上海八年级上一元二次方程专题复习

1、精选八年级秋季班期末复习讲义二课 题：一元二次方程教学目标一元二次方程重点、难点考点及考试要求教学内容第一部分：一元二次方程解法:一、知识结构：,兀一次方程二,解与解法T根的判别韦达定理*、考点精析考点一、概念 定义：0只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2,这样的整式方程就是一元二次方程。(2) 一般表达式：ax2 + bx + c = 0(a 丰 0)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2: 该项系数不为“0； 未知数指数为“2；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（）211A 3x1=2x1B

2、 2 一2二0x x_22/2,C ax bx c = 0D x 2x = x 1变式：当k时，关于x的方程kx2 +2x =x2 +3是一元二次方程。例2、方程（m+2x1m +3mx + 1=0是关于x的一元二次方程，则 m的值为针对练习:1、方程8x2 = 7的一次项系数是，常数项是2、若方程（m2 xml =0是关于x的一元一次方程,求m的值；写出关于 x的一元一次方程。3、若方程（m -1 x2 + 而,x =1是关于x的一元二次方程，则 m的取值范围是 4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n

3、=1考点二、方程的解概念：|使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。应用：卜用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y2 +y 3的值为2,则4y2 +2y +1的值为。例2、关于x的一元二次方程（a2x2+x+a24=0的一个根为0,则a的值为例3、已知关于x的一元二次方程 ax2 +bx +c = 0（a #0 ）的系数满足a +c = b ,则此方程必有一根为。22例4、已知a,b是万程x 4x+m = 0的两个根，b, c是方程y 8y +5m = 0的两个根,则m的值为。针对练习：1、已知方程x2 +kx10=0的一根是2,则k为,另一根是 。2_x 12、已知关于x的方程x

4、 +kx2 =0的一个解与方程 =3的解相同。x 7求k的值；方程的另一个解。3、已知m是方程x2 x -1 = 0的一个根，则代数式 m2 m =。2_ 2_ 4、已知 a是x -3x +1 =0 的根，则 2a -6a =。 5、方程(ab2 +(bcx+c a= 0 的一个根为()A -1B 1Cb-cD - a 6、若 2x+5y 3=0，贝U 4x *32 y =。考点三、解法方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：降次类型一、直接开方法：x2 = m(m之0 )= x =±Vm对于(x +a 2 =m , (ax + m 2 = (bx + n 2等形式均适用

5、直接开方法典型例题：例 1、解方程：(12x28=0;(22516x2=0;(3'(1xf9 = 0;例 2、若 9(x -1 2 =16(x +2 2 ,则 x 的值为。针对练习：下列方程无解的是()A. x2 3 =2x2 -1 B. x - 2 2 =0 C. 2x 3 = 1 - x D. x2 9 = 0类型二、因式分解法(x - x1 jx -x2 )= 0 = x = x1，或x = x2卜程特点：左I边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0；方程形式：如(ax+ m f = (bx + n f , (x + a jx+b )= (x + a (x+c ),22x 2ax

6、 a = 0典型例题:例 1、2x(x 3 )=5(x3 )的根为()5c52A x B x 3C x1 , x2 3 D x 225.2_例 2、右(4x + y ) +3(4x + y )4 = 0 ,则 4x+y 的值为。变式 1： (a2 +b2 2 -(a2 +b2 )6 = 0,贝1Ja2 +b2 =。变式 2：若(x + yj2x y)+3 = 0,则 x+y 的值为。22变式 3：右 x +xy+y=14, y +xy+x=28,则 x+y 的值为。例3、方程x2十冈6=0的解为()A. x1 = -3, x2 = 2 B.x= 3,x2=-2C. x1 =3, x2 = -3

