勾股定理经典例题(含标准答案)

1、经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在RtAABC中，/ C=90 (1)已知a=6, c=10,求b, (2)已知a=40, b=9,求c；已知c=25, b=15,求a.思路点拨：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解读：(1)在 4ABC 中，/C=90 , a=6,c=10,b= 一/ =8(2)在 ABC 中，ZC=90 , a=40, b=9,c=J+/ = 41(3)在4ABC 中，/ C=90 , c=25, b=15,a=- i?二 20举一反三【变式】：如图/ B=/ACD=90 , AD=13,CD=12, BC=3,贝U AB的长

2、是多少？【答案】. / ACD=90 AD=13, CD=12AAC2 =AD2- CD2=132 122=25AC=5g /又. / ABC=90 且 BC=3由勾股定理可得AB 2= AC 2 BC2 =52- 32 =16AB= 4AB的长是4.施工3。 .求：BC的长.则有由条件 75 = 60, 想到构造含30。角的直角三角形,为此作 血因于D,类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在 此肥中，Z5 = S0o,心7Q,BD-AB-X5/8AD二SU ,2,再由勾股定理计算出 ad、dc的长，进而求出长.解读： 作回)1即 于D,则因 4 二 60,.4。二 90To。二 3。(

3、4A 的两个锐角互余)即，15皿2(在血中，如果一个锐角等于30 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半).根据勾股定理，在 血W亚中，AD = Ub2-BD2 =加工二 1 地根据勾股定理，在 必，如中，CD = 74? - ALP = V702 52 x3 = 65一二二 Ji.举一反三 【变式1】如图，已知： /C = 90, AM=CM,赧US于p.求证：BP2 = AP2BC2.Lc M A解读：连结BM ,根据勾股定理，在P1LBMP 中,而在 F1KAMP 中，则根据勾股定理有 :三.5 .郎？ = 3必2-53 火/）=8汕3 工劭口 + 4户又力屈二0/（已知），二二1H.在 肋

4、BCM 中，根据勾股定理有bm2-cm2=bc.【变式2】已知：如图，/ B=ZD=90 , / A=60 , AB=4 , CD=2。求：四边形 ABCD的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC ,或延长AB、DC交于F,或延长 AD、BC10 / 8交于点E,根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解读：延长AD、BC交于E。/A=/60 , / B=90 , .E=30。AE=2AB=8 , CE=2CD=4 ,BE2=AE 2-AB 2=82-42=48 , BE= 弼=4日DE2= CE2-CD2=42-22=12,DE=瓦=2出。1

5、 1S 四边形 ABCD =SaABE SA CDE= 2 AB - BE- 2 CD - DE= &后类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60。方向走了 500 Jim到然后再沿北偏西 30方向走了 500m到达目的地C点。A、C两点之间的距离。定目的地C在营地A的什么方向。（1）过 B 点作 BE/ADDAB= / ABE=60 -30 + / CBA+ Z ABE=180 . . / CBA=90 即 ABC 为直角三角形由已知可得：BC=500m , ab=行m由勾股定理可得：AC?=BC+AB所以AC=j

6、BCABJO，（5W后?=l（Wm）在 rabc 中BC=500m , AC=1000m./ CAB=30 .一/ DAB=60。，/ DAC=30 即点 C 在点 A 的北偏东 30 的方向举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5M,宽1.6M,要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示，点D在离厂门中线 0.8M处，且CDXAB , 与地面交于H .解：OC=1M（大门宽度一半），OD = 0.8M （卡车宽度一半）在RtAOCD中，由勾股定理得：CD =枇 JOQ

7、- 01=o.6M,CH=0 .6 + 2 .3 = 2 .9 （M） 2 .5 （M）.因此高度上有0.4M的余量，所以卡车能通过厂门.（二）用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄 A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论.解读：设正方形的边长为1,则图（1）、图（2）中的总线路长分别为AB+

8、BC+CD =3, AB+BC+CD =3 图（3）中，在RtAABC中“二口再三二加 同理 B一-图（3）中的路线长为2也由2.828图（4）中，延长EF交BC于H ,则FHXBC, BH = CH由/ FBH=2及勾股定理得:EA = ED = FB = FC = -. EF = 1 2FH = 1 飞此图中总线路的长为4EA+EF =1+闻 2 73232.8282.732图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线.举一反三 【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm,高A B为4cm, B C是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点 C,试求出爬行的最短路程

9、.解:RtABC中，BC=底面周长的一半=10 cm,根据勾股定理得（提问：勾股定理）AC =口射+驼，=次+1（? =2必 10. 77 ( cm)(勾股定理).答：最短路程约为10. 77 cm.类型四：利用勾股定理作长为 小 的线段5、作长为 亚、也、后的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为i的等腰直角三角形，斜边长就等于 J5,直角边为 夜和i的直角三角形斜边长就是石，类似地可作5作法：如图所示（1）作直角边为1 （单位长）的等腰直角（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角“区附。ACB ,使AB为斜边;斜边为1；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形AS.明、弱、他的长度

