三角形的概念

1、三角形的概念（复习）-10 - / 7重点难点分析一、三角形的概念三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成 的图形叫做三角形。如图：有三个顶点：点，点，点，有三条边：，。有三个内角：/, /还有三个外角：分别延长、。所得/、/、/叫做三角形的外角。三角形中边与角的位置关系：如图，边叫做/的对边，边 叫做/的对边，边叫做/的对边。、边叫做/的邻边，、边叫做/的邻边，、边叫做/的邻边 二、三角形的三条重要线段 .三角形的角平分线三角形的角平分线定义：三角形一个角的平分线与这个角 对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。每一个三角形都有三条角平分线。且三条角平分

2、线相交于一点，这点叫做三角形的内心，如图，如果、 是的角平分线，那么有：ZBAD/ABE图 02-2ZBCF = ZFCA = -ZBCA.2三角形的中线三角形的中线定义：在三角形中，连结一个顶 点和它的对边中点的线段，叫做三角形的中线。每一个三角形都有三条中线，且三条中线相交 于一点，这点叫做三角形的重心，如图。如果、 分别是的中线，那么有：.三角形的高三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。每一个三角形都有三条高线，三条高线或延长线也 相交于一点，这点叫 做三角形的垂心，如图，当为锐图 02-3角三角形时，三条高都在三角形内部。如果、是三角形的

3、三条高，那么有：，于，于 ，于。当为直角三角形时，有两条高恰好是它的两条边，那边上的高是 边，边上的高是边，边上的高是。当为钝角三角形时，有两条高在三角形的外部与两条边的延长线 相交，即：边上的高，边上的高为，边上的高是。注意：三角形的角平分线，中线和高都是线段，在画图时不能画成图 02-4直线，射线。三、三角形三条边的关系.三角形按边分类：不等边三角形：三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形。等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 等边三角形：三条边 都相等的三角形叫做等边三角形 三角形按边的相等关系分类：不等M三角形（三边都不相等的三角形）三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角

4、形,（只有两边相等的 等边三角形（三边都相等的三角形）角形:.三角形三边的关系:对于任何一个三角形，如果把任意两个顶点看作定点，联结这两个定点的线有两条，一条是线段，另一条是折线，由公理“联接两点的所有线中，线段最短”得出:如图AB +ACAB *相AC + CB由此得出：定理：三角形两边之和大于第三边。推理：三角形两边之差小于第三边。说明：定理及推论是指任意三角形三条边所具有的性质，同时又说明只 有具有“两条线段之和大于第三条线段”或“两条线段之差小于第三条 线段”的三条线段才能组成三角形图形， 否则是组不成三角形的。例如: 三条线段的长分别为和，就不能组成三角形图形，不信你自己动手试试。四

5、、三角形的内角和.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于。此定理对任意三角形都成立，证明方法很多，可用已学过的平行线 的性质，介绍几种添加辅助线的方法。方法一：如图，过中的顶点作，由平行线的性质，可推出/,延长中的到，过点作，由平行线的性质可推出/, /,因为 /;所以/°。方法三，如图，在中边上任取一点，过点作交于，过点作交于，由平 行线的性质可推出：/,/, /,因为,所求此定理是我们求三角形内角度数的重要途径。.三角形按角分类的三角的三角形）形）I I 直角三角形（有一个角是直角的三角形）三鱼形；二 甲便角三第形三小国都是说角科=用形钝角三角形（有一个角是钝角说明： 三角形有

6、两种分类方法，一种是按边分类，另一种是按角分类，两种分类方法分辩清楚。.三角形内角和定理的推论推论.直角三角形的两个锐角互余即：如图在中，Z0那么/0推论.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 即：如图/是的一个外角，那么/。推论.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角:如图/是的一个外角，那么/ >/, />/。注意：三角形的任何一个外角与相邻内角是邻补角， 与不相邻的两个内 角和相等且大于任何一个不相邻的内角。应用时要搞清楚外角与内角的 位置关系，正确运用。五、应用举例例.填空题：已知中，则边的取值范围是。分析：根据三角形三边的关系，两边之和大于第三边、两边之差

