数值分析模拟题

1、数值分析模拟题1. (10分 ) 利用 Gauss-Legendre 求积公式10f ( x)dx 的三点高斯型求积公式。f ( x)dx 0.5556 f ( 0.7746) 0.8889 f (0) 0.5556 f (0.7746) 导出求积分13x12 x22 x352. (15 分 ) 写出求解线性代数方程组x13 x 21的 Gauss-Seidel 迭代格式， 并分析此格式的敛散性。2 x17 x 32210110303. (15 分) 设矩阵 A20，013010（ 1）试计算| |A | |。（ 2）用 Householder 变换阵 H 将 A 相似约化为上 Hessenb

2、erg 阵，即 HAH 为上 Hessenberg 阵。4. (10分 ) 求关于点集1,2,3,4 的正交多项式0 ( x), 1( x), 2 ( x) 。5. (10 分 ) 用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据xi1.02.03.04.0yi0.81.51.82.01数值分析模拟题6. (20 分 ) 给出数据点：xi0134yi191 56（ 1）用 x0 , x1 , x2 构造二次 Lagrange 插值多项式 L2 (x) ，并计算 x1.5的近似值 L2 (1.5) 。（ 2）用 x1, x2 , x3 构造二次 Newton 插值多项式 N2 ( x)

3、，并计算 x1.5的近似值 N2 (1.5)。（ 3）用事后误差估计方法估计L2 (1.5)、 N2 (1.5)的误差。17 (10 分 ) 设矩阵 A 可逆，A 为 A 的误差矩阵，证明：当AA 1 时， AA也可逆。8 (10 分 ) 设 f ( x) 四阶连续可导， xix0 ih ,i0,1,2. 试建立如下数值微分公式f ( x1)f ( x0 )2 f ( x1 )f ( x2 ) ，并推导该公式的截断误差。h22数值分析模拟题1. 若x3 10 x 1S( x )1 ( x 1)3a( x 1)2b( x 1) c 1 x 22是三次样条函数，则a=_,b=_, c=_.2.以

4、n + 1 个 整 数 点 k (k =0,1,2, , n) 为 节 点 的 Lagrange插 值 基 函 数 为nlk(x)(k =0,1,2, , n) ，则klk ( x)_.k03. 序列 yn n=0 满足递推关系： yn10 yn 1 1,( n 1,2,.) ，若 y0 有误差 ,这个计算过程是否稳定？ _.4.若f ( x)2 x4x23,则 f 1,2,3,4,5,6_.5. 下面 Matlab 程序所描述的数学表达式为 _.forj = 1 : nfori = 1 : my ( i ) = A ( i , j )* x ( j ) + y( i )endend二、简单计

5、算题 ( 每小题 6 分，共 18 分 )1341. 已知矩阵 A321，求 Givens 变换阵 G 使 GAG T 为三对角阵。（不用计算 GAG T）411321 .2.设 A，求 cond( A)113数值分析模拟题13f ( 1 )1f (1) 的代数精度 .3. 确定数值求积公式f ( x )dx0434020三、 (12分) 已知矩阵 A212，021用施密特正交化方法求矩阵A 的正交分解，即 A=QR.四、 (10 分)应用 Lagrange 插值基函数法，求满足下面插值条件的Hermite 插值多项式。x iy iy i000111五、(10 分 ) 设 f ( x) 三阶连

6、续可导， xix0 ih,i 0,1,2. 试推导如下数值微分公式的截断误差f ( x2 )f ( x0 ) 4 f ( x1 ) 3 f ( x2 )2h1六、 (10 分 ) 利用求积公式f ( x )( f ( 3 ) f ( 0)3 )2。2 dxf (1求定积分11 x3220七、 (15 分 )用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据2并求最小二乘拟合误差。xi01.02.03.0yi0.20.51.01.24数值分析模拟题八、 (10 分)2011已知A050, b3, 用迭代公式2031x ( k 1)x ( k )a( Ax ( k )b ),(k 0,1,

7、2,)求解Ax问取什么实数可使迭代收敛，且a为何值时b. a收敛最快？bn1. 形如f ( x)dxAk f ( xk ) 的插值型求积公式，其代数精度至少可达_ 次，ak 0至多可达 _ 次。2以 n + 1 个 整 数 点 k ( k =1,2, , n， n+1)为 节 点 的 Lagrange插值基函数为n1l k(x)( k =1,2, , n,n+1 ) ，则lk (0) kn 1_.k13.若f ( x)2x 4x23,则 f 1,2,3,4,5_.4. 下面 Matlab 程序所描述的数学表达式为_.for j = 1 : n - 1b ( j ) = b ( j ) / L