7、D. x1= 2,x2= -2例 4、解方程：x2 +2W3 + 1 x +2J3 +4=022x y例5、已知2x -3xy -2y =0,则y的值为。x - yx y变式：已知2x 3xy2y = 0,且x a0, y a0,则的值为。x - y针对练习：1、下列说法中：22万程 x + px+q =0的二根为 x1，x2,则 x +px + q =(x x1)(x x2)-x2 6x -8 =(x -2)(x-4).a2 -5ab 6b2 =(a-2)(a -3) x2 -y2 ;(x y)( x y)(' xy)方程(3x+1)2 7 =0可变形为(3x+1+J7)(3x+1

8、47) =0正确的有（）欢迎下载A.1个B.2个C.3个D.4个2、以1+J7与1-J7为根的一元二次方程是（）.22A.x2x6=0Bx 2x + 6=0_2C. y +2y 6=02D. y +2y+6=03、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1 ,且两根互为倒数:写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为相反数: 4、若实数x、y满足（x + y -3 （x + y ）+ 2 = 0 ,则x+y的值为（A、-1 或-2B、-1 或 2C、1 或-2D、1 或 25、方程：x2+2=2的解是。x 6、已知 J6x2 -xy 76y2 = 0,且 x a 0 , y >

9、; 0 ,求 'x-捉' 的值。 ,3x - y 7、方程(1999xf 1998M2000x 1 = 0 的较大根为 r,方程 2007x2 2008x+1 = 0 的较小根为 s,则s-r的值为。b_ cb b、2 b2 - 4ac类型二、配方法 ax +bx+c =0(a 0 0 )= x+ i =- 2一 < 2a J4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。典型例题:- - 2 一 一例1、试用配方法说明x -2x+3的值恒大于0。例2、 已知x、y为实数，求代数式 x2 +y2 +2x4y+7的最小值。例3、 已知x2

10、+y2 +4x 6y+13 = 0, x、y为实数，求xy的值。例4、分解因式：4x2+12x+3针对练习： 21、试用配方法说明 -10x +7x4的值恒小于0。， 一，21112、已知 x + 2 -x4 = 0,则 x+=xxx3、若t =2 _J_3x2 +12x9 ,则t的最大值为 ,最小值为。4、如果 a+b +Jd1 = 4ja 2 +2Jbi 4，那么 a+2b3c 的值为类型四、公式法条件|(a 00,且b2 -4ac >0)公式： x = -bb 4ac , (a #0,且b2 -4ac > 0 )2a典型例题：例1、选择适当方法解下列方程： 3(1 +x2 =

11、6.(x+3以+6 )=-8. x2-4x+1 = 0 3x2 -4x -1 =0 3(x -r<3x +1 )=(x -1 <2x +5 )例2、在实数范围内分解因式：,.、2222(1) x 2,2x3；(2) 4x +8x1. 2x 4xy5y说明：对于二次三项式 ax2 +bx +c的因式分解，如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式，这种方法首先令ax2 +bx + c=0,求出两根，再写成2ax bx c= a(x - x1 )(x - x2).分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、“降次思想”的应冲求代数式的值；解二元二次方

12、程组。典型例题：, 9(x -1 f -x2 +1 .例1、 已知x2 -3x + 2= 0,求代数式的值。232例2、如果x +x1 =0,那么代数式 x +2x 7的值。2a3 - 2a2 - 5a 1 . .例3、已知a是一兀一次方程 x -3x+1 =0的一根，求 2的值。例4、用两种不同的方法解方程组(1)2x - y = 6,22X2 -5xy+6y2 =0.(2)说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再 消元。但都体现了一种共同的数学思想一一化归思想，即把新问题转化归结为我们已 知的问题. 2考点四、根的判别式 b 4ac根的判别式的作用：定根的个数

13、；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例1、若关于x的方程x2 +2jkx-1 =0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 2例2、关于x的方程(m 一1N十2mx+m = 0有实数根，则 m的取值范围是()A. m _ 0且m 1 B. m _ 0 C. m = 1D. m 12例3、已知关于x的方程x (k+2X+2k=0(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰iABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根，求A ABC的周长。2例4、已知二次二项式 9x2-(m+6)x+m-2是一个完全平方式，试求 m的值.例5、m为何值时，方程组*x2 +2y2 =6, 有两个不同