7、小于第 三边列出不等式。解：<<. <<为所求例.填空题：已知一个等腰三角形的两边分别是和，则它的周长是。分析：若这个等腰三角形的腰长为，则三边分别为，满足两边之和大于第 三边，若腰长为，则三边分别为，也成立。解：这个等腰三角形的周长为或。例.已知一个等腰三角形的周长为，且三边长都是整数，求三边长.思路分析：在中，设，则,即10 -BC2.三边长都为整数，必为偶数只能取，对应（）为，,时，<与定理三角形两边之和大于第三边矛盾此时不存在同理：，时，也不存在故的三边长可能取值为：4cm, 4cm, 2cm或3cm, 3cm, 4cm本例在求解过程中，未告知哪两边相等，

8、必须假设两边相等，将三个未知量转化为二 个，得出一个不定方程，进而根据正整数性质分别得出四组解，然后再结合三角形三边关 系定理，把不合题意两组解除去.解题过程中，将矛盾不断转化，分类进行求解，做到了 不重不漏.例.如图，的三条内角平分线相交于，于，求证：/思路分析：从题设及观察图形可知Z° -Z （直角三角形两锐角互余）1-Z （角平分线定义）2Z Z Z，：，（三角形内角和定理）1,，-（-Z-Z）（等量代换）21- Z ° / / （移项）1 1 一 I。-Z - Z （去括号）2 211 A ,- / （合并同类项）221 1，、2 Z, /1 /（角平分线定义）3

9、2.ZZZ （等量代换）ZZZ （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）/ （等量代换）本例从未知入手，结合图形及题设变换关系式，步步变换，推理有据，一步步向预定 的目标推进，终于达到目的.这种思路是执果索因，沿着要什么，找什么的思路去求索，在求索的道路上，要观察图形，结合题设，联想定理，综合分析，有的放矢，求索道路愈 来愈明朗化，趋近于要证的结论.这是我们求索几何思路十分有效的方法之一.同学们在 今后学习与研究几何问题时，要有意识的这样求索，将会使你的数学素养不断提高，证题 能力达到一个新的层次.学习时应注意的问题（）三角形的角平分线、中线和高是线段，而不是射线，也不是直线。（）三角形

10、两边的和大于第三边。当 >>>都能成立时，以、为三边，可 以构成三角形。若是最长的线段，且有 >,则以、为三边，可以构成三 角形。若是最短线段，且有 >时，以、为三边，可以构成三角形。（）三角形的一个外角大于任一个与它不相邻的内角而不是三角形的外 角大于它的每一个内角。专题测试一、填空题1.如图 1-1-13 ,那么有/是的角平分线,1=/-2如图1-1-14 ,已知、是三角形的三条中线，那有，,AF.22 .如图 1-1-15 ,已知/, 7° , /； 那么/ 3 .在中，那么 <<.4 .如图1-1-16 ,已知在中，、是、边上的高，、

11、交于，图中 有 个直角三角形，它们是 1-1-16图 1-1-145 .在上题中，如果/。，/。，那么/ 6 .如果等腰三角形的一边长是，另一边长是，那么这种三角形有 个, 它们的周长分别是.7 .已知在中，ZZZ, ZZ° ,那么/ , /.二、选择题.三角形的角平分线是()()直线()线段()射线()垂线段.在锐角三角形中，任意两个锐有的和一定大于().()° () ° () ° () °.在中，ZZZ,那么这个三角形是().图 1-1-17(A) () 钝角()锐角()不能确定.如图1-1-17 ,在中，7° ,、分别是/、/的

12、平分线，那么/ 的度数为().()°() ° () ° () °.已知三角形三边长分别是、2a、，那么，实数的取值范围是().()<<()<<()<<()<<.一个三角形的两边长分别是和,而第三边长为奇数，那么第三边长是(.下列说法中，正确的是(A、个锐角, 一定不是等腰C、直角, 一定不是等腰().任意一个三角形的三个内角中，至少有(、个等腰, 一定是锐角、个等边, 一定不是钝角).()一个锐角()一个钝角()两个锐角()一个直角.三角形的一个角等于其它两个角的差，那么这个三角形一定是()等腰三角形()锐角三角形 ()直角三角形()钝角三角形 .如图1-1-18 ,已知中，/和/的外角平分线交于，那么， / ().1 。()1 ( /) () /21 ()1 ( /) () /2三、解答、证明题1 .已知一个等腰三角形的周长是，腰长是底边长的三倍.求各边的长.2 .如图1-1-19 ,已知在中，是上一点，是上一点，、相交于点，Z J , /； Z求：/和/的度数、如图1-1-20 ,已知在中，Z° , 2° ,平分/,为边上的高