0) 169y2 (x-0,y 0).12【例19】计算：（1） 31 ；、0271+2病-5 3x-x_【例20能使等式Vx-2 Jx二2成立的的x的取值范围是（）A、x >2 B、x >0C、0 <x <2 D、无解知识点六：二次根式计算一一二次根式的加减【知识要点】需要先把二次根式化简，然后把被

16、开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方 数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次 根式合并.但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数【典型例题】1 【例 20】计算(1)品>/75 + 2>/05 /-，1+5缶.3十4日1病-3727H泊-4疝+如7)【例21】(1) 3&_ y + J22x -y4x 4y- a-b a - b(2)a ,b a-b23k飞十唯一产(5) 8l1a3 -5aOa + 44a5 a历*后加*2知识点七：二次根式计算一一二次根式的混合计算

17、与求值【知识要点】一 一i、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律；3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；【典型习题】2 ,ab5 b(j'a*户喈3、- Jx2y (-4 J)Jx2y4、(J72 + ' 2 ) W3 一 7763x 62,3知识点八：根式比较大小【知识要点】1、根式变形法 当a >0,b >0时，如果a >b ,则Ta > Vb ；如果a < b ,则Ta <Vb o2.22.22、平万法当a A0,b0时，如果a >b，则a>b；如果a <b，则a<b。3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较