培优指数函数与对数函数

1、指数函数和对数函数一、1 .根式(1)根式的概念叫做根指若xn= a,则x叫做a的n次方根，其中n>1且n C N:式子%叫做根式，这里n 数，a叫做被开方数.a的n次方根的表示：xn=a?x= na (当n为奇数且n C N时)，x= ±n/a (当n为偶数且nC N时).(2)根式的性质fa, n为奇数,(S)n=a(nC N). njan= S|aj=a, a>0, 一，a<0, n为偶数.2.有理数指数哥 (1)哥的有关概念:m正分数指数哥:负分数指数哥:an=n/am(a>0, m, nCN*，且 n>1);a-m=-1m=-(a>0,

2、m, nC N*,且 n>1);an nam0的正分数指数哥等于 0, 0的负分数指数哥无意义.(2)有理数声数哥的运算性质：aras= ar+s(a>0 , r, sC Q)；(ar)s= ars(a>0, r, sC Q)；(ab)=al£(a>0, b>0, rCQ).3.指数函数的图象与性质xy= a图象a>1丫 '厂CO-11/0<a<1定义域值域R(0, 十°0 )过定点(0, 1)性质当 x>0 时，y>1 ;当 x<0时，0<y<1在R上是增函数当 x>0 时，0&l

3、t;y<1 当 x<0 时，y>1;在r上是减函数二、对数如果ax= N (a>0, awl),那么数x叫做以a为底N 的对数，记作x=logaN,其中a叫做对数的底数：N I性 质底数的限制：a>0,且aw1对数式与指数式的互化： ax= N? logN=x 负数和零没有对数,1的对数是三 项a1 = 0底数的对数是1： logaa=l对数恒等式：alogaN =N运算性质loga(M N)= logaM + logaNa>0，且 aw 1, M>0, N>0.M loga可=loggM loggNlogaMn= nlogaM(n R)换 底

4、公 式公式：logab= ?gcb(a>0,且 aw 1; c>0,且 cw1; logca'''b>0)推广：logambn = Qlogab； log ab = T一m d ， dlogba、选择题a>10<a<1图 象rk.炉X(I.OJ0/ (1 刚 *6性 质定义域：(0,十8 )值域：R过定点(1, 0)1 当刍 x>1 时，y>0 0<x<1 时，y<01 当刍 x>1 时，y<0 0<x<1 时，y>0在(。,+ 0° )上是增函数在(0,+

5、76;° )上是减函数2.对数函数的图象与性质2x2 -5x bx2 :x 6S，/、1/、1H1.设函数 f(x)= ,g(x)=一 ，右22)立，则实数b的取值范围是()A. b >12B . b <12 C . b <15f(x):二g(x)对于任意实数D . b>15x恒成2.函数y = f(x是R上的奇函数，满足f(3+x)=f(3 x),当 xe(0, 3)时 f(x)=2x ,则当 x e( -6 , -3)时，f(x)=()A. 2x 6 B. -2x 6 C.2x-6D. -2x-63 .设1 < a < b < a 2,则

6、在四个数2, log a b, log b a, log a b a 2中，最大的和最小的分别是()(A)2, log ba ( B) 2, log a b a 2( C) log a b, log ba ( D) log ab, log a b a 2二、填空x4 .已知 a > 0, f( x )= a ，贝 1 f(') + f ( -) + + f (2003)=。ax ： a2004200420045 .已知函数f(x)= lga2Tx2+(a+1 x+1的定义域为(°°,+望)，则实数 a的取值范围是6 .先将函数f ( x ) = in匚的图像作

7、关于原点的对称变换，然后向右平移1个单位，再作关于y = x1 - x的对称变换，则此时的图像所对应的函数的解析式是 。7 .已知函数y = log 1 a x2 + 2 x + ( a -1 )的值域是0, + 00 )，则参数a的值是。2三、解答题.-2x b 8 .已知定义域为 R的函数f(x)=F是奇函数.2x 1 2(1)求 f (x)；(2)判断函数f(x)的单调性(不必证明)(3)若对任意的t w R ,不等式f (t2 2t) + f(2t2 k) <0恒成立，求k的取值范围.12.9 .已知函数 f (x) =(-)，xw -1,1，函数 g(x) = f (x)2af

8、 (x)+3的最小值为 h(a). 3(1)求h(a)的解析式；(2)是否存在实数 m, n同时满足下列两个条件： mn>3；当h(a)的定义域为In, ml时，值域为 n2, m2 |?若存在，求出 m,n的值；若不存在，请说明理由10 .函数f(x)=log2ax2+(2+2w+ 2色+ 2)在区间a + 2,2(a + 2)上恒有定义，求实数 a的取 值范围.11 .(本题满分12分)已知函数f (x) =lg(x+a2),其中a是大于0的常数 x(1)设g(x)=x + a,判断并证明g(x应 71,收)内的单调性；(2)当aW(1,4)时，求函数f(x)在2 代)内的最小值；(

9、3)若对任意xW2,收)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围。2 ax .12. (12分)已知函数 f(x)= x3+l0gl为前函数，a为吊数.3 x -2(1)求a的值；(2)当xw(3,4时，f (x)是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由；1 1(3)设函数g(x) =x3 +(-)x +m ,当m为何值时，不等式 f (x) >g(x)在xw (3,4有实数解?13. (12 分)函数 y=f (x)满足 lg (lgy ) =lg3x+lg (3 x), (1)求 f (x);(2)求f (x)的值域；(3)求f (x)的递减区间.214.已知二次函