8、( j , j );b ( j + 1 : n ) = b ( j + 1: n ) - b ( j ) * L ( j + 1 :n, j ) ;5数值分析模拟题endb ( n ) = b ( n ) / L ( n ,n );二、简单计算题 ( 每小题 6 分，共 18 分 )1251. 已知矩阵 A221，求 Householder 变换阵 H 使 HAH 为三对角阵。（不用计算 HAH ）511122.设A11 ，求 cond( A) 2 .112113.设A412223，求 A的LU 分解。三、 (12分 )已知一组线性无关的向量u1 (1,1,1)T , u2 (2,1,0) T

9、 , u3 (0,1,1) T ,由此向量组，按 Schmidt 正交化方法，求一组 A共轭向量组 ,100其中A= 020 .0016数值分析模拟题四、 (12 分 )应用 Lagrange 插值基函数法，求满足下面插值条件的Hermite插值多项式 ,并写出截断误差。x i012y i012y i004 x1x22 x31五、 (12 分 ) 设线性方程组为x1 3 x2x322 x1x24 x33(1) 写出用 SOR迭代法求解此方程组的分量计算格式；(2) 当取2 时， SOR迭代法是否收敛，为什么？(3) 当取1 时， SOR迭代法是否收敛，为什么？1六、 (12 分 ) 已知高斯求

10、积公式f ( x ) d xf( 0. 5 7 7 3 5 )f(0. 将5区7间730,15)二等分，用复化高斯11求积法求定积分xdx 的近似值。0七、 (12 分 ) 用最小二乘法确定一条经过点xi0.01.02.03.0(-1,0) 的二次曲线，使之拟合下列数据2.02.83.64.8yi7数值分析模拟题八、 (7 分)设内积空间Hspan0 ( x ), 1 ( x), n ( x) ,由0 ( x),1 ( x),n ( x)所确定的 Gram矩阵为(0 ( x),0 ( x)( 0 ( x),n ( x)G(n ( x),0 ( x )(n ( x),n ( x)证明：若 G为非

11、奇异矩阵，则0 ( x),1 ( x),n ( x)线性无关。1.已知 x=62.1341 是由准确数a 经四舍五入得到的a 的近似值，试给出x 的绝对误差界_.122. 已知矩阵 A21，则 A 的奇异值为_.3.设 x 和 y 的相对误差均为0.001 ，则 xy 的相对误差约为_.4.若 f ( x)5x4x23, xi =i,则4 f ( xi )_.8数值分析模拟题5.下面 Matlab 程序所描述的数学表达式为_.a=10,3,4,6;t=1/(x-1);n=length(a)ya( n);for kn1 : 1:1yt * ya( k );end二、 (10 分 ) 设 f (

12、x)( x3a)2 。（ 1）写出解f ( x)0 的 Newton 迭代格式；（ 2）证明此迭代格式是线性收敛的。211三、 (15分 ) 已知矛盾方程组Ax=b ，其中 A10, b 1210111，（1）用 Householder 方法求矩阵A 的正交分解，即A=QR 。（ 2）用此正交分解求矛盾方程组Ax=b 的最小二乘解。xi01234四、 (15 分 ) 给出数据点：yi3961215（ 1）用 x1 , x2 , x3 , x4 构造三次Newton 插值多项式 N 3 ( x ) ，并计算 x1.5 的近似值 N 3 (1.5) 。（ 2）用事后误差估计方法估计N 3 (1.5)的误差。9数值分析模拟题五、 (15 分 ) （1）设 0 ( x),( x),2( x) 是定义于 -1 ， 1上关于权函数( x) x2的首项系数为1 的正交多1项式组，若已知0 ( x)1, 1 ( x)x ，试求出 2( x) 。（ 2）利用正交多项式组 0 ( x ), 1( x), 2 ( x) ，求 f ( x)x 在 1 , 1 上的二次最佳平方逼近多项式。22六、 (15分 )设 P1 ( x) 是 f ( x) 的以 (13 ),(13 )