14、的实数解？有两个相同的实数解?mx+ y =3.针对练习: 1、当k 时，关于x的二次三项式 x2 +kx+9是完全平方式。 2、当k取何值时，多项式 3x2 -4x + 2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？2 3、已知万程 mx -mx+2 = 0有两个不相等的实数根，则 m的值是.V = kx + 2, 4、k为何值时，方程组V2 _4x_2y + 1=0.(1)有两组相等的实数解，并求此解；(2)有两组不相等的实数解；(3)没有实数解. 此、当k取何值时，方程x24mx+4x+3m2 -2m+4k = 0的根与m均为有理数?考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：2例1、关于

15、x的方程(m +1 X +2mx -3=0有两个实数根，则 m为,只有一个根，则 m为。例2、 不解方程，判断关于 x的方程x2 2(xk)+k2 =-3根的情况。22例3、如果关于x的万程x +kx+2=0及方程x -x-2k = 0均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯 990次，问晚宴共有多少人出席?2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人?3、北京申奥成功

16、，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计1一1、一划，第一年投入资金 600万元，第二年比第一年减少一,第三年比第二年减少一，该产品第一年收入资金321 一-、一、一一约400万兀，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利一,要实现这一目标，该产品收3入的年平均增长率约为多少？(结果精确到0.1, 而女 3.61)4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨 1元，月销售量就减少 10千克，针对此回答：(1)当销售价定为每千克 55元时，计算月销售量和月销售利润。(2)商

17、店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到 8000元，销售单价应定为多少?5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2,那么这两段铁丝的长度分别为多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。(3)两个正方形的面积之和最小为多少？6、A、B两地间的路程为 36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走 2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.考点七、根与系数的关系前提：对于ax2+bx+c =0

18、而言，当满足才能用韦达定理。bcx1 x2 - - , x1 x2 二aa应用：隼体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程角形的斜边是()A. 3B.3C.6a#0、 ±0时,主要内容:2x28x+ 7 = 0的两根，则这个直角三D. 6例2、已知关于x的方程k2x2 + (2k _1 X+1 =0有两个不相等的实数根 x1,x2,(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由。例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程(二次项系数为1)时，小明因看错常数项，而得到解为 8和2,小红因

19、看错了一次项系数，而得到解为 -9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少?2_2_.例 4、已知 a =b, a -2a 1=0, b -2b-1 =0 ,求 a+b=22a b变式：若 a -2a 1=0, b -2b -1 =0 ,则一+的值为。b a例5、已知a,P是方程x2 -x-1 =0的两个根，那么口4 +3P =.针对练习：(1)x + y =3,1、解方程组22x y =52.已知 a2 7a = Y , b2 7b = 4 (a /b),求 b- +j-的值。 a b23_2_3、已知x1，x2是方程x x9 = 0的两实数根，求xI +7x2 +3x266的值

20、。第二部分：一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了 20% ,商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.解 设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意，得 200(1 20%)(1+ x)2= 193.6 ,即(1 + x)2= 1.21 ,解这个方程，得 x1= 0.1 , x2=2.1 (舍去).答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式 m(1+x)2=n求解

21、，其中 mvn.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公 式m(1 x)2= n即可求解，其中 m>n.二、商品定价例2益群精品店以每件 21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出(350 10a)件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利 400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解 根据题意，得(a 21)(350 10a)=400,整理，得 a256a+775 =0,解这个方程，得 a1 = 25, a2= 31.因为21X(1+20%) =25.2 ,所以a2=31不合题意，舍去.所以 350 10a= 350 10

22、X25= 100 (件).答 需要进货100件，每件商品应定价 25元.说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点三、储蓄问题例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的 90% ,这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)解设第一次存款时的年利率为x.则根据题意，得1000(1+ x) 500(1+0.9 x)= 530.整理,得 90x2+145 x-3 = 0.解这个方程，得 x1

