专题由递推关系求数列的通项公式(含答案)

1、专题由递推关系求数列的通项公式一、目标要求通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法：二、知识梳理求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学 生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原 数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。三、典例精析f S n= 11、公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。常用的公式有 an =3及n至2等差数列和等比数列的通项公式。例1已知数列 an 中a1 =2 , Sn = n2+2 ,求数列 an 的通项公

2、式评注 在运用an =Sn -Sn时要注意条件n至2,对n=1要验证。2、累加法： 利用恒等式 an =a +(a2 -a1 )+(an -an)求通项公式的方法叫累加法。它是求型如 an+ =an+f (n )的递推数列的方法(其中数列 f (n )的前n项和可求)。11例2已知数列an中a= 一，an+= an+ ,求数列 an的通项公式2n2 +3n 2评注 此类问题关键累加可消中间项，而f(n)可求和则易得an一一- .一，a2 a。3、.累乘法：利用恒等式 an =a1一一 ai a2a工 (an #0)求通项公式的方法叫累乘法。它是求型如 an 4an+= g(n Hn的递推数列的

3、方法(数列%(n»可求前n项积)例3 已知数列an 中Sn =1 -nan ,求数列 an 的通项公式a评汪 此类问题关键是化 -=g（n）,且式子右边累乘时可求积，而左边中间项可消。 an 14、转化法：通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。常用的转化途径有：凑配、消项变换 一一如将一阶线性递推公式 an中=qan+d （q, d为常数，q = 0,q ¥ 1 ）通过凑配变成an 1d=q an q -i，或消常数项转化为an .2 - an 1 = q an 1 - an例4、已知数列 an 中，a1 =1, a

4、n =2an,十1（ n之2卜求数列 an 的通项公式点评：此类问题关键是利用配凑或消项变换将其转化为等比数列ca,1d 11（2）倒数变换如将一阶分式递推公式 an = （c,d为非手吊数）取倒数得 =+-an dan .1c an ca例5已知数列an 中，a1=1, an+=一=，求数列 an 的通项公式2an 1点评：此类问题关键是取倒数使其转化为一阶线性递推数列然后可用凑配、消项变换。对数变换如将一阶分式递推公式an + = canp （an > 0,c a 0, p a 0, p = 1 ）取对数可得 lg an 1 = p 1g an 1g c2-一一例6已知数列 an 中

5、，ai=10, an >0,且an¥ =10an ,求数列 an 的通项公式点评：此类问题关键是取对数使其转化为关于an的对数的一阶线性递推数列即可用凑配、消项变换换元变换如将一阶分式递推公式 an41=qan+dn （q,d为非零常数，qwi, dwi）aq a 1a变换成 gi=q g+,令bn =n,则转化为一阶线性递推公式dd dddr r ，.、r，>_、_ n .一一一一.一.一例7在数列 an 中，a1 =1 , an4=3an+2 （n=N ）,求数列 an 的通项公式评注：此类问题关键是通过换元将其转化为一阶线性递推公式5、待定系数法递推公式为an七=p

6、an由十qan （其中P，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为 ant-san+ =t（an+ -san）,s+t = p 其中s, t满足3,再应用刖面 转化法（4）类型的万法求解。闾=-q21例 8 .已知数列 9 中，a =1, a2 = 2 , an_2 = - an由 +-an ,求 an。337、叠代法例9已知数列右的前n项和Sn满足Sn =2an +(-1)n,n之1 .求数列aj的通项公式。8、归纳法：由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性，这种方 法叫归纳法。*一.例10数列an 满足& =2n-an (n = N ),求数列

7、an 的通项公式四、实战演练1、2012辽宁卷已知等比数列an为递增数列，且a2=aio,2(an+an+2)= 5an+i,则数列an的通项公 式为an =.12、 在数列an中，a1=3,an噌=an+，求通项公式an.n(n 1)223、设数列an是首项为1的正项数列，且(n+1)an+-nan +an由an=0 (n=1,2,3)，则它的通项公式是an =4、已知数列 an,其中ai =1,a2 =2 ,且当n>3时，an 2an+ an/ = 1 ,求通项公式an。5、设正数列a。，ai , an，an,满足，0百二JO二互2 =2an（n22）且a。= a1 = 1,求an的

8、通项公式五、能力提升（逆推法）已知数列an）的前n项和Sn与an满足：an,Sn,Sn （n之2）成等比数列，且ai =1 ,求数列2必n 的前n项和Sn点评：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列an 的前n项和Sn的递推公式，是一种最佳解法由递推关系求数列的通项公式答案例1解:当 n ±2 由 an =sn sn= n2+2- j(n 1 j +2 I = 2n -1当n =1时a1 =s =3不满足3,n =1故an ：2n -1,n _2例2解：由an+ =an +1-2IZn +3n 2可知 an .1 - an111-2 Z Z - : _ zn

9、 3n 2 n 1 n 2忸-回+ 1-11-122 33 4当n=1时也成立。故有 an = n 11例3 斛：当n=1时由a1 =s1 =1 a1可得a1 = 2由 an 1 =sn 由 一sn = 1 (n +1 )an 由 一1 - nan 可得an.1ana2 a3二a1 一 一a a2a_13 n -2 n -11 =5 n n 1 n n 1当n=1时也成立。故有an =n n 1例4解法一（凑配变换）：由an =2an4+1可得an+1 =2（an,+1 ）,又a1+1=2,故数列an+1是首项an书=2an +1 为2,公比为2的等比数列，an +1 =2 2n,，即an =