10、数g(x)=ax -2ax+b+1(a>0)在区间2, 3上有最大值4,最小值1.(I )求函数g(x)的解析式;f(x)二幽 xf(2x)-k 2x 之 0 在 x=-1,1时恒成立，求 K的取值范围1. D2. B3.A20032试卷答案5 . a a 或 a 芸一13x6 .y = e7.1 -近8.解(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以I一 一 1b jf (0) =0,即=0,解得 b =12 a2x 1一八从而有 f(x)=工.3 分2x 1 2x,21(2)由(1)知 f(x) =21.，22x 1由y =2x的单调性可推知 f (x)在R上为减函数.3分2111(3)解

11、法一：由(1)知 f(x)=12s1 = 一1+, 222 2x 1由上式易知f(x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式_2_2_2_2_2f(t 2t)+f(2t k)<0 等价于 f(t -2t) <-f(2t k)=f(2t +k).因f(x)是R上的减函数，由上式推得t2 2tA -2t2 +k.即对一切t R有3t2 2t k A 0,从而.2分14 =4+12k <0,解得 k < 一一 2分31 V ,1119.解析：(1)由 f(x) =(-)x,x=1,1，知 f(x) J,3 ，令 t=f(x尸3 333.1分记g(x) =y =t2

12、2at +3,贝U g(x)的对称轴为t = a ,故有:128 2a当a <一时，g(x)的最小值h(a) =-393当a之3时，g(x)的最小值h(a) =12 -6a1_ _2当一<a <3时，g(x)的最小值h(a) = 3 a3综述，28 2a1一 a <933.,、,21 一 7分h(a) = 3 -a 二 a :二 33126a a 至3(2)当a之3时,h(a) = 6a+12.故 m>n>3 时，h(a)在 h,m上为减函数.所以h(a)在hm上的值域为fh(m),h(n)L 9 分22h(m)=n I6m 12 =n22由题，则有

13、1;2= «2，两式相减得6n6m=n -m，又m#nh(n) = m-6n 12 = m所以m +n =6 ,这与m > n a3矛盾.故不存在满足题中条件的m ,n的值.2210.解析：设 g(x)=ax +(a+2)x+2(a+2),则 f(x) = log21ax +(a+ 2)x + 2(a + 2)在区间a+2,2( a+2)上恒有定义即g(x) >0在a+2,2( a+2)上恒成立.当a=0时，g(x)=2x+4>0于2, 4上恒成立.a 2当a>0时，g(x)的对称轴<0, g(x)在a+2,2(a+2)上单调增加，所以,2a，一、，一、

14、，2 一八 一g(a +2) =(a +2)(a +3a + 4) > 0 , 由 a+2>0, a2+3a+4>0,所以 aw(0,收).r ,l g(a 2) 0当 a<0 时，g(x)A0于a+2,2(a+2)上恒成立，则 <,g2(a 2) 0由 g(a+2)=(a+2)(a2 +3a+4) >0, a2 +3a+4>0,得 a +2>0,即 a a2；由 g2(a+2) =(a+2)(2a2 +5a+3) >0,得 2a2 +5a + 30 ,一 3一3解得 a一一或 a a T ,所以，-2父2<一一或一1'<

15、;2<0.22、,3综上，a 匚(_2, _) ( _1, + *).211.解析：(I)(P证明：由(i)知：上I,令aH(III) ¥于3, 4上的每一个x的值，不等式 11恒成立，0即：I恒成立10分0由(II)知： I在R上单调递增,12分12.(1)增函数，用定义证明.a(2)设 u(x) =x + 一2 ,当 a J1,4) , x2,收)时 xa由(1)知u(x)=x+2在2,收)上是增函数xf(x)=lg(x+-2)在2,收)上是增函数xaa-f (x) =lg(x+2)在2,如c)上的取小值为 f(2)=lg x2(3)对任意xw2,n)恒有f (x) >

16、;0 ,即x+a- -2 >1对xW2,n)恒成立9 ,+ 在xW2,yC)上是减函数4x2 .一 一一 一 23 2a >3x x ,而 h(x) =3x x = (x ) h(x)max =h(2) =2, a >213.13考点：对数的运算性质；指数函数综合题；对数函数的图像与性质.专题：函数的性质及应用.分析： (1)由 lg (lgy ) =lg3x+lg (3-x),可得 1g (lgy) =lg3x (3-x) , 0<x<3. 1gy=3x (3-x),即可得出.(2)令u=3x (3-x) =-3 (x- -) 2+,在(0,工)上单调递增，在

17、隹，3)上单调递2422减；而10u是增函数，即可得出f (0) <f <f 心 ,2(3)由(2)可知：函数f (x)的递减区间为心，3) .2解答： (1)lg (lgy) =1g3x+1g (3-x),lg (lgy) =1g3x (3-x) , 0<x< 3.1gy=3x (3-x),.f (x) =y=103x(3 x), xC (0, 3).(2)令u=3x (3-x) =-32+,在(0, g)上单调递增，在 由，3)上单调递 2422减；而10u是增函数. f (0) <f <f (1),27.f (x)的值域为(1, 1 o4 .(3)由(2)可知：函数f (x)的递减区间为1，3).点评：本题考查了对数的运算法则、二次函数与指数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题.214.解：(i)g(x)=a(x-1) -a+1+b，函数g(x)的图象的对称轴方程为x=12- a >0 g(x) =a(x -1) _a+1+b在区间2 , 3上递增。:g(2) =1=依题意得c(3)=4'a a +1 + b =1a =1即 14a a +1+b=4,解得 b=0,、2. g(x)= x -2x