23、出0204 =2.04% , x2» 1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2» 1.63舍去.答第一次存款的年利率约是2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解 设渠道的深度为 xm,那么渠底宽为(x+0.1)m,上口宽为(x+0.1+1.4) m.1则根据题意，得 一(x+0.1

24、+x+1.4+0.1) x=1.8,整理，得 x2+0.8x 1.8 = 0. 2解这个方程，得 x1 = 1.8 (舍去)，x2= 1.所以 x+1.4+0.1 = 1 + 1.4+0.1 =2.5.答渠道的上口宽2.5m,渠深1m.说明 求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.五、古诗问题例5读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄)大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x-3.则根据题意，得

25、x2= 10(x 3)+x,即x2 11 x+30 =0 ,解这个方程，得 x=5或x=6.当x= 5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x= 6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄为 36岁.说明 本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.六、象棋比赛例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是 1979 , 1980 , 1984 , 1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解

26、设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n 1)个选手比赛一局，共计n(n 1)局，但两个选手1 一，一，的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为一 n(n1)局.由于每局共计2分，所2以全部选手得分总共为n(n1)分.显然(n 1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0,2,6,故总分不可能是1979 , 1984 , 1985 ,因此总分只能是1980 ,于是由n(n- 1)= 1980 , 得 n2n 1980 =0,解得 m = 45, n2=44 (舍去).答参加比赛的选手共有 45人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片

27、等问题，都可以仿照些方法求解七、情景对话例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图 1对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解 设该单位这次共有 x名员工去天水湾风景区旅游 .因为1000 X25 = 25000 < 27000 ,所以员工人数 一定超过25人.则根据题意，得1000 20(x25)x= 27000.整理，得 x275x+1350 =0,解这个方程，得 X1 = 45, x2 = 30.当 x=45 时，1000 20(x25) =600 <700 ,

28、故舍去 x1；当 x2 = 30 时，1000 -20(x-25) =900 >700 ,符合题意.答：该单位这次共有 30名员工去天水湾风景区旅游.精选说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.八、等积变形例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1 m）（1）设计方案1 （如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路（2）设计方案2 （如图3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件？若能，请计算出图 2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条

29、件，请说明理由.2 一 .解 者B能.（1）设小路范为 x,贝U 18x+16x x2= X18 X15,即 x234x+180 = 0 ,3解这个方程，得 x= 34 . 436 ,即x-6.6.22 一 。 一（2）设扇形半径为 r,则 3.14 r2= - X18M5,即 r2F7.32 ,所以 r-7.6.3说明等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变,B图 3www.CZ精选九、动态几何问题例9 如图4所示，在4ABC中，/C=90°, AC = 6cm, BC= 8cm,点P从点A出发沿边 AC向点C以icm/s的速度移动，点 Q

30、从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使 4PCQ的面积为8平方厘米？(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得 4PCQ的面积等于4ABC的面积的一半.若 存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由解 因为 /C = 90。，所以 AB= Jac2 +BC2 =6 +82 =10 (cm).(1)设 xs 后，可使 4PCQ 的面积为 8cm2,所以 AP = xcm, PC = (6 x)cm, CQ = 2xcm.1则根据题意，得 一(6 x) 2x = 8.整理，得x2-6x+8 = 0,解这个万程，得 xi = 2, x2 = 4

31、.2所以P、Q同时出发，2s或4s后可使4PCQ的面积为8cm2.(2)设点P出发x秒后，PCQ的面积等于ABC面积的一半.则根据题意，得 1 (6-x) 2x= 1X1 >6X8.整理，得 x2 6x+12=0. 22 2由于此方程没有实数根，所以不存在使4PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程=速度刈寸间.十、梯子问题例10 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.(1)若梯子的顶端下滑 1m,求梯子的底端水平滑动多少米？(2)若梯子的底端水平向外滑动1m,梯子的顶端滑动多少米？(3)如果梯子