10、 2n -1解法二（消项变换）an = 2an4+1 工 -得an由an =2（an an）（n之2 ）,故数列an书4是首项为a2a=2公比为2的等比数列即an书-an =2n ,再用累加法得an =2n -1a一 一 11例5 解:由an + = n一可得 =一 +2即1 口，数列一、是以1为首项2为公差的等差数列。an2an1 an 1 an1.、 rr1， 一=1+2 (n-1)，即 an =an2n -1例6解：由an >0 ,且an由=10a2可得lg an由=1 +2lg an,即二数列也g a +1是以lg ai +1 =2为首项以2为公比的等比数列，lgan +1 =

11、2n 即 an =102n例7解：由an4=3an+2n可得 罪3an1=* r -an 12 2n2c（6+1）令1=曳12nb = 3bn 12 n,数列J bj是以-为首项以-为公比的等比数列即bn =222 an .3nbn =4- 1= -n 2n 2即 an =3n _ 2n例8解：由21an -2 = an书+ an可转化为33an 2 - san 1 =t(an1 -san)即 an 2 =(s ' t)an 1 -stan-s t =2 31st = 3s=1s = 1这里不妨选用（1t = 一一3（当然也可选1s = 一3 ，t=11an 支 an 4 =(an+

12、an)= Gn42门7£以首项为 a2 -a1 131 n 1an+an =（），应用类型1的方法，分别令3n =1,2,3,；(n1),大家可以试一试），则1公比为-的等比数歹U ,所以 3代入上式得（n-1）个等式累加之,1 01 11 n J2即 an -a1 二 ( ).().(一)333T产31 13又: a1 二1 ,所以anm尸。例9解：由a1当n之2时,=S = 2al -1= a1 =1an =Sn-Sn=2(烝-a。/)2 (7)n,_n _1a2 = 2a1 - 2.- an =2anu 2 (-1), am =2an/ 2 (-1广.an =2n I (-1)

13、 2n2 (1f HI 2 (一1尸 =2n1 (-1)n(-2)n1 (-2)n(-2)3经验证a1 =1也满足上式，所以an =22nN +（-1）n-3n 1方法一 . an = 2an 1 2 (-1) 一，_ anj西=-2构造数列 _n_ .(-1)n十21公比为-2首项为3(-1)1-2- . a- 2 = _2(n-)(-1)n3(-1)3-的等比数列3（以下略）3例10斛：易求 a1 =1,a2 = 2，a3715 一=,a4 = ,由此可猜想an48n )2 -12n卜面用数学归纳法证明：当n = 12 -1 一.时，左边=a1 =1 ,右边=1厂=1,猜想成立;2假设n=

14、k时命题成立，即ak2k -12k,那么由已知sk =2k -aksk 书=2(k +D 一 ak书由-可得ak4=2_ak+akak a/1 t=12k -1 2k 1 -12k1 -12k= 住小二，即当n = k+1时命题也成立。221广* .由，可知命题对任何 n=N都成立。点评:此类问题关键是利用归纳假设的ak证明n=k+1时命题成立。方法二、n=1 时a1=S1 = 2- a1=i a 1= 1之 2时 an = Sn SE 不2n a) 12(n1)_a可构造等比数列（以下略）四、实战演练1、（公式法）2n 解析本小题主要考查等比数列的概念与性质.解题的突破口为灵活应用等比数列通

15、项变形式，是解决问题关键.由已知条件an为等比数列，可知，2（an+an+2） = 5an+1? 2（an+an q2）=5anq? 2q25q + 2=0? q=2或2,又因为an是递增数列，所以q=2.由a5=a10得a5 = q = 32 ,所以a1=2，an=aqn 1=2n2、（累加法） 解：原递推式可化为:则 a2 = a1a4 二a31 "33、（累乘法）1,an an4解：原递推式可化为：1 一一一 -逐项相加得:nan = a11_1 ,1 21 一*1 一一.故n_. 1 1a3 a223an =4-L n(n 1)an1-nan(an 1 an )=0an 书

16、+an>0，an 1an n 1 a2则a11曳2，a22 a43 a3逐项相乘得:an 11=,即 an=.a1 n4、（换元法与累加法的综合）解由 an 2ani +an/ =1 得：(an一 an）一（an-an/） =1 ,令bn, =an an。，则上式为bn-bn =1,因此bn是个等差数列,bi = a2 a*i = 1 ,公差为 1.故- an=an -1将递推式两边同除以 Janan/整理得:bn = n .。由于 b1b2 bnl =a2 -a1a3 -a2 ann(n -1)21所以an 1 =In（n 1）,即5、（换兀法与累乘法综合） 2_a_2 虹=1ani . an/设bn=-，则 b1 = / =1, bn 2bn,=1 ,故有 bn ,anj: a。- 2bn=1bn=2bn,+1= bh+1=2(bn二+1)= *+1是公比为2,首项为2的等比数列，bn=2n1即三=2n 1.，2=(2n1)2 an工an逐项相乘得：an = (2 -1)2 (22 -1)2 :(2n-1)2,考虑到 a。=1 ,故