10、就是也、出、在、出。举一反三【变式】在数轴上表示质的点。解读：可以把 阮看作是直角三角形的斜边,（厕=1。,2 .原命题:3 .原命题:4 .原命题: 思路点拨：为了有利于画图让其他两边的长为整数，3和1。而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是 作法：如图所示在数轴上找到 A点，使OA=3 ,作ACXOA且截取AC=1 , 以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为 厢。类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1.原命题：猫有四只脚.（正确）对顶角相等（正确）线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.（正确）角平分线上的点，到这个角的

11、两边距离相等.（正确）掌握原命题与逆命题的关系。解读：1.逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2 .逆命题：相等的角是对顶角(不正确)3 .逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.？(正确)4 .逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.(正确)总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果A ABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断A ABC的形状。思路点拨：要判断A ABC的形状，需要找到 a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手，解决问题。解读：由 a2+b

12、2+c2+50=6a+8b+10c,得：a2-6a+9+b 2-8b+16+c2-10c+25=0,(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=o。(a-3)20, (b-4)20, (c-5)20oa=3, b=4, c=5。32+42=52,a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得A ABC是直角三角形。总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的，在证明中也常要用到。举一反三【变式1】四边形 ABCD中，/ B=90 , AB=3 , BC=4 , CD=12, AD=13 ,求四边形 ABCD的面积。【答案】：连结AC. / B=90 , AB=3 , BC=4AC2=

13、AB2+BC2=25 （勾股定理）AC=51 AC2+CD2=169, AD2=169AC2+CD2=AD2 . / ACD=90 （勾股定理逆定理） 酬皿= S出二”皿=究【变式2】已知:AABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数，且m n),判断 ABC是否为直角三角形.分析：本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明：a2+b2=c2即可:M +2maa +/证明：-泊+(2刷二斓-2/J +再4+4忌”二源+炉?所以 abc是直角三角形.【变式3】如图正方形 ABCD , E为BC中点，F为AB上一点，且 BF= 4 AB。请问FE与DE是否垂直？请说明。【答案】答

14、：DEXEFo证明：设 BF=a ,贝U BE=EC=2a, AF=3a , AB=4a,EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。连接DF （如图）DF2=AF2+AD 2=9a2+16a2=25a2。DF2=EF2+DE2,FE DE。经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3: 4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解读：设此直角三角形两直角边分别是3x, 4

15、x,根据题意得：(3x) 2+ ( 4x) 2= 202 化简得 x2=16;1，直角三角形的面积=2 X 3xX 4x = 6x2= 96总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程(组)求解。举一反三 【变式1等边三角形的边长为 2,求它的面积。【答案】如图，等边 ABC ,作AD，BC于D1则：BD= 2 BC (等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)AB=AC = BC = 2 (等边三角形各边都相等)BD = 1 AD =SBC = 2 BC , AD = 注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a,则其面积为4 a。在直角三角形 ABD 中，AB

16、2= AD2+BD2,即：AD2= AB 2-BD2= 4-1 = 3【变式2】直角三角形周长为 12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x, y,根据题意得：x +y + 5 = 12(1)= 由(1)得：x+y=7,(x+y) 2=49, x2+2xy+y 2= 49 (3)(3) (2),得：xy=121 1，直角三角形的面积是 2xy= 2 X 12=6 (cm2)【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1, n+2 , n+3,求n。思路点拨：首先要确定斜边(最长的边)长 n+3,然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为n+3

17、,由勾股定理可得：(n+1) 2+ (n+2) 2= (n+3) 2化简彳导:n2= 4，n=2,但当 n=2 时，n+1 = 1/3ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积4 cAK =也_（5 =（3）过A作AK BC于点K （如图所示），则在RtAACK中，Y 22 ,KC=1 + 1 + L22 2 ,故Yl J w类型三：数学思想方法 （一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决.DEX3、如图所示， ABC是等腰直角三角形， AB=AC , D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DF,若

18、BE=12, CF=5.求线段 EF的长。F C思路点拨：现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化,根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD .解：连接AD .因为/ BAC=90 , AB=AC .又因为 AD为 ABC的中线, 所以 AD=DC=DB . AD BC .且/ BAD= /C=45 .因为/ EDA+ ZADF=90 ,又因为/ CDF+/ADF=90 .所以/ EDA= / CDF.所以 AEDA CFD (ASA).所以 AE=FC=5 .同理：AF=BE=12 .在RtAAEF中，根据勾股定理得：ef2=ae2+af2=+= ,所以 EF=13。