32、顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解 依题意，梯子的顶端距墙角J102 62 =8 (m).(1)若梯子顶端下滑1m,则顶端距地面7m.设梯子底端滑动 xm.则根据勾股定理，列方程 72+(6+x)2= 102,整理，得x2 + 12x 15=0,解这个方程，得 xrM.14 , x2» 13.14 (舍去)，所以梯子顶端下滑 1m,底端水平滑动约 1.14m.(2)当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动xm.则根据勾股定理，列方程 (8 x)2+(6+1)2=100.整理，得x2-16x+13 =0.解这个方程，得 xv-0.86 , x2

33、M5.14 (舍去).所以若梯子底端水平向外滑动1m,则顶端下滑约0.86 m.(3)设梯子顶端向下滑动 xm时，底端向外也滑动 xm.则根据勾股定理，列方程(8-x)2+(6+x)2 = 102,整理，得2x2-4x=0,解这个方程，得 x1 = 0 (舍去)，x2= 2.所以梯子顶端向下滑动 2m时，底端向外也滑动 2m.说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形十一、航海问题例11如图5所示，我海军基地位于 A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标 C,小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛 F位于

34、BC上且恰好处于小岛 D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航.一艘补给船同时从D出发，沿 wwcxsmcn南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰(1)小岛D和小岛F相距多少海里？(2)已知军舰的速度是补给船的 2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于 E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）解（1） F位于D的正南方向，则 DFLBC.因为ABXBC, D为AC的中点，所以 DF = - AB=100 2海里，所以，小岛 D与小岛F相距100海里.（2）设相遇时补给船航行了 x海里，那么 DE=x海里，AB+BE = 2x海里，EF = AB+BC （AB +

35、 BE）CF = （300 2x）海里.在RtADEF中，根据勾股定理可得方程x2 = 100 2+（300 -2x）2,整理，得3x2- 1200 x+100000 =0.解这个方程，得 x1 = 200 718.4 , x2 = 200+ -（不合题意，舍去）.33所以，相遇时补给船大约航行了 118.4海里.说明 求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程十二、图表信息例12 如图6所示，正方形 ABCD的边长为12,戈ij分成12 M2个小正方形格，将边长为n （ n为整数，且2切41）的黑白两色正方形纸

36、片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张nxn的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的nM个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为（n1）Nn 1）个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：（1）由于正方形纸片边长 n的取值不同，？完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长n23456使用的纸片张数（2）设正方形 ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为未被盖住的面积为 S2.当n = 2时，求S1 ： S2的值；图6是否存在使得 Si = S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由解(1)依题意可依

37、次填表为：11、10、9、8、7.(2) S1= n2+(12-n)n2-(n-1)2 = - n2+25n 12.当 n = 2 时，S1 = - 22+25 X2-12 = 34, S2 = 12 M2 34 = 110.所以 S1 : S2= 34 ： 110 = 17 : 55.若 S1 = S2,则有一n2+25n-12 = 1 M22,即 n2-25n+84 =0,2解这个方程，得 n1 = 4,作=21 （舍去）.所以当n = 4时，S1 = S2.所以这样的n值是存在的.说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题

38、的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断十三、探索在在问题例13 将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由解（1）设剪成两段后其中一段为xcm,则另一段为（20 x） cm.则根据题意，得 + j =17，解得X1 = 16, X2= 4, 当 x=16 时，20 x=4,当 x=4 时，20 x=16,答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4 cm和1

39、6cm.（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为ycm ,则另一段为（20 y） cm.则由题意得=12,整理，得y220y+104 =0,移项并配方，得（y-10）2= - 4< 0,所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm2.说明本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的b2 4ac来判定.若b2 4acR,方程有两个实数根，若b2-4ac< 0,方程没有实数根，本题中的b2 4ac=16 v 0即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例14 如图7,在等腰梯形 ABCD中，AB=DC=5, AD = 4, BC=10.点E?在下底边BC上，点F 在月AB上.(1)若EF平分等月梯形 ABCD的周长，设BE长为x,试用含x的代数式表示 4BEF的面积；(2)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出