数学建模-回归分析-多元回归分析

1、1、 多元线性回归在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。 事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。在实际经济问题中， 一个变量往往受到多个变量的影响。例如，家庭消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响，表现在线性回归模型中的解释变量有多个。这样的模型被称为多元线性回归模型。（multivariable linear regression model ）多元线性回归模型的一般形式为：其中 k 为解释变量的数目，j

2、(j=1,2,， 称为回归系数 （。k)regression coefficient)上式也被称为总体回归函数的随机表达式。它的非随机表达式为：j 也被称为偏回归系数（partial regression coefficient)。2、 多元线性回归计算模型多元性回归模型的参数估计， 同一元线性回归方程一样， 也是在要求误差平方和（ e)为最小的前提下，用最小二乘法或最大似然估计法求解参数。设（ x11 ， x12 ， x1 p ， y1 ），（ xn1 ， xn2 ， xnp ， yn ）是一个样本，用最大似然估计法估计参数：达到最小。把（ 4）式化简可得：引入矩阵：方程组（ 5）可以化简得

3、：可得最大似然估计值：3、 Matlab多元线性回归的实现多元线性回归在 Matlab 中主要实现方法如下：（ 1） b=regress(Y, X ) 确定回归系数的点估计值其中（ 2） b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha) 求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型 bint 表示回归系数的区间估计 . r 表示残差 rint 表示置信区间 stats 表示用于检验回归模型的统计量 ,有三个数值：相关系数 r2、F 值、与F 对应的概率 p说明：相关系数 r2 越接近 1，说明回归方程越显著； FF1-alpha(p,n-p-1) 时拒绝H0，F越大

4、，说明回归方程越显著；与F 对应的概率 p x1=53 47 57 61 55 56 51 58 64 61 74 62 59 50 54 63 57 56 54 55 54 72 57 58 5385 72 63 47 44;x2=89 83 80 92 104 97 97 123 111 111 115 109 111 110 112 109 89 95 94 87 82 92 97 99 101 120 121 110 102 85;x3=76 88 51 81 96 99 121 157 127 159 145 143 131 136 124 159 145 137 111 91 82

5、116 119 112 106 156 236 149 120 96;x4=19 29 31 28 34 30 31 54 47 51 65 59 45 44 44 60 61 48 39 41 53 75 66 50 32 52 73 57 40 40 ;x5=30 8 13 8 8 10 28 9 8 24 4 27 38 27 9 5 15 36 26 12 11 8 24 32 43 19 18 30 62 23;y=90 143 58 142 175 215 250 309 273 329 299 299 246 261 260 295 282 262 204179 227 277

6、242 226 173 266 426 307 230 201;X=ones(length(y),1),x1,x2,x3,x4,x5;Y=y;b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X); b,bint,stats运行结果为：b =-12.2923-1.52710.83271.37752.0068-0.3086bint =-106.346481.7618-2.9355-0.1186-0.42172.08710.85541.89951.02542.9882-1.00320.3860stats =0.928462.22060.0000474.4773因此可得出，r2=0.928

7、4,F=62.2206,p=0.0000 则 p0.05,回归模型为：在 Matlab 命令中输入Rcoplot(r,rint)可得到残差图如下图所示从残差图中和以上分析可以看出，此回归方程效果良好(2) 按同样步骤对全部数据进行了回归分析，运行后的结果为：b =-32.45860.17180.44630.87372.2106-0.3352bint =-46.4503-18.4669-0.23000.57360.14280.74990.69431.05311.79152.6297-0.4650-0.2053stats =0.8373238.72810927.5409同样可得出，r2=0.8373,F=238.7281,p=0.0000 则 p0.05,回归模型为：y